空間向量及其運算(講義)

1、空間向量及其運算(講義)知識點睛一、空間向量的定義及定理定義：在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量.空間向量的有關定理及推論共線向量定理對空間任意兩個向量a, b (b#0), ab的充要條件是：存在實數(shù)1,使擴充：對空間三點P, A, B,可通過證明下列任意一個結論成立來證明三點共線：pr=x pb；對空間任一點O, OT= OT+ tAJT ；對空間任一點 O, g= xOA+ yOBT ( x + y = 1).共面向量定理如果兩個向量a, b,那么向量p與向量a, b共面的充要條件是: 存在 的有序實數(shù)對(x, y),使.擴充：對空間四點P, M, A, B,可通過證明下列任意一個

2、結論成立來證明四點共面:MP= xM!+ yMMB ；對空間任一點O, OT= OM+ xMA+ yMB ；對空間任一點 O, g= xOWT+ yOA+ zOB( ( x + y + z = 1)；PM AT (或 PT MB 或 PIT AM ).空間向量基本定理如果三個向量a, b, c不共面，那么對空間任一向量p,存在有序實數(shù)組x, y, z,使得.其中，叫做空間的一個基底.二、空間向量的線性運算 類比平面向量三、空間向量的坐標運算a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3) (a, b 均為非零向量)： a+b=, a-b=Aa=；a b =, a =；cos=；ab

3、 o o；ab o o.四、空間位置關系直線的方向向量與平面的法向量（1）直線的方向向量：l是空間一直線，A, B是直線l上任意兩點，則稱 2 為直線l的方向向量.與AiT平行的任意 也是直線的方向向量.（2）平面的法向量定義：與平面 的向量，稱作平面的法向量.確定：設a, b是平面內兩不共線向量，n為平面a的法向量，則求法向 量的方程組為.空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，12的方向 向量分別為m1=（x1， y1， zj，m2=（x2，y2，z2）/JmJ m2 o1112m1m2 o直線1的方向向量為m=（x1， y1， z1），平面a的法向量為n=（x2，y2，z2）/a

4、mn o1am n o平面a，6的法向量 分別為n1=（x1， y1， z1），n2=（x2，y2，z2）a 6njl n2 oa6n1n2 o精講精練1.如圖，在空間四邊形ABCD中，若G是CD的中點，則AT+ 2（ BD+ BC）=（）A. BCB. CGA. BCB. CGC. AGD. 1BC2第1題圖第2題圖2.如圖，在四面體OABC中，設OC= a , OC = b , OC= c ,若D為BC的中點，E為AD的中點，則OE =.（用a, b，c表示）3,已知向量 a，b，若CT= a + 2b，BC=-5a + 6b，CDt= 7a-2b，則一定共線的二點是（ ）A的二點是（ ）

5、A.A，B，DC.B，C，DB.A，B，CD.A，C，D下列條件：111OM = OA+ OTT-OC ；OCM = - O/+-（C1T+-OC ；532 MC+ MC+ MC = 0 ； OM+ OC+ OC+ OC= 0 .能推出M，A，B，C四點共面的是.（填寫序號）已知a，b，c是空間向量的一個單位正交基底，a+b，a-b，c是空間的另 一個基底，若向量p在基底a+b，a-b，c下31的坐標為（3，-萬，3），則p在基底 a，b，c 下的坐標為已知 a=(x, 4, 1), b=(-2, y, -1), c=(3, -2, z),且 ab, bc. x=, y=, z=； a+c與b

6、+c所成角的余弦值為.如圖，空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都為1,若E, F分別是AB, TOC o 1-5 h z AD的中點，則EF - DC =()11-頃3D.A. B. C.D.第7題圖第8題圖如圖，空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都為S若E, F分別是BC,AD的中點，則A礦.AF=()A. A. a 211B. a2 C. a2若n是平面a的法向量，a是直線/的方向向量，則下列結論正確的是()A. 若 /a，貝。anB. 若/a，貝。anC.若 an，貝。/aD.若 a-n=0，則 /a已知 A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)三點，

7、n=(1, 1, 1),則以n為方向向量的直線/與平面ABC的關系是( )A.垂直B.不垂直仁平行D.以上都有可能 TOC o 1-5 h z 11.若直線/的方向向量為a,平面a的法向量為n,則下列能使/a的是()a=(1, 0,0),n=(-2,0,0)a=(1, 3, 5), n=(1, 0, 1)a=(0, 2,1),n=(-1,0,-1)D. a=(1, -1, 3), n=(0, 3, 1)12,已知平面a, 6的法向量分別為a=(1, 1, 2), b=(x, -2, 3),若a6，則x的值為()A. -A. -2B. -4C. 3D. 43),則平面ABC的單位法向量是13.已

8、知 AT =(2 , 2 , 1), AC3),則平面ABC的單位法向量是14,如圖，在空間直角坐標系中，直三棱柱ABC - A1 3的頂點C與原點O重合， TOC o 1-5 h z 頂點A, C 1, B分別在x軸、y軸、z軸上，若AC = CC廣2BC ,則直線BC1 與直線AB的夾角的余弦值為()1A5n5廠2為c3A.B.C.D.-535515,如圖，在正方體15,如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E, EF1A1D.F分別是BB1，B1Dj的中點，求證:16,如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E, F, G分別是A1B1, B1C1, C1D1的中點.

9、求證：入弓平面BEF；在棱BB1上找一點M,使。心上平面8歸尸，并證明你的 結論.【參考答案】知識點睛一、空間向量的定義及定理2.(1) a=Ab不共線，唯一，p=xa+ybp=xa+yb+zc，a，b，c三、空間向量的坐標運算(a.+b.，a +b， a3+b3)， (a.-b.，a2-b2, a3-b3)， (Aa.，Aa2, Aa3)a1b1+a2b2+a3b3，: a 2 + a 2 + a 21 12 23 3* 123a - b a b + a b + a b 1_1 _ _ ,a bJa.2 + a2 + a2 Jb2 + b2 + b2b b b ,一、b-Aa, i = 2 = 3 = X ( a , a , a 豐 0 )123a b = 0 , 少1+2力2+3力3=0四、空間位置關系1.(1)非零向量(2)垂直，n - a = 0n - b = 0 x y z2-2 = -2 = -2 ( x ， y ， z 豐 0 )， x x + y y + z z 0 xyz 111121212xx + y y + z z = 0，