數(shù)值分析 第一章 學(xué)習(xí)小結(jié)

1、數(shù)值分析第1章 -一、 本章學(xué)習(xí)體會(huì)通過本章的學(xué)習(xí)，讓我初窺數(shù)學(xué)的又一個(gè)新領(lǐng)域。數(shù)值分析這門課，與我之前所學(xué)聯(lián)系緊密，區(qū)別卻也很大。在本章中，我學(xué)到的是對數(shù)據(jù)誤差計(jì)算，對誤差的分析，以及關(guān)于向量和矩陣的范數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。誤差的計(jì)算方法很多，對于不同的數(shù)據(jù)需要使用不同的方法，或直接計(jì)算，法，盡可能減少誤差。如果能夠找到一個(gè)好的算法，不僅能夠減少計(jì)算誤差，同時(shí)也可以減少計(jì)算次數(shù)，提高計(jì)算效率。來較為吃力，僅僅知道它是向量與矩陣“大小”的度量。故對這部分內(nèi)容的困惑也相對較多。本章的困惑主要有兩方面。一方面是如何能夠?qū)ふ乙粋€(gè)可靠而高效的算法。望通過以后的學(xué)習(xí)能夠漸漸解開自己的疑惑。二、 本章知識梳理緒論

2、的研究對象與算法知識與矩陣范數(shù)2.1 數(shù)值分析的研究對象研究對象求解過程的理論分析種基本數(shù)學(xué)問題以及在求解過程中出現(xiàn)的收斂性，數(shù)值穩(wěn)定性和誤差估計(jì)等內(nèi)容。2.2誤差知識與算法知識傳播誤差屬于研究數(shù)值方法過程中產(chǎn)生的誤差。1.（1）絕對誤差 e指的是精確值與近似值的差值。絕對誤差：絕對誤差限：（2）相對誤差是指絕對誤差在原數(shù)中所占的比例。相對誤差：相對誤差限：的半個(gè)單位。（3）有效數(shù)字的定義有效數(shù)字的第一種定義:設(shè) a 是 x 的近似值，如果 a 的誤差絕對值不超過 x的第 k 則稱近似值 a 準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第k k 位數(shù)字直到最左邊非零數(shù)字之間的所有數(shù)字都叫有效數(shù)字。有效數(shù)字第二種定義：設(shè)數(shù)

3、x 的近似值其中 m 是整數(shù)，是 0,1,2， ，9 中的任意數(shù)，但則 具有 k 位有效數(shù)字。,若通過學(xué)習(xí)總結(jié)出下面幾個(gè)結(jié)論：（1）若 a 是經(jīng)過四舍五入而得到的近似值，則從它的末位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字。（2）將任何數(shù)乘以 10 （p=0，1，2，）等于移動(dòng)該數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，并不影p響其有效數(shù)字。（3）有效數(shù)字相同的兩個(gè)近似值的絕對誤差不一定相同。（4）準(zhǔn)確值被認(rèn)為具有無窮多位有效數(shù)字。末位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字。2.（1）相對誤差與有效數(shù)字的關(guān)系：若近似數(shù)具有 n 位有效數(shù)字，則其相對誤差。若近似數(shù)的相對誤差則該近似數(shù)至少具有 n 位有效數(shù)字。結(jié)論：有效數(shù)字位數(shù)越多，相對誤

4、差越小。（2）絕對誤差與有效數(shù)字的關(guān)系：若其中 m 是整數(shù)，是 0 到 9 中的一個(gè)數(shù)字，.如果 a 作為數(shù) x 的近似值，且 a 具有 n 位有效數(shù)字，則若其中 m 是整數(shù)，是 0 到 9 中的一個(gè)數(shù)字，.如果 a 作為數(shù) x|e（）則a 具有 n 位有效數(shù)字。結(jié)論：有效數(shù)字位數(shù)越多，絕對誤差越小。1.（1）對于一元函數(shù)：（2）二元函數(shù)：（3）n 元函數(shù)：設(shè)存在足夠高階的導(dǎo)數(shù)， a 是自變量 x 的近似值，則的近似值。是如果且比值不是很大，則2.算數(shù)運(yùn)算誤差：在數(shù)值計(jì)算中，要注意遵循一些原則，以保證數(shù)值穩(wěn)定性。（1）能控制舍入誤差的傳播。（2）合理安排量級相差懸殊數(shù)間的運(yùn)算次序，防止大數(shù)將小

5、數(shù)吃掉。（3）避免兩個(gè)相近的數(shù)相減。（4）避免接近零的數(shù)做除數(shù)，防止溢出。（5）簡化計(jì)算步驟，盡量減少運(yùn)算次數(shù)。2.3向量范數(shù)與矩陣范數(shù)2.3.1 向量范數(shù)1.向量范數(shù)滿足三個(gè)條件：（1） 正定性（2） 齊次性（3） 成立三角不等式2.對于 中的任一向量1- 范數(shù)（列范數(shù)）則有2- 范數(shù)（歐氏范數(shù)）P-范數(shù)-范數(shù)3.在空間 中可以引進(jìn)各種向量范數(shù)，且它們都滿足下述向量定理：設(shè) 是 x 無關(guān)的數(shù) m 和M（0mM）,使下列關(guān)系成立。也就是說，向量x的某一范數(shù)可以任意?。ù螅r(shí)，該向量的其它任意一種1.定義在上的實(shí)值函數(shù)稱為矩陣范數(shù)，如果對于中任意的矩陣 A和 ，陣范數(shù)滿足下列條件：（1） 非負(fù)性

6、（2） 齊次性（3） 成立三角不等式（4） 相容性2.當(dāng)一個(gè)問題中需要向量范數(shù)和矩陣范數(shù)時(shí)，向量范數(shù)和矩陣范數(shù)應(yīng)該是相容的。對于給定的向量范數(shù)和矩陣范數(shù)，如果對于任一個(gè) xR ，AR ，滿足nnn，則所給的向量范數(shù)和矩陣范數(shù)是相容的 。設(shè)在 中給定了一種向量范數(shù)，對任意矩陣 ，令由此定義的矩陣范數(shù)與給定的向量范數(shù)相容，將這種范數(shù)稱為從屬于所給定的向量范數(shù)的矩陣范數(shù)。3.設(shè) A=,則：矩陣 A 的列范數(shù)矩陣 A 的譜范數(shù)矩陣的行范數(shù)弗羅貝尼烏斯范數(shù)4.設(shè)矩陣的某種范數(shù)，則為非奇異矩陣，并且當(dāng)這種范數(shù)為算子范數(shù)時(shí)，還有成立。三、 本章思考題問題： 1 小”的度量，為什么要用這么多種范數(shù)來度量，而不是專門指定一種范數(shù)？個(gè)人理解：1. 對于不同向量和矩陣，從運(yùn)算等方