【概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)】ch3-1 數(shù)學(xué)期望

1、3.1 數(shù)學(xué)期望3.2 方差3.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)3.4 矩與協(xié)方差矩陣教學(xué)內(nèi)容 Chapter 3 Numerical Characteristics of Random Variable第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征Content 1.掌握常用分布的數(shù)學(xué)期望2.會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望教學(xué)要求3.1 數(shù)學(xué)期望主要內(nèi)容ContentsRequests一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望三、隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)Mathematical Expectation Chapter 3 Numerical Characteristics of Random V

2、ariable第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征一.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望The Mathematical Expectation of Discrete Random Variable 甲次數(shù)1080108910乙次數(shù)2065158910確定甲、乙哪個(gè)的射擊水平好。補(bǔ)例成績?nèi)缦拢杭?、乙兩人射擊比賽，各射?00次，平均成績解甲的平均成績乙的平均成績甲的射擊水平高于乙注數(shù)學(xué)期望(均值)= + + + 甲次數(shù)1080108910乙次數(shù)2065158910設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，則稱 的值為隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望(均值)，定義1即記作Mathematical Expectati

3、on (Mean) 收斂1)數(shù)學(xué)期望描述隨機(jī)變量取值的平均特征注2)不是每個(gè)隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望惠更斯 (16291695 )Christian Huygens (16291695 )荷蘭物理學(xué)家、天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家、他是介于伽利略與牛頓之間一位重要的物理學(xué)先驅(qū).26歲獲得法學(xué)博士學(xué)位。1663年成為英國皇家學(xué)會(huì)第一位外籍會(huì)員。1666年成為法國科學(xué)院創(chuàng)始人之一終生未婚 1657年，他在與帕斯卡和費(fèi)馬通信的基礎(chǔ)上，寫了概率論學(xué)科的第一篇論文論賭博中的計(jì)算,引進(jìn)了“數(shù)學(xué)期望”概念，證明了：如果p是一個(gè)人獲得賭金a的概率，q是他獲得賭金b的概率，則他可以希望獲得的賭金數(shù)為a p + b q(擺鐘的發(fā)

4、明者)常用離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望1.兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量 ，其分布律為：The Common Mathematical Expectation of Discrete Random Variables Two-point Distribution 則X的數(shù)學(xué)期望為了解2.二項(xiàng)分布設(shè)隨機(jī)變量 ，,其分布律為： Binomial Distribution 為參數(shù)則X的數(shù)學(xué)期望為了解3. 泊松分布Poisson Distribution 設(shè)隨機(jī)變量 ，為參數(shù)其分布律為則X的數(shù)學(xué)期望為了解二.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望如果積分 絕對(duì)收斂，記為 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為為連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望或均

5、值.定義2即則稱積分值The Mathematical Expectation of Continuous Random Variable Mathematical Expectation (Mean) 常用連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1.均勻分布其概率密度為：The Common Mathematical Expectation of Continuous Random Variables Uniform Distribution 設(shè)隨機(jī)變量 則X的數(shù)學(xué)期望為了解2.指數(shù)分布Exponential Distribution 其概率密度為：設(shè)隨機(jī)變量 則X的數(shù)學(xué)期望為為參數(shù)了解P643.正態(tài)分布

6、Normal Distribution 設(shè)隨機(jī)變量 為參數(shù)其概率密度為：了解三. 隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)X是隨機(jī)變量,是X的函數(shù)(1)若X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為：當(dāng) 收斂時(shí), Mathematical Expectation of the Function of Random Variable 定理 1隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望為：求設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的分布律為：X 0 1 2例2答案若積分 絕對(duì)收斂，的數(shù)學(xué)期望為：(2)若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度是隨機(jī)變量定理 1解設(shè)X服從 上的均勻分布，已知X的概率密度為:求例3例4設(shè)國際市場上對(duì)我國某種出口商品的每年需求量是隨機(jī)變量(單位:噸)

7、,它服從區(qū)間上的均勻分布,每銷售出一噸商品,可為國家賺取外匯 3 萬元;若銷售不出,則每噸商品需貯存費(fèi) 1 萬元,問應(yīng)組織多少貨源,才能使國家收益最大?解設(shè)組織貨源噸,顯然應(yīng)要求國家收益(單位:萬元)是的函數(shù)達(dá)式為表3X+X-t設(shè)的概率密度函數(shù)為則于是的期望為此組織 3500 噸商品為好.考慮的取值使達(dá)到最大,易得因設(shè) 是二維隨機(jī)變量，(1) 設(shè) 的聯(lián)合分布律為:則Z的數(shù)學(xué)期望為定理 2是關(guān)于X和Y的函數(shù)若級(jí)數(shù)收斂.特別2)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率密度為若則Z 的數(shù)學(xué)期望為特別收斂例5設(shè)隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率密度為求其中G如圖所示2G解由定理，知2G 四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)1 若C是常數(shù)，則E(

8、C)=C性質(zhì)4 設(shè)X、Y 相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)性質(zhì)2 若k是常數(shù)，則E (k X)=k E(X)性質(zhì)3 E(X+Y) = E(X)+E(Y)Xi 相互獨(dú)立,The Properties of Mathematical Expectation推廣推廣注性質(zhì)4逆命題不成立.性質(zhì)3 E(X+Y) = E(X)+E(Y)證是離散型隨機(jī)變量，分布律為1)設(shè)則由數(shù)學(xué)期望的定義，2)若 為連續(xù)型隨機(jī)變量，見課本的證明了解其中 分別為 X 與Y 的邊緣概率密度了解性質(zhì)4 設(shè)X、Y 獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)證設(shè) 為連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率密度為由X、Y 獨(dú)立可得從而例6設(shè)隨機(jī)變量

9、X,Y的概率密度分別為 其他其他X與Y獨(dú)立, 求E(XY).解由X、Y 獨(dú)立, 有 例7一民航送客車載有 20 位旅客自機(jī)場開出,旅客有 10 個(gè)車站可以下車.如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車,以表示停車的次數(shù),求(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立).解引入隨機(jī)變量在第在第站沒有人下車站有人下車,易知現(xiàn)在來求按題意,任一旅客不在第站下車的概率為因此 20 位旅客都不在第站下車的概率為在第站有人下車的概率為即由此進(jìn)而(次).注:本題是將分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和,再分別計(jì)算期望后來求和. 這是一種常用的解題方法.分布期望概率分布pB (n,p)npP()B(1,p)常見分布的數(shù)學(xué)期望考點(diǎn)分布期望概率密度U(a,b)E()N(, 2)常見分布的數(shù)學(xué)期望考點(diǎn) 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，令求補(bǔ)例解(89-4-3)補(bǔ)例解已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布,則隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望E(Z)=(90-1-2)即小結(jié)Summary1、常見離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望(均值)（兩點(diǎn)分布，二項(xiàng)分布，泊松分布）2、常見連