等比數(shù)列的性質(zhì)

1、教學容【知識結(jié)構(gòu)】1 等比數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比 等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公 比；公比通常用字母q表示（q*0），即：業(yè)=q （q*0） an-11?！皬牡诙椘稹迸c“前一項”之比為常數(shù)（q） a 成等比數(shù)列 o am =q （ n g N+, q*0.n2。隱含：任一項a。0且g。0“a *0”是數(shù)列 a 成等比數(shù)列的必要非充分條件3 q= 1時，an為常數(shù)-等比數(shù)列的通項公式1： a = ai - qn-1（a - q豐0）等比數(shù)列的通項公式2： a = a - qm-1（aq。0）4既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列

2、：非零常數(shù)列5 等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，那 么稱這個數(shù)G為a與b的等比中項. 即G=士品？ （a, b同號）如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，則= G 2 = ab n G = y ab，a G反之，若G2 =ab,則G = b，即a, G, b成等比數(shù)列.a G/.a, G, b 成等比數(shù)列o G2 =ab (ab*0)6 等比數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+k，則a a = a a在等比數(shù)列中，m+n=p+q，a ,a ,a ,a有什么關(guān)系呢？ m n p k由定義得：a 由定義得：a = Qqm-1a a qn-1a = a qp-1

3、a = a - qk-1a - a = a 2 qa - a = a 2 qm+n-27 -等比數(shù)列的增減性：當q1, a1 0或0q1,a 1, a 0,或0q0時，a 是遞減數(shù)列；當q=111n是遞增數(shù)時, an是常數(shù)列；當q 0,a a + 2a a + a a2 43 54 6(2) a*c,三數(shù)&, 1, c成等差數(shù)列，a 2,1, c2成等比數(shù)列a + c，求a 2 + c 2例2已知：b是a與c的等比中項，且a、b、c同號，a + b + c ab + bc + ca求證： -，松abc 也成等比數(shù)列. TOC o 1-5 h z 33證明：由題設(shè)：b左ac得：a + b + c

4、 a + b + c ab + b 2 + bc , ab + bc + cax 3 abc =x 3 b 3 =(,333a + b + c ab + bc + ca ,v abc 3解：(1) .是等比數(shù)列，a a + 2a a + a a = (a + a )2 =25,24354 635又a 0,二 a + a =5;n35(2) *a, 1, c 成等差數(shù)列，二 a + c=2,又 a2, 1, c2 成等比數(shù)列，.a2 c2 = 1,有 ac = 1 或 ac = 1,當 ac= 1 時，由 a+c = 2 得 a=1, c=1,與 a*c 矛盾，ac= 1,a2 + c2 = (

5、a + c)2 一 2ac = 6012心例 4 已知無窮數(shù)列 105,105,105,A A 10 5 ,A A ，求證：(1)這個數(shù)列成等比數(shù)列這個數(shù)列中的任一項是它后面第五項的10 ，這個數(shù)列的任意兩項的積仍在這個數(shù)列中.n=1證：(1)= 1 5 =105 (常數(shù)).該數(shù)列成等比數(shù)列.an2n-1 10 5n1(2)氣= 5 = 10-1 =，即：a = a .an+410n 10 n+5n+510 5p-1q-1p+q - 2.(3) a a = 10 5 10 5 = 10 5，., p, q g N，.，. p + q 2*p + q -1 1 且(p + q - 1)g N，p

6、+q-2I n1 I.10 5 G ( 10 5，(第 p + q -1 項).例 5 設(shè)a,b,c,d 均為非零實數(shù)，(a2 + b2d2 一2b(a + c)d + b2 + c2 = 0，求證：a,b,c成等比數(shù)列且公比為d ,證一：關(guān)于d的二次方程C2 + b2d2 一2b(a + c)d + b2 + c2 = 0有實根，. = 4b2(a + c一 4(a2 + b2 )(2 + c2 ) 0 ,二一b2 ac 0則必有：b2 - ac = 0，即b2 = ac，.，. a,b,c成等比數(shù)列設(shè)公比為q，則b = aq，c = aq2代入(a 2 + a 2 q 2 d 2 一 2a

7、q (a + aq 2 d + a 2 q 2 + a 2 q 4 = 02 +1 2 豐 0 ，即 d 2 一 2qd + q 2 = 0 ，即 d = q 豐 0.證二：2 + b2 d 2 一 2b(a + c)d + b2 + c2 = 0證二：2 d 2 2abd + b 2)+ b 2 d 2 2bcd + c 2 )= 0(ad - b)2 + (bd - c)2 = 0/ a,b,c,d 非零，例6 設(shè)S為數(shù)列a 的前n項和，S = kn2 + n ，n g N* ，其中k是常數(shù)求 a1 及 a ；若對于任意的m g N*，a ，a2 ，a4成等比數(shù)列，求k的值 解(1 )當

8、n = 1, a1 = S1 = k +1 ，n 2, a = S - S= kn 2 + n - k (n -1)2 + (n -1) = 2kn - k +1 ( * )經(jīng)驗，n = 1, ( * )式成立，/. a = 2kn - k +1(2)。a ,a ,a 成等比數(shù)列，二 a 2 = a .a ， m 2 m 4 m2 mm 4 m即(4km - k +1)2 = (2km - k + 1)(8km - k +1)，整理得：mk(k 1) = 0，對任意的m g N *成立，.k = 0或k = 1例7在等差數(shù)列a中，若a10 = Q ，則有等式a1+a2+an=a+a2+ ai9

9、_n(n 19, nN)成立.類比上述性質(zhì)，相應地：在等比數(shù)列bn中，若bg= 1，則 有等式 成立答案：b1b2bn=b1b2b17_n (n17 nN*)；解：在等差數(shù)列an中，由辱=0，得ai + ai9=a2 + a18= an+a20_n= an+1 + a19n=2a10 = Q，所以 3 +胃2+,+,，+卜19=0，即3 +胃2+,+卜.=一a9一況一,一a+1，又，/a1=-a19，電=48，a19-n=-an+1a1+a2+ +an=a19 a18an+1 = a1+a2+ +a19-n，若 a9=0，同理可得 ai + a2+-+an=ai + a2 + ai7_n，相應

10、地等比數(shù)列bn中則可得：bib2bn=bib2bi7_n (n 0且b。1,b, r均為常數(shù))的圖像上.(1)求r的值；(2)當b=2時，記 b = 立 (n e N +)求數(shù)列b的前n項和Tn 4annn解：因為對任意的n e N +，點(n, S )，均在函數(shù)y = bx + r(b 0且b。1,b, r均為常數(shù))的圖像上.所以得Sn = bn + r,當 n = 1 曰時，a = S = b + r,所以 a = (b 1)bn-1n當 n 2 時，a = S S = bn + r (bn1 + r) = bn bn所以 a = (b 1)bn-1n7 n +1 n +1 n +1b =

11、7 n +1 n +1 n +1b =n 4a4 X 2n-12n+1(2)當 b=2 時，a = (b 1)bn-1 = 2n-1,n n +12n+1=-2 + 蘭 + 蘭 + L + TOC o 1-5 h z 222324234丁 nn +1+ + +L + 23 24252n+12n+2相減，得；T2n=相減，得；T2n=A +1 +1 +1 + L +2223242512n+1n +12n+211、n +12n+21 n n +12n+21 n +1_ 2n+12n+2232n1+2所以Tn【鞏固練習】設(shè)等比數(shù)列an的公比q=2,前n項和為Sn,則& =號.等比數(shù)列an中，a3=7

12、,前3項之和S3=21，則公*q的值為1或-2. 如果-1,a,b,c,-9 成等比數(shù)列，那么 b=_-3,ac=_9. 在等比數(shù)列an中，已知a1a3a11=8，則a2a8=4.若數(shù)列an的前n項和Sn=3n-a，數(shù)列an為等比數(shù)列，則實數(shù)a的值是1.設(shè)a ,a ,a ,a成等比數(shù)列，其公比為2，2a1 + a2的值為 -.1 2 3 42a3 + a 44等比數(shù)列an前n項的積為Tn,若a3a6a18是一個確定的常數(shù)，那么數(shù)列T10，T13t17，T25中也是常數(shù)的項是_t17.在等比數(shù)列中，a = 2，前n項和為S，若數(shù)列a +1也是等比數(shù)列，則Sn1nnn等于(C ).(A)2n+i

13、2(B) 3n(C) 2n(D)3n-1C.提示：因數(shù)列a 為等比，則a = 2qn-1，因數(shù)列a +1也是等比數(shù)列，(a +1)2 = (a + 1)(a+1) n a 2 + 2a = a a + a + a n a + a = 2a貝n+1nn+2n+1n+1n n+2nn+2nn+2n+1n a (1+ q2 - 2q) = 0 n q = 1即a = 2，所以S = 2n，故選擇答案C。若互不相等的實數(shù)a, b, c成等差數(shù)列，c, a, b成等比數(shù)列，且a + 3b + c = 10 ，則 a = ( D)A4 B - 2 C2 D4提示：由互不相等的實數(shù)a, b, c成等差數(shù)列可設(shè)a=b d，c = b + d，由a + 3b + c = 10可得b=2，所以a = 2 d，c = 2 + d，又c,a,b成等比數(shù)列可得d =6