解三角形知識(shí)點(diǎn)歸納

1、文檔編碼 : CB10W9T5H7V10 HS6M6Z4R4S10 ZK6I6E2Z4R4學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 解三角形學(xué)問點(diǎn)歸納 1,三角形三角關(guān)系： A+B+C=180； C=180 A+B ； tan C, C的外 . . 對(duì)于已 2,三角形三邊關(guān)系： a+bc; a-bc 3,三角形中的基本關(guān)系： sin A B sin C, cos A B cos C, tan A B sin A B cos C ,cos A 22B sin C , tan A 22B cot C 224,正弦定理：在 C中, a , b , c 分別為角 , , C 的對(duì)邊, R 為 接圓的半徑,就有 abc 2

2、R sinsin sin C 5,正弦定理的變形公式： 化角為邊： a2Rsin , b 2Rsin , c 2Rsin C ； 化邊為角： sin a, sin b, sin C c ； 2R 2 R 2R a : b: c sin :sin :sin C ； sin abc sin C abc sin sin sin sin C 6,兩類正弦定懂得三角形的問題：已知兩角和任意一邊,求其他的兩邊及一角 已知兩角和其中一邊的對(duì)角,求其他邊角 知兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型要留意解的情形（一解,兩解,三解） 7,三角形面積公式： S C1bcsin 1ab sin C 1acsin 2 =2R

3、sinAsinBsinC= abc = r a bc = 2224 R 2p p a p b p c 8,余弦定理：在 C中,有 a2 b2 2c2 2bc cos 2, b ba 2 c2 2ac cos , c2 a 2 b 2 2ab cos C 2 c a, cos a22 c 2a2b22 c 9,余弦定理的推論： cos b2, cosC 2bc 2ac 2ab 10,余弦定理主要解決的問題： 已知兩邊和夾角,求其余的量； 已知三邊求角） 11,如何判定三角形的外形：判定三角形外形時(shí),可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化,統(tǒng)一 成邊的形式或角的形式 設(shè) a , b , c 是 C的角 ,

4、, C 的對(duì)邊,就： 如 a2b22 c ,就 C 90 ； 第 1 頁,共 9 頁如 a2b22 c ,就 C90 ； 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 如 a2b22 c ,就 C 90 12,三角形的五心： 垂心三角形的三邊上的高相交于一點(diǎn) 重心三角形三條中線的相交于一點(diǎn) 外心三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn) 內(nèi)心三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn) 旁心三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn) 題型之一 ： 求解斜三角形中的基本元素 指已知兩邊一角 或二角一邊或三邊 ,求其它三個(gè)元素問題,進(jìn)而求出三角形的三線 高 線,角平分線,中線 及周長(zhǎng)等基本問題 1. 在 ABC 中, AB=3 , AC

5、=2 ,BC= 10 ,就 AB AC 1 0 ,邊 A 3B 22 C 33 D 223【答案】 D 2（ 1）在 ABC 中,已知 A 32.0 , B , 0 0 a cm,解三角形； （ 2）在 ABC 中,已知 a 20 cm, b 28 cm, A 40 0 ,解三角形（角度精確到 長(zhǎng)精確到 1cm）；3（ 1）在 ABC 中,已 a2 3 , c 6 2 , B 60 0 ,求 b 及 A； 知 （ 2）在 ABC 中,已 a, b 87.8cm , ,解三角形 知 42022 年全國(guó)高考江蘇卷 ABC 中, A , BC3,就 ABC 的周長(zhǎng)為（ ） 3A 4 3 sin B

6、3B 4 3 sin B 33 6C 6 sin B 3 D 6 sin B 33 6分析：由正弦定理,求出 b 及 c,或整體求出 b c,就周長(zhǎng)為 3 bc 而得到結(jié)果選 D 46 65 （ 2022 年全國(guó)高考湖北卷 在 ABC 中,已知 AB , cos B , AC 邊上的中 3 6線 BD = 5 ,求 sinA 的值 分析：此題關(guān)鍵是利用余弦定理,求出 AC 及 BC,再由正弦定理,即得 sinA ,設(shè) BE x 解：設(shè) E 為 BC 的中點(diǎn),連接 DE ,就 DE / AB,且 DE 1AB 262 3第 2 頁,共 9 頁在 BDE 中利用余弦定理可得： 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載

7、2BE ED cos BED , BD 2BE 2ED 25x 2 82266x ,解得 x 1, x 7（舍去） 又 sin B 30 , 3363故 BC=2 ,從而 2 2 2AC AB BC 2AB BCcosB 28 ,即 AC 32 21 362 21 故 2sin A 3, sin A 70 14 30 6在 ABC 中,已知 a 2 ,b 2 2 , C 15 ,求 A ； 答案： B 0 A,且 0 A 0 180 , A 0 30 題型之二 ：判定三角形的外形：給出三角形中的三角關(guān)系式,判定此三角形的外形 1. 2022 年北京春季高考題 在 ABC 中,已知 2 sin

8、AcosB sin C ,那么 ABC 確定是 （ ） A 直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形 解法 1：由 2 sin AcosB sin C sinA Bsin AcosB cosAsinB, 即 sin AcosB cosAsinB 0,得 sin AB 0,得 A B應(yīng)選 B 2 2 2解法 2：由題意,得 cosB sin C c ,再由余弦定理,得 cosB a c b 2sin A 2a 2ac 2 2 2 a c b c ,即 a b ,得 a b,應(yīng)選 B 2 22ac 2a 評(píng)注：判定三角形外形,通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角,再判定 如解法 1,統(tǒng)一

9、化為邊,再判定 如解法 2 2在 ABC 中,如 2cosBsinA sinC ,就 ABC 的外形確定是（ ） A. 等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形 答案： C 解析： 2sin AcosB sin（ A B） sin（A B）又 2sinAcosB sinC, sin（ AB） 0, A B 3. 在 ABC 中,如 a 2 2 btan A ,試判定 ABC 的外形； tan B 答案：故 ABC 為等腰三角形或直角三角形； 4. 在 ABC 中, cos A b cos ,判定 ABC 的外形； 答案： ABC 為等腰三角形或直角三角形； 第 3 頁,共

10、 9 頁學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 題型之三 ：解決與面積有關(guān)問題 主要是利用正,余弦定理,并結(jié)合三角形的面積公式來解題 1. 2022 年全國(guó)高考上海卷 在 ABC 中,如 A 120 , AB 5 , BC 7 , 就 ABC 的面積 S 2在 ABC 中, sin A cos A 2, AC 2 , AB 3 ,求 tan A 的值和 ABC 的面 2積； 答案： S ABC 1AC AB sin A 1232463 2 6 2243. （ 07 浙江理 18）已知 ABC 的周長(zhǎng)為 2 1 ,且 sin A sin B 2 sin C （I）求邊 AB 的長(zhǎng)； （II ）如 ABC 的面積為

11、1sin C ,求角 C 的度數(shù) 1, 6解：（ I）由題意及正弦定理,得 AB BC AC 2 1 , BC AC 2 AB , 兩式相減,得 AB 1 1 sin C ,得 BC AC 61, （II ）由 ABC 的面積 1 BC AC sin C 2 3由余弦定理,得 cos C 2 AC 2 BC AB2 AC BC 22 AC BC 2 AB 2 AC BC 2 AC BC 2所以 C 60 題型之四 ：三角形中求值問題 1. 2022 年全國(guó)高考天津卷 在 ABC 中, A, B, C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 a, b, c, 設(shè) a,b,c 中意條件 b 2 c 2 bc a 2 c

12、和 b13 ,求 Atan B 的值 2和 分析：此題給出一些條件式的求值問題,關(guān)鍵仍是運(yùn)用正,余弦定理 解：由余弦定理 cos A b 2 c 2 2bc a 2 1,因此, A 60 2在 ABC 中, C=180 A B=120 B. 1 c sin C sin120 B 由已知條件,應(yīng)用正弦定理 32 b sin B sin B sin 120 cos B sin B cos120 sin B 2 3cot B 12 , 解得 cot B 2, 從而 tan B 1 . 22 ABC 的三個(gè)內(nèi)角為 A,B,C ,求當(dāng) A 為何值時(shí), cos A 2cos BC 取得最大值, 2并求出這

13、個(gè)最大值； 第 4 頁,共 9 頁解析：由 A+B+C= 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 A ； =sin 2 ,得 B+C 2 = 2A ,所以有 2 cos B+C 2cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1 2sin 2A 2 + 2sin 2 = 2sin 2 2 + A A 1 2 32； 當(dāng) sin A 2 = 12,即 A= 3 時(shí) , cosA+2cos B+C 2 取得最大值為 32； 3在銳角 ABC 中,角 A,B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c ,已知 sin A 22,（ 1）求 3tan 2 B Csin 2 A 的值；（ 2）如 a 2 , S AB

14、C 2,求 b 的值； 2 2解析：（ 1）由于銳角 ABC 中, A B C , sin A 22,所以 cosA 1 , 3 3就 tan 2 BC2sin 2 A 2 cos sin 22 BC BC 2sin 2 A 22 1 co（1cos（BC） 2 s BC） 1 1 cosA ） 1cosA 1 7 1cosA 3 3 （ 2） 由于 S ABC 2,又 S ABC bcsin A bc 1 1 22,就 bc 3； 2 2 31 3 2 2 2 將 a 2, cosA , c 代入余弦定理： a b c 2bccos A 中, 3 b4 2得 b 6b 90 解得 b 3 ；

15、 點(diǎn)評(píng)： 知道三角形邊外的元素如中線長(zhǎng), 面積, 周長(zhǎng)等時(shí), 靈敏逆用公式求得結(jié)果即可； 4在 ABC 中,內(nèi) A,B,C 對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是 a, b, c,已知 c 2 , C 角 3（）如 ABC 的面積等于 3 ,求 a,b ； （）如 sin C sin B A 2sin 2 A ,求 ABC 的面積 本小題主要考查三角形的邊角關(guān)系, 三角函數(shù)公式等基礎(chǔ)學(xué)問, 考查綜合應(yīng)用三角函數(shù)有關(guān) 學(xué)問的才能滿分 12 分 解：（）由余弦定理及已知條件得, a 2 b 2 ab 4 , 1又由于 ABC 的面積等于 3 ,所以 ab sin C 3 ,得 ab 4 4分 2聯(lián)立方程組 aab 2

16、b4, 2 ab 4, 解得 a 2 , b 2 6分 第 5 頁,共 9 頁（）由題意得 sin B A sin B 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 A 4sin A cos A , 即 sin B cos A 2sin Acos A , 8分 當(dāng) cos A 0 時(shí), A 2, B 6, a43, b 23, 12 分 33當(dāng) cos A 0 時(shí),得 sin B 2sin A ,由正弦定理得 b 2a , 聯(lián)立方程組 a b2 b 2 ab 2a, 4, 解得 a23, b 43 33所以 ABC 的面積 S 1 absin C 223 3題型之五 ：正余弦定懂得三角形的實(shí)際應(yīng)用 利用正余弦定懂得斜三

17、角形,在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用,如測(cè)量,航海,幾何等 方面都要用到解三角形的學(xué)問,例析如下： （一 .）測(cè)量問題 1. 如圖 1 所示,為了測(cè)河的寬度,在一岸邊 選定 A ,B 兩點(diǎn),望對(duì)岸標(biāo)記物 C,測(cè)得 CCAB=30 , CBA=75 , AB=120cm ,求河 的寬度； 分析：求河的寬度,就是求 ABC 在 AB DB 邊上的高,而在河的一邊,已測(cè)出 AB 長(zhǎng), A CAB , CBA ,這個(gè)三角形可確定； 圖 1 解析：由正弦定理得 AC sin CBA AB , AC=AB=120m , sin ACB 1 1AB AC sin CAB AB CD ,解得 CD=60m ； 2

18、 2又 S ABC 點(diǎn)評(píng)：雖然此題運(yùn)算簡(jiǎn)潔,但是意義重大,屬于 （二 .）遇險(xiǎn)問題 “不過河求河寬問題 ”； 2 某艦艇測(cè)得燈塔在它的東 15北的方向,此艦艇以 30 海里 /小時(shí)的速度向正東前進(jìn), 30 分鐘后又測(cè)得燈塔在它的東 30北；如此燈塔四周 10 海里內(nèi)有暗礁,問此艦艇連續(xù)向東航 行有無觸礁的危急？ 解析：如圖艦艇在 A 點(diǎn)處觀測(cè)到燈塔 S 西 北 15B 30 東 在東 15北的方向上；艦艇航行半小時(shí)后到 達(dá) B 點(diǎn),測(cè)得 S 在東 30北的方向上； 在 ABC 中,可知 AB=30 0.5=15, ABS=150 , ASB=15 ,由正弦定理得 A CBS=AB=15 ,過點(diǎn)

19、 S 作 SC直線 AB ,垂足南 圖 2 為 C,就 SC=15sin30； 這說明航線離燈塔的距離為 海里,而燈塔四周 10 海里內(nèi)有暗礁,故連續(xù)航行有觸 礁的危急； 點(diǎn)評(píng)：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問題,其解題的一般步驟是： （ 1）精確懂得題意,分清已知 第 6 頁,共 9 頁學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 與所求,特別要懂得應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語； （ 2）畫出示意圖, 并將已知條件在圖形中 標(biāo)出；（3）分析與所爭(zhēng)辯問題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形, 通過合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理 求解； （三 .）追擊問題 3如圖 3,甲船在 A 處,乙船在 A 處的南偏東 45 北 B 方向,距 A 有 9n mile

20、 并以 20n mile/h 的速度沿南 偏西 15方向航行,如甲船以28n mile/h 的速度航 A 行,應(yīng)沿什么方向,用多少 h 能盡快追上乙船？ 解析：設(shè)用 t h ,甲船能追上乙船,且在 C 處相遇； 45 在 ABC 中, AC=28t , BC=20t , AB=9 , 設(shè) ABC= , BAC= ； =180 4515=120；依據(jù)余弦定理 15 2 AC 22 AB 2 BC 22 AB BC cos , , 圖 3 C28t 81 20t 29 20t 1 22 128t 60t 27 0,（ 4t 3）（ 32t+9）=0,解得 t= 3,t= 9（舍） 432 AC=2

21、8 33 =21 n mile , BC=20 =15 n mile ； 44依據(jù)正弦定理,得 sin BC sin 15 3 253,又 =120, 為銳AC 21 14 角, 5 3 =arcsin 14 ,又 53 7214 2, arcsin 5314 4, 14 2甲船沿南偏東 4 arcsin 53 14 的方向用 3h 可以追上乙船； 4點(diǎn)評(píng)：航海問題常涉及到解三角形的學(xué)問,此題中的 ABC , AB 邊已知,另兩邊未知, 但他們都是航行的距離,由于兩船的航行速度已知,所以,這兩邊均與時(shí)間 t 有關(guān)； 這樣依據(jù)余弦定理,可列出關(guān)于 t 的一元二次方程,解出 t 的值； 4如圖,當(dāng)

22、甲船位于 A 處時(shí)獲悉,在其正東方向相距 20 海里的 B 處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待 營(yíng)救 甲船立刻前往救援, 同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西 30 ,相距 10 海里 C 處的乙船, 試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往 B 處救援（角度精確到 1 ）？ 北 20 B 解析：連接 BC,由余弦定理得 BC2 =20 +10 2 2 22010COS120=700.于 是 ,BC=10 7； sin ACB sin120 , 20 10 7A .10 .C 第 7 頁,共 9 頁sinACB= 3, 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 7 ACB90, ACB=41； 乙船應(yīng)朝北偏東 71方向沿直線前往 B 處

23、救援； 解三角形單元測(cè)試 一 挑選題： 1. 已知 ABCA 30 , C 105 , b 8 ,就等于 D45（ ） ） ） 中, A 442B C432. ABCB 45 , C 60 , c 1 ,就最短邊的邊長(zhǎng)等于 （ ） 中, B 6C1D3A 3 62223. 長(zhǎng)為 5, 7, 8 的三角形的最大角與最小角之和為 A 90 B 120 C135 D150 abc 4. ABCcos A cos B cos C ,就 ABC 確定（ ） 中, A 直角三角形 B 鈍角三角形 是 C等腰三角形 D等邊三角形 5. ABCB 2 60 , b ac ,就 ABC 確定（ ） 中, A 銳

24、角三角形 B 是 鈍角三角形 C等腰三角形 D等邊三角形 6. ABC 中, A=60 , a= A 有 一個(gè)解 B 6 , b=4, 那么中意條件的 ABC D有兩個(gè)解 C無解 不能確定 7. ABCb 8 , c 8 3 , S ABC 16 3 ,就 A 等（ ） 中, A 30 B 60 C于 30 或 150 D60 或 120 abc 8. ABC 中,A 60 , a3 ,就 sin A sin B sin C 等于 （ ） 如 13A 2 B 2C3D23: 2 兩部分,就 cos A 9. ABC 中, A: B 1: 2 , C 的平分線 CD 把三角形面積分成 （ ） A 1B 1C3D032410. 假如把直角三角形的三邊都增加同樣的長(zhǎng)度,就這個(gè)新的三角形的外形為 （ A 銳角三角形 B 直角三角形 C 鈍角三角形 D 由增加