力學(xué)中的守恒定律

1、第 2 章力學(xué)中的守恒定律關(guān)于物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的表述,除了牛頓運(yùn)動(dòng)定律之外,還有能量、動(dòng)量和角動(dòng)量三個(gè) 定理和三個(gè)守恒定律.表面上看來(lái),這三個(gè)定理僅是牛頓運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)學(xué)變形,但物理學(xué) 的發(fā)展表明,能量、動(dòng)量和角動(dòng)量是更為基本的物理量,它們的守恒定律具有更廣泛、 更深刻的意義.能量、動(dòng)量和角動(dòng)量及其各自的守恒定律是既適用于宏觀世界 ,又適用 于微觀領(lǐng)域;既適用于實(shí)物,又適用于場(chǎng)的物理量和運(yùn)動(dòng)規(guī)律.2.1功和能 機(jī)械能守恒定律一 、 功及功率1. 功 由前面的討論可知,力可以使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化,那么力對(duì)空間的累積會(huì) 產(chǎn)生什么效應(yīng)呢?在力學(xué)中,力對(duì)空間的積累效應(yīng)表現(xiàn)為功 ,受力情況不同,功的表達(dá)方

2、 式也就不同.恒力的功 恒力即力的大小和方向在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中均不變的力.如圖 2.1 所示, 設(shè)物體在恒力F的作用下，由a沿直線運(yùn)動(dòng)到b,其位移為Ar .由中學(xué)物理知道,力在位 移上的投影Fcos0與位移大小的乘積為力的功，以A表示，即A = F cos 0|Ar|(2.1)式中0為F與位移Ar的夾角.由矢量代數(shù)知,兩矢量的大小與它們之間夾角余弦的積為 一標(biāo)量, 稱為標(biāo)積.因此,功可用力與位移的標(biāo)積表示,即A = F Ar(2.2)功是標(biāo)量，其正負(fù)由和的夾角0決定.由式(2.1)知，當(dāng)0 0時(shí)，功為正, 說(shuō)明力對(duì)物體做正功(如物體下落時(shí)重力作的功);當(dāng)0 冗/2,即cos0 fbdA = b

3、F draa(2.4)式中 a、b 表示曲線運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn).(2.4)式即為計(jì)算變力作功的一般公式,在數(shù)學(xué)上稱為F的曲線積分其在直角坐標(biāo)系中可表示為A = fbdA A = fbdA = b F dr =Jb ( Fdx +aaF dy + F dz)yz(2.5)例2.1如圖2.3所示，水平外力P把單擺從鉛直位置(平衡位置)0點(diǎn)拉到與鉛直例2.1如圖2.3所示，水平外力P把單擺從鉛直位置(平衡位置)0點(diǎn)拉到與鉛直線成6角的位置.試計(jì)算力對(duì)擺球所作的功(擺球的質(zhì)量 0m與擺線的長(zhǎng)度l為已知，且在拉小球的過(guò)程中每一位置 都處于準(zhǔn)平衡態(tài)).解 由題意知小球在任一位置都處于準(zhǔn)平衡態(tài) ,其平 衡方程

4、可表示為水平方向P-Tsin6 = 0豎直方向T cos 6 - mg = 0/0P6Pmmg*可得 P = mg tan 6 (變力)當(dāng)小球在6位置處沿圓弧作微位移dr時(shí)，力P所作的元功為dA = P dr = Pdr cos 6 = P cos 6 ld6 = mgl sin 6 d6單擺在6從0到6的過(guò)程中拉力P所作的功為0A = A = J dA = J60mgl0sin 6d6 = mgl (1 - cos 6 ) 0同樣可討論重力對(duì)小球所作功。例2.2 一質(zhì)量為2x 103kg的卡車啟動(dòng)時(shí)在牽引力F = 6x 103tN的作用下,自原點(diǎn) x處從靜止開(kāi)始沿x軸作直線運(yùn)動(dòng).求在前10s

5、內(nèi)牽引力所作的功.解 已知力與時(shí)間的關(guān)系 F =6x103tN ，但不知道力與質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系 ，因此 x不能直接應(yīng)用公式來(lái)計(jì)算功，應(yīng)先求出x(t)的表達(dá)式才能計(jì)算力的功.d udtd udt6 X 10 3 t2 X 10 3= 3 tdtdxu = T dx = u dt = 1.5t 2dt dt故牽引力在前 10s 內(nèi)作的功A = f A = f F dx =xf10 9t 3 X103dt0= 2.25X107 (J)2. 功率 在實(shí)際問(wèn)題中,不僅需要知道力所作的功,而且還需要知道作功的快慢 .力在單 位時(shí)間內(nèi)所作的功稱為功率，用P表示.設(shè)在時(shí)間At內(nèi)所作的功為AA，則在這段時(shí)間內(nèi)

6、 的平均功率為P = P = A A -0 T PA tdAdt(2.6)2.7)dA =戸 d r dtdt2.7)可見(jiàn)，瞬時(shí)功率等于力與速度的標(biāo)積.在國(guó)際單位制中,功率的單位是(Js-1)稱為瓦特(W).其量綱為. 功率還常用千瓦(KW)、馬力(HP)作單位，其換算關(guān)系為1HP= 0.735KW動(dòng)能和動(dòng)能定理大家知道，飛行的子彈能夠穿透木板而作功;落下的鐵錘能夠把木樁打進(jìn)泥土而作 功等等.運(yùn)動(dòng)著的物體具有作功的本領(lǐng)叫動(dòng)能.當(dāng)子彈穿過(guò)木板時(shí)，由于阻力對(duì)子彈作負(fù) 功，使子彈的速度減小.可見(jiàn)，力作功的結(jié)果將改變物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) .以此為線索，建立力的空間累積 (功)與狀態(tài)變化的關(guān)系.u-01. 質(zhì)

7、點(diǎn)的動(dòng)能定理 首先討論物體在恒合外 力的作用下作勻加速直線運(yùn) 動(dòng)的情況.如圖所示，物體的質(zhì)u-0量為m,初速度為u0，所受合外力為F,加速度為a,經(jīng)過(guò)位移s后的速度為u，按直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及牛頓第二定理有得合 外力對(duì)物體所作的功為A = A = F - A r = Fs2a即：11MU 2 即：11MU 2 一mu 22 2 02.8)上式中出現(xiàn)了一個(gè)其值取決于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和速率的物理量1MU 2它是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的函數(shù)我們將2 g定義為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能并用來(lái)表示:E = - MU2K 2(2.9)(2.8)式亦可寫(xiě)成(2.9)A = E 一 E 二 AEkk0k上式表明:恒合外力對(duì)物體所作的功等于物體動(dòng)

8、能的增量,此即動(dòng)能定理.因動(dòng)能的變化用功來(lái)量度,故動(dòng)能與功的單位相同,在國(guó)際單位制中,動(dòng)能的單位也 為焦耳J)。當(dāng)合外力是變力,物體作曲線運(yùn)動(dòng)的情況下 ,仍可以得到(2.9)式的結(jié)果.如圖所示, 根據(jù)牛頓第二定理,在位移元內(nèi)的元功可表示為dA = F dr = F cos a |dR | = F ds = m 普 ds = mudu的功為的功為A = fb F dr = fb F cos a dr =b F ds = bmdsAAA RA dt=f b=f bmd u dAdtfb mu du =A11m u 2 一 m u 22 2 0即：A = 即：A = E 一 E = AEkk 0k1

9、1=mu2 一mu22 2 0可見(jiàn),物體無(wú)論是受恒力還是變力作用,沿直線還是曲線運(yùn)動(dòng)都滿足(2.9)式,即合外力對(duì)物體所作的總功等于物體動(dòng)能的增量.所以(2.9)式是動(dòng)能定理的普遍表達(dá)式.由式(2.9)可知，當(dāng)外力對(duì)物體作正功時(shí)(A0),物體的動(dòng)能增加;當(dāng)外力對(duì)物體作負(fù)功時(shí) (AvO),物體的動(dòng)能減少，亦即物體反抗外力作功，此時(shí)物體依靠動(dòng)能的減少來(lái)作功；若 (A=0),則外力不作功，物體的動(dòng)能不變.例題2.3 對(duì)例題 2.1采用動(dòng)能定理求解.解由于小球在任一時(shí)刻都處于平衡態(tài)，其動(dòng)能的增量AE = 0,由動(dòng)能定理得kA + A + A 二 0T P mg又拉力T與dr始終垂直而不做功，所以At

10、= 0所以：A = -A = -fe mg - dr所以：P mg e=-Je mg cos(90。+ e)lde = mgl(1 - cos e )e00所得結(jié)果與例題2.1的結(jié)果相同，但用動(dòng)能定理求解要簡(jiǎn)單的多.例題2.4 一物體由斜面底部以初速度u二20m- s-1向斜面上方?jīng)_去，又回到斜面0底部時(shí)的速度為u = 10m - s-i，設(shè)物體與斜面間有滑動(dòng)摩擦.求物體上沖的最大高度. f解 本題可以用運(yùn)動(dòng)方程求解，也 可以用動(dòng)能定理求解.這里選用動(dòng)能 定理來(lái)求解.設(shè)物體的質(zhì)量為m,斜面 夾角為 e ，物體與斜面間的摩擦系數(shù) 為卩，物體上沖的最大高度h。對(duì)于物 體的上沖過(guò)程，重力和摩擦力對(duì)物

11、體作負(fù)功，使物體上沖到最高點(diǎn)時(shí),u = 0 .在垂直于斜面的方向上,N - mgcose = 0,則其滑動(dòng)摩擦力f = pN = pmg cos e. r上沖過(guò)程中，外力所作的總功為hA = (-mg sin e - p mg cos e)= -mgh - pmghctgBsine由動(dòng)能定理有(1)11 -mgh - pmghctg e = 0 - mu 2 = - m(1)2 0 2 0 同理，對(duì)于下滑過(guò)程外力所作的總功為A = (A = (mg sin e - p mg cos e)hsin e= m g h- pm g h c et g由動(dòng)能定理得mgh - pmghctgd =(2mg

12、h - pmghctgd =(2)mu 22 f心U2 +U2(2) (1)得：h = 匚=1276m4g通過(guò)以上討論,應(yīng)該注意兩點(diǎn):功和能的概念不能混淆,動(dòng)能是物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的單值函數(shù),是反映質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 的物理量,即是一個(gè)狀態(tài)量.而功是與質(zhì)點(diǎn)受力并經(jīng)歷位移這個(gè)過(guò)程相聯(lián)系的.過(guò)程意 味著狀態(tài)的變化,所以功不是描述狀態(tài)的物理量,而是過(guò)程的函數(shù),即為過(guò)程量.我們可 以說(shuō)處于一定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的質(zhì)點(diǎn)有多少動(dòng)能 ,但說(shuō)質(zhì)點(diǎn)有多少功就毫無(wú)意義,這是功和能 的根本區(qū)別.動(dòng)能定理建立了功這個(gè)過(guò)程量與動(dòng)能這個(gè)狀態(tài)量之間的關(guān)系 ,說(shuō)明了做功 是動(dòng)能發(fā)生變化的手段,而動(dòng)能的改變又是對(duì)功的度量.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理是根據(jù)牛頓第

13、二定律推導(dǎo)出來(lái)的,所以也只能適用于慣性系中. 2 質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理下面我們把由若干質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組作為研究對(duì)象,討論內(nèi)、外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)組作功與 質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能變化之間的關(guān)系.設(shè)質(zhì)點(diǎn)組由n個(gè)質(zhì)量分別為m ,m，,m ,的質(zhì)點(diǎn)組成.其中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)在內(nèi)、外力1 2 n1m U22 1m U22 i i+Ai外m u2 = +Ai外2 i i 0 i i 內(nèi)對(duì)質(zhì)點(diǎn)組中的所有質(zhì)點(diǎn)都寫(xiě)出類似的表達(dá)式,求和得工1 m u 2 工1 m u 2 2 i ii=1工1 m u22 i i 0 i=1=A +1LAi內(nèi)i外i=1i =1即E E = A +Akk 0內(nèi) 外(2.10)g f21 九叫g(shù) f21 九叫兩球內(nèi)力

14、(2.10)式表明:質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能的增量,等于所有內(nèi)力作功和所有外力作功的代數(shù)和 ,這稱做質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能定理.值得注意的是 ,由于作用力和反作用力總是大小相 等、方向相反,故質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)力的矢量和為零,但作用力 的功與反作用力的功卻不一定等值反號(hào),所以對(duì)質(zhì)點(diǎn) 組來(lái)說(shuō),內(nèi)力作功的代數(shù)和不一定為零.如對(duì)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn) (如圖 2.6)而言,內(nèi)力的總元功為dA = f - dr + f - dr = f - (dr dr) = f - dr內(nèi) 21112212211221其中f是質(zhì)點(diǎn)1對(duì)質(zhì)點(diǎn)2的作用力,dr是質(zhì)點(diǎn)2對(duì)質(zhì)點(diǎn)1的相對(duì)位移.上式表明，一對(duì)12 12內(nèi)力的元功和等于一質(zhì)點(diǎn)對(duì)另一質(zhì)點(diǎn)作用力與另一質(zhì)點(diǎn)對(duì)施力質(zhì)點(diǎn)

15、相對(duì)位移的點(diǎn)積 . 因此,只要二質(zhì)點(diǎn)相對(duì)位移不等于零 ,也不與相互作用力垂直,內(nèi)力功就不等于零;一對(duì) 內(nèi)力的功與參考系的選取無(wú)關(guān).一質(zhì)點(diǎn)組所有內(nèi)力的總功也與參考系的選取無(wú)關(guān) ,只取 決于內(nèi)力和相對(duì)位移.三、保守力 勢(shì)能1. 保守力分別為 y 、y ,重力的表達(dá)式為ABmg = mg2.7重力作功重力的功 質(zhì)量為 m 的某質(zhì)點(diǎn)在重力 作用下沿任意一條曲線自 A 點(diǎn)移動(dòng)至 B 點(diǎn), 如圖2.7所示.為計(jì)算重力分別為 y 、y ,重力的表達(dá)式為ABmg = mg2.7重力作功而位移兀的表達(dá)式為dr二dxi + dyj + dzk根據(jù)功的定義式，從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過(guò)程中重力所的功為(2.11)A = f

16、F - dr = J yB mgdy = mg( y y )(2.11)AB yA如果質(zhì)點(diǎn)不是沿ACB路徑從A點(diǎn)到B點(diǎn)，而是沿其它任意路徑由A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，則可 以證明重力作功仍為(2.11)式.由此可見(jiàn)，重力作功具有一個(gè)重要特點(diǎn) :重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功由質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于地面的始末位置決定，而與所通過(guò)的具體的路徑無(wú)關(guān).彈性力的功 放在光滑水平面上的 彈簧一端固定，另一端系一質(zhì)量為 m 的 質(zhì)點(diǎn)，將彈簧拉長(zhǎng)后釋放使質(zhì)點(diǎn)在彈性力 的作用下在平衡位置附近振動(dòng) ，如圖 2.8 所示設(shè)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k,取平衡位置 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立 ox 坐標(biāo)系，當(dāng)物體處于 位置 D 時(shí)，即彈簧伸長(zhǎng)(或壓縮)了一斷距 離x,根據(jù)

17、胡克定律可得彈性力為F = 一 kxi物體在D點(diǎn)附近移動(dòng)無(wú)限小位移dxi時(shí)，彈性力所作的元功dA二-kxdx,于是物體由A 點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中,彈性力所作的總功為(2.12)A 二 f F - dr = f xb kxdx 二kx 2 kx 2(2.12)xA2 A 2 BAA如果質(zhì)點(diǎn)先由A點(diǎn)到B點(diǎn)，再由B點(diǎn)到C點(diǎn),最后由C點(diǎn)再返回到B點(diǎn)，在整個(gè)過(guò)程 中彈性力的功由三部分組成,即 A = A + A + A= ( kx 2kx 2) + ( kx 2kx 2) + ( kx 2kx 2)=kx 2 kx 2232A 2B 2B 2C 2C 2B 2A 2B由以上計(jì)算可知,質(zhì)點(diǎn)經(jīng)A、B、C點(diǎn)再

18、回到B點(diǎn)后彈性力所作的功與質(zhì)點(diǎn)直接由A點(diǎn)到B點(diǎn)過(guò)程彈性力作的功完全相同.由此可見(jiàn)，彈性力做功也具有同樣的特點(diǎn):只由 質(zhì)點(diǎn)的始末位置決定而與通過(guò)的具體路徑無(wú)關(guān).萬(wàn)有引力的功 設(shè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)處于質(zhì)量為 M 的靜止質(zhì)點(diǎn)的引力場(chǎng)中,并從 a 點(diǎn)沿任一曲線路徑移至 b 點(diǎn),同重力與彈性力的討論相同,萬(wàn)有引力作功也只由質(zhì)點(diǎn) m的始末位置決定,而與質(zhì)點(diǎn)所通過(guò)的具體路徑無(wú)關(guān).上述結(jié)果可歸納如下：重力的功：A = mg(y 一 y )A B彈簧的彈性力是功：A = 1 kx2 1 kx2(2.13)2 A 2 B萬(wàn)有引力的功：A = -GMm(丄-丄)r rab保守力與非保守力 綜合以上幾種力的作功,都有

19、一個(gè)共同的特點(diǎn),即該力所作的 功僅與受力質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān),而與質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān).把具有這種性質(zhì)的力稱 為保守力.若讓質(zhì)點(diǎn)僅在保守力作用下沿一閉合路徑運(yùn)動(dòng), 所做的總功顯然為f F dl 二 0上式即為保守力的判別條件.與此相對(duì)應(yīng),把作功不僅與始末位置有關(guān),而且與質(zhì)點(diǎn)所經(jīng) 過(guò)的路徑有關(guān)的力稱為非保守力.如摩擦力等.2. 勢(shì)能勢(shì)能 由于保守力做功與路徑無(wú)關(guān),只與始末位置有關(guān),由此可知,必然存在一個(gè)由 相對(duì)位置決定的函數(shù),把這個(gè)函數(shù)定義為勢(shì)能,而且質(zhì)點(diǎn)由始位置移到末位置時(shí)刻函數(shù) 的增量與保守力作功相聯(lián)系 ,從而規(guī)定:勢(shì)能的增量等于保守力作功的負(fù)值 ,用 E 和P0E 分別表示質(zhì)點(diǎn)在始、末位置的

20、勢(shì)能,用 A 表示保守力由初始位置到末位置作的功 , p保則有E - E 二一A(2.14)PP 0保亠亠0保守力做正功，勢(shì)能減少由上式可見(jiàn),A,保（2.26a）ci ii=1Z =藝 m z / mci ii=1以上三式為計(jì)算質(zhì)心位置的普遍公式，也可以寫(xiě)成矢量式迓 m r / mii迓 m r / mii(2.26b)i=1i=1如果把質(zhì)量連續(xù)分布的物體當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)系,求質(zhì)心時(shí)就要將求和改為積分,即J rdmJ dm九dlJ rdmJ dm九dl線分布dm = ds面分布分量式X =p dV體分布J xdmJ dm(2.26c)力學(xué)中還常用重心的概念.重心是一個(gè)物體各個(gè)部分所受的重力的合力作用點(diǎn)

21、.可 以證明尺寸不十分大的物體,它的質(zhì)心與重心位置重合.例題2.9地球質(zhì)量為M = 5.98x 1024kg,月球質(zhì)量為M = 7.35x 1022kg,它們的中EM心的距離l = 3.84 x 105km .求地一月系統(tǒng)的質(zhì)心位置.解：地球和月球都可看作均勻球體,它們的質(zhì)心都在各自的球心處.這樣就可以把 地一月系統(tǒng)看作地球與月球質(zhì)量分別集中在各自的球心的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn) .選擇地球中心為 原點(diǎn),x軸沿著地球中心與月球中心的連線，則系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)為= 4.72 x103 kmM - 0 + M -1 M -1 = 4.72 x103 kmM + MMEME這就是地一月系統(tǒng)的質(zhì)心到地球中心的距離.這一距

22、離約為地球半徑(637 x 103km)的 70%, 約為地球到月球距離的 1.2%.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：若對(duì)質(zhì)心位矢求導(dǎo)數(shù),則得到質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)速度:V=cdc =迓V=cdc =迓dtdrm i- / m =i dt迓 m 0 / mii亦即mV =迓 m 0 = P c i ii=1i=1i=1即質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量等于它的總質(zhì)量與它的質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)速度的乘積 .總動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率為dP dV -=m & = ma dt dt c式中ac是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的加速度.由前面討論可知：不=F即F = ma(2.27)c這一公式叫做質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理.它表明一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心的運(yùn)動(dòng),就如同這樣一個(gè)質(zhì) 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),該質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量等于整

23、個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量并且集中在質(zhì)心,而此質(zhì)點(diǎn)所受的力是質(zhì) 點(diǎn)系所受的所有外力之和.需要指出的是,在這以前我們常常用質(zhì)點(diǎn)一詞來(lái)代替物體,在某些問(wèn)題中,物體 并不太小,因而不能當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)看待,但我們還是用了牛頓定律來(lái)分析研究它們的運(yùn)動(dòng).嚴(yán) 格地說(shuō),我們是對(duì)物體用了式 (2.27)那樣的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,而所分析的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是物 體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng).在物體作平動(dòng)的條件下,因?yàn)槲矬w中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)相同,所以可以用質(zhì)心 的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表整個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)而加以研究.三、動(dòng)量守恒定律對(duì)于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)，若F=0,則由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理知mD二mD,這就是慣性定律.對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系來(lái)說(shuō)，若工F = 0,則由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理知i工m D二工P =常矢量(2

24、.28a)i i i i 0ii i i上式表明:對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系來(lái)說(shuō).若外力矢量和為零,雖然質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量可以變化, 可以相互交換,但質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量不變.這一規(guī)律稱為動(dòng)量守恒定律.應(yīng)用動(dòng)量守恒定律分析解決問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn):系統(tǒng)動(dòng)量守恒的條件是合外力為零，即F=0但在外力比內(nèi)力小得多的情況下, 外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量變化影響甚小,這時(shí)可以認(rèn)為近似滿足動(dòng)量守恒定律條件,也就 可以近似地應(yīng)用動(dòng)量守恒定律.例如兩物體的碰撞過(guò)程,由于相互撞擊的內(nèi)力往往很大, 所以此時(shí)即使有摩擦力或重力等外力,也常可忽略它們,而認(rèn)為系統(tǒng)的動(dòng)量守恒.動(dòng)量守恒表示式(2.28)是矢量式,在實(shí)際問(wèn)題中,常應(yīng)用其沿坐標(biāo)軸

25、的分量式,如 直角坐標(biāo)系下，當(dāng)F = 0 T 工m d 二 P 二常數(shù)(2.28b)x i ix xi由此式可見(jiàn),如果系統(tǒng)所受外力在某個(gè)方向上的分量代數(shù)和為零,那么系統(tǒng)的總動(dòng) 量在該方向上的分量保持不變.動(dòng)量守恒定律不僅適用于一般物體,而且也適用于分子、原子等微觀粒子,是物 理學(xué)中最普遍的定律之一.實(shí)踐表明,在牛頓定律一般不適用的領(lǐng)域,如研究微觀粒子問(wèn) 題中,動(dòng)量守恒定律仍然是適用的.由于我們是用牛頓定律導(dǎo)出動(dòng)量守恒定律的,所以它只適用于慣性系.例題 2.10 (P47)作業(yè)(P56):13、17、19、25四、碰撞把兩個(gè)相互作用時(shí)間很短(10-2s以下)的過(guò)程稱為碰撞.如宏觀意義上的撞擊、打

26、 樁、鍛鐵等,微觀領(lǐng)域中的分子、原子、原子核等的散射,在此僅討論宏觀領(lǐng)域的碰撞 問(wèn)題.對(duì)于碰撞問(wèn)題,由于相互作用的物體的作用時(shí)間極短,相互作用力即沖力又非常的大,系統(tǒng)所受外力一般遠(yuǎn)小于沖力,可忽略不計(jì),因此,對(duì)于碰撞問(wèn)題,系統(tǒng)的動(dòng)量守恒. 根據(jù)相互作用前后各物體的速度的方向 ,可以把碰撞分為正碰 (對(duì)心碰撞 )和斜碰. 如果兩球相碰前后的速度均在兩球中心的連線上 ,則稱為正碰或?qū)π呐鲎?否則稱為斜 碰.兩球的碰撞過(guò)程可分為兩個(gè)階段,第一階段為壓縮變形階段,從接觸、擠壓變形到 相對(duì)速度為 0;第二階段為彈性恢復(fù)階段,根據(jù)碰撞后的恢復(fù)情況,把碰撞分為:(1) 兩球完全恢復(fù)原來(lái)的形狀,稱為彈性碰撞.

27、碰撞過(guò)程中動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化 ,最 終使碰撞前后動(dòng)能守恒.(2) 兩球變形后沒(méi)有恢復(fù)原來(lái)形狀 ,即碰撞后連成一體,以同一速度運(yùn)動(dòng),其動(dòng)能不 守恒,此種碰撞稱為完全非彈性碰撞.若兩球只部分恢復(fù)原狀,為非彈性碰撞.碰撞前后動(dòng)能不守恒.彈性碰撞(正碰)設(shè)兩物體發(fā)生彈性正碰,碰撞前的速度分別為u和u ，質(zhì)量分別為m和m，碰撞10 20 1 2后的速度為u和u 由于為正碰，速度都在一條直線上，由動(dòng)量守恒定律和碰撞前后動(dòng)12能守恒有(2.29)(2.30)(2.31)m u + m u 二 m u + m (2.29)(2.30)(2.31)1 1 2 2 1 10 2 201 1 1 1m u 2 +

28、m u 2 = m u 2 + m u 22 1 1 2 2 2 2 1 10 2 2 20由上兩式可得u - u = u - u2 1 10 20這表明在彈性正碰中，碰后兩物體相互分離的速度等于碰前兩物體相互趨近的速 度，求解式(2.29)及(2.31)得出碰撞后的速度u1u2(m 一 m )u + u1u2(2.32)1 2 10 2 20m + m(2.32)12(m 一 m )u+ 2m u2+2040m + m12由(2.32)式結(jié)果，討論以下幾種特殊情形:(1)當(dāng)m = m時(shí)，u =u , u =u，表明在彈性正碰中，兩質(zhì)量相等的物體碰撞后1 2 1 20 2 10 彼此對(duì)換速度.

29、若m碰前靜止，即u = 0,則:2 20（m 一 m ）u =1um + m 10 1 22mu =1 um + m 1012進(jìn)一步分別討論m二山2，山山2和山1山2。表明一個(gè)質(zhì)量很小的物體碰撞一質(zhì) 量很大且靜止的大物體時(shí) , 小物體幾乎以原速率反彈回來(lái) , 而質(zhì)量大的物體幾乎保持 不動(dòng)，質(zhì)量很大的物體與質(zhì)量很小的且靜止的物體碰撞后， 質(zhì)量大的物體速度不變， 質(zhì) 量小的物體卻以幾乎兩倍與大質(zhì)量物體的速度運(yùn)動(dòng).上述現(xiàn)象在核反應(yīng)堆中得到了應(yīng)用.在核反應(yīng)堆中,基本的核反應(yīng)是鈾（ U 235）俘 獲中子后發(fā)生裂變,裂變時(shí)放出更多的中子,如再被鈾俘獲造成鏈?zhǔn)椒磻?yīng)就能放出大量 的能量，裂變時(shí)放出的中子（快

30、中子）速度較高（約為106m/s）,而鈾只能俘獲慢中子（約為 103m/s）因此必須在核反應(yīng)堆中放置減速劑，使快中子跟減速劑中的原子核不斷碰撞 以減緩速度.從上面的討論可見(jiàn),選用質(zhì)量與中子質(zhì)量差不多的靶核 ,其減緩效果最好, 通常在核反應(yīng)堆中的減速劑為氘核（在重水中的重氫核）和碳核（在石墨中）.完全非彈性碰撞在完全非彈性碰撞中 ,碰撞后兩物體速度相同,即u = u = u12根據(jù)碰撞前后動(dòng)量守恒,得(2.33)m u + m u u = 1-02 20(2.33)m + m 12在碰撞過(guò)程中機(jī)械能損失為AE = E- E = m u2 + m u2 - (m + m )u2k 0 k 2 1

31、10 2 2 20 2 1 2mm(u -u)22(m + m )102012完全非彈性碰撞的機(jī)械能損失最大,其損失的機(jī)械能變?yōu)槠渌问降哪芰浚ㄈ鐭崮艿龋?非彈性碰撞把介于彈性碰撞和完全非彈性碰撞之間的碰撞稱為非彈性碰撞 ,其機(jī)械能的損失 量取決于恢復(fù)系數(shù)，用e表示由（2.31）式可定義為(2.34)u -u(2.34)e = 21-u -u1020恢復(fù)系數(shù) e 由碰撞物體的材料決定,只要能知道 e 的值就可以求出碰撞后物體的狀態(tài). 彈性碰撞相當(dāng)于e=1;完全非彈性碰撞,相當(dāng)于e=0，而彈性碰撞的恢復(fù)系數(shù)為Ovev 1,這 種碰撞中兩物體的形變不能完全恢復(fù),部分動(dòng)能變成熱能或其它形式的能量,根

32、據(jù)(2.29) 和(2.34)式,求得碰后的速度為(2.35)(2.35)最后應(yīng)注意牛頓定律與守恒定律的適用范圍 ,牛頓定律只適用于宏觀低速的運(yùn)動(dòng) 物體(即速度遠(yuǎn)小于光速),對(duì)于高速的運(yùn)動(dòng)物體要用相對(duì)論求解 ,微觀粒子用量子力學(xué) 求解.但能量守恒與動(dòng)量守恒對(duì)微觀粒子仍然適用,即能量守恒和動(dòng)量守恒比牛頓定律 具有更大的普遍性.例題2.11如圖2.17所示，兩小球吊在兩根細(xì)線上，線長(zhǎng)都是I = 10m,小球的質(zhì)量分別為m = 800g和m = 200g,m吊著不動(dòng)，把m的1 2 1 2 線拉成水平,然后放開(kāi)讓其下落與 m 作彈性碰撞,求第1 一次碰撞后各自上升的高度.解：碰撞前m靜止,u = 01

33、 10自由下落滿足機(jī)械能守恒,由此得u=20由于為彈性碰撞,碰撞前后動(dòng)量守恒,動(dòng)能也守恒.即有m u = m u + m u2 20 1 1 2 2 TOC o 1-5 h z T11m u 2 = m u 2 + m u 2122 2021 122 2解之得(m - m )u + 2m u門” 亠”u = 12_100 = 04u = 1 77m - s -11m + m20丿 1 2(m - m )u + 2m u+ 300 = 06u = 2 67m - s -1 HYPERLINK l bookmark219 o Current Document m + m2012式中負(fù)號(hào)表示與碰撞前

34、的速度方向相反.碰撞后，設(shè)小球m和m各自上升的高度分別為和h由各自機(jī)械能守恒得1 2 1 2h = i-12 g0.16m, h h = i-12 g22 g2.3 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量也稱為動(dòng)量矩,它是描寫(xiě)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量.對(duì)于質(zhì)點(diǎn)在中心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng), 例如天體的運(yùn)動(dòng)、原子中電子的運(yùn)動(dòng)等,角動(dòng)量是非常重要的物理量. 一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律力矩 在中學(xué)物理中,我們知道當(dāng)物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化與外力的力矩有關(guān) . 力矩的大小為力與力臂的乘積，即M 二 Fd現(xiàn)在，我們把力矩的概念推廣.如圖2.18所示，取某點(diǎn)O為參考點(diǎn),0到質(zhì)點(diǎn)P的位置矢量為尸,質(zhì)點(diǎn)所受的 外力為F,則定義F對(duì)參考點(diǎn)0的力矩

35、為質(zhì)點(diǎn)對(duì) 參考點(diǎn)的位置矢量與所受力的矢積.即M = r x F(2.36)(這里用到矢積的概念 ,這種乘法也叫叉乘 .矢量 A與B的矢積A x B還是一個(gè)矢量，其大小為AB sin 0,0是A與B所夾小于180。的角，方 向滿足右手螺旋法則，即:右手四指與拇指垂直，四指從矢量A經(jīng)小于180。角轉(zhuǎn)向矢量 B,這時(shí)拇指所指的方向即為的方向).按照矢積的定義，力矩大小為M = |M| = r x F| = rF siiiP為r與F小于180 o的夾角.顯然,0點(diǎn)至F的垂直距離為d二rsin.可見(jiàn)，力矩的大小等于參考點(diǎn)到力的垂直 距離與力的大小的乘積.按照矢積的定義， 力矩 M 的指向由右手螺旋法則確

36、定，即:把右手四指從 r 轉(zhuǎn)向 F (轉(zhuǎn)角小于n ),大拇指的指向即M的指向.在國(guó)際單位制中，力矩的單位名稱為牛頓米(Nm).角動(dòng)量 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，速度為0，它對(duì)參考點(diǎn)的位置矢量為r,與力矩類 似，我們定義其角動(dòng)量(動(dòng)量矩)為L(zhǎng) = r x P(2.37)因此，質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量為位置矢量與動(dòng)量的矢積.按照矢積的定義， 角動(dòng)量也是矢量.在國(guó)際單位制中，角動(dòng)量的單位是:千克米2/秒(kgm2/s).例題 2.12 氫原子中 的 電子繞原子核作圓周運(yùn)動(dòng)，在基態(tài)時(shí) ，運(yùn)動(dòng)的 半徑r = 0.529 x 10-10m ,速度為o = 2.19 x 106m/s ,求電子對(duì)原子核的角動(dòng)量.(電子質(zhì)量m 二 9.11 x 10 -31kg)解：電子對(duì)原子核的角動(dòng)量為L(zhǎng) = rxP = rxmu因?yàn)殡娮幼鲌A周運(yùn)動(dòng)，所以r丄 B = 90o,因此角動(dòng)量大小為L(zhǎng) 二 mru = 1.06 x 10-34 kg - m2 / s電子角動(dòng)量 L 的方向垂直于電子圓周運(yùn)動(dòng)的平面，它的指向由右手螺旋法則確定. 如果電子圓周運(yùn)動(dòng)的平面是紙面的話，則當(dāng)電子繞原子核順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量的指向 垂直紙面向里，當(dāng)電子繞原子核逆時(shí)