統(tǒng)一推導歐拉臨界壓力公式的簡單模型

1、統(tǒng)一推導歐拉臨界壓力公式的簡單模型(lb)( 2a)( 2b)(3)( 4)摘 要：對于壓桿穩(wěn)定性問題材料力學書上一般用4個 模型來分別推導不同支承約束條件下的歐拉臨界壓力。但 由于彎矩方程的建立可能涉及到超靜定問題,推導過程比較 繁瑣。本文用一個簡單模型來統(tǒng)一推導任意支承情況的臨 界壓力，其微分方程是在微段的力矩平衡方程基礎上建立起 來的，對應于一個四階常系數(shù)齊次微分方程。通解中涉及4 個積分常數(shù)，要使u(x)為非零解，積分常數(shù)不能全為零。針 對桿兩端的約束類型，積分常數(shù)應滿足其系數(shù)矩陣行列式等 于零的條件，進而給出了臨界壓力的表達式。用一個簡單模 型來統(tǒng)一推導任意支承情況的臨界壓力更簡單，

2、也易于學生 掌握和理解。關鍵詞：材料力學；壓桿穩(wěn)定；歐拉臨界壓力；微分方程；特征 方程0 前言壓桿穩(wěn)定性問題是材料力學研究的重要內(nèi)容之一。對 于細長桿或大柔度桿( =)，其臨界壓力采用歐拉公式計 算，即p=-教材上一般用兩端鉸支的細長壓桿模型()來推導公式,其步驟為:建立壓力引起的彎矩方程;建立 撓曲線微分方程;利用歐拉法求解此微分方程;利用兩 端鉸支處的撓度為零來計算積分常數(shù)，由此導出臨界壓力。 其他3種典型的理想支承約束條件下,等截面細長中心受壓 直桿臨界壓力的歐拉公式往往由表格給出1$2-在高教版 材料力學3中，又針對一端固定一端自由、一端固定一端 鉸支、兩端固定的細長壓桿模型分別詳細推

3、導了其臨界壓力 公式。但各種模型由于其彎矩方程不用，有的還涉及到超靜 定問題，推導過程仍很繁瑣。筆者認為，可以用一個簡單模 型來推導上述4種支承情況的歐拉臨界壓力。這樣,更容易 讓學生掌握理解。1臨界壓力的推導在材料力學的“彎曲內(nèi)力”章節(jié)中，曾用梁微段受分 布荷載時的豎向力平衡條件和力矩平衡條件來導出分布荷 載集度、剪力和彎矩之間的微分關系。這個方法仍然可以用 來分析細長壓桿微段的平衡狀態(tài)。1.1模型考慮兩端為任意支承約束的細長壓桿，如圖1所示，圖 中僅僅畫出了兩端鉸支的情形,虛線為外部干擾作用下的撓 曲線。設桿的長度和剛度分別為l、EI。以桿左端為原點建 立相應的坐標系xy。y軸正向與撓度正

4、向同向，但撓度的正 負向可任意選取。本文中撓度和y軸正向均朝上，即規(guī)定使 桿的下側(cè)受拉時彎矩為正?？紤]長為dx的微段，其變形后 的構型如圖2所示，此時微段左右橫截面上僅有恒定的軸向 壓力P和彎矩作用。壓力P沿著撓曲線的切線方向并作用 在截面形心處，即壓力P與x軸的夾角就是其所在截面的轉(zhuǎn) 角也是微段的轉(zhuǎn)角。圖任意支承的壓桿圖2微段受力圖考慮微段的豎向力和力矩平衡方程，有:Q( !) _ Q( ! + dx) _ G( !)2 =0( la)-( x) + 4( x + dx) _ Q( x) dx + Pdx # tan- = 0化簡上兩式得:dQ(x)(、dxdm (x)Q ( x ) + P

5、tan- = 0 dx由于桿的小變形，-%tan-,式(2b)變?yōu)椋篸m ( x )_ Q(x) + P- =0dx再微分一次，并把式(2a)代入式(2b)可得:d2mR( x)d-,、+ Pr = _ G( x)dx由于壓桿無分布荷載，故式(4)右邊為零。根據(jù)彎矩與 撓度，轉(zhuǎn)角與撓度間的微分關系: TOC o 1-5 h z ( x) = El w, - = w( 5)把式(5)代入式(4)得4:EIw(+ Pw =0( 6)P令02 = EPI，則式(6)變?yōu)?w(Iv + 0 2w = 0( 7)式(7)為四階常系數(shù)齊次常微分方程，可采用歐拉法求 解。設w =ex,分別二次、四次微分后代

6、入式(7),其特征方程為:(8)特征值分別為，91 = 9 2 =0,9- = ki,r 3 =-愿。因此，式(7)的通解為:w(x) = C% + C2x + C3cos0 x + C4sin0 x( 9)式中,C1 - C 4為積分常數(shù)。要使w ( x )為非零解,C 1 -C 4不能全為零。只要確定了桿兩端的約束類型，便能確定積 分常數(shù)應滿足的條件，進而就能給出臨界壓力的表達式。下 面推導4種約束類型的臨界壓力。8.2積分常數(shù)的確定1)兩端鉸支。 由于鉸支座處無位移無彎矩，其邊界條件為：一J ! =0 )二1 + C 3 =0J ! = /) = C % + C ! / + C-CB40

7、E + C *0501 =0(10)w ( ! =0 ) = - C 3 0 ! =0一 w( ! = /) = - C3 0 2 CB40E - C*0 %in0E = 0由前三式可以看出，010,C1 =0,C 3 =0,C 2 = C*V，其邊界條件為： w ( ! = 0 ) = C 1 + C 3 = 0w ( ! = E ) = C 1 + C 2 E + C 3 COs0/ + C4 sin0/ = 0w v ! =0 ) = C2 + C 4 0 =0一 w ( ! = E) = - C 3 0 2COs0/ - C 4 0 2 sin0/ = 0 要使1C 4不全為零，其對應

8、的系數(shù)矩陣的行列式等 于零，即：(20)C* 10。因此，sin0E =0,即：0/ = L(11)令L =1，得0/二，其臨界壓力為:=化簡后得：(12)2)兩端固定。由于固定支座處撓度和轉(zhuǎn)角均為零，其邊界條件為：w ( ! = 0 ) = C 1 + C 3 = 0w ( ! = /) = C 1 + C 2 E + C 3 COS0E + C4 sin0E = 0(13)-(! =0 ) = w ( ! =0) = C 2 + C 4 0 =0一-(! = E) = w ( ! = E) = C2 - C30sin0E + C40COS0E = 0要使C1C4不全為零，其對應的系數(shù)矩陣的

9、行列式等于零，即：10101ECOs0Esin0E010001- 0sin0E0COs0E=0(14)化簡后得：(2 - 2cos0E - 0Esin0E)0 = 0式(15)為超越方程，可數(shù)值求解。但也可以直接看出0/ = 2l是上式的解，令L = 1,得0/ =2，其臨界壓力為：=4 2政59E23) 一端固定一端自由!由于自由端處無剪力無彎矩，其邊界條件為：w ( ! = 0 ) = C 1 + C 3 = 0-(! =0 ) = w (! =0 ) = C 2 + C 4 0 =0w( ! = E) = - C 3 0 2COs0/ - C40 2 sin0/ = 0_ w( ! =

10、E ) = C 3 0 3 sin0/ - C 4 0 3 COs0/ = 0要使C1C4不全為零，其對應的系數(shù)矩陣的行列式等 于零，即：(15)(16)(17)1COs0/-02COs0/sin0/0-02 sin0/=0(21)(22) 式(22)為超越方程,可數(shù)值求解,其解為0E =4. 49341, 其臨界壓力為：/4 49341、22 HO2 HO 2 HO59 ( E ) /2 ( 0. 69916E) 2 ( 0. 7E)2(4. 49341E)tan0/ = 0/(21) 至此，本文用一個簡單模型導出了全部4種理想支承約 束條件下臨界壓力的歐拉公式。2結(jié)論對于兩端為任意支承的桿

11、，其由微段力矩平衡條件確 定的微分方程是相同的，即HOw(而+ = w =0,此為四階常系 數(shù)齊次微分方程,易用歐拉法求通解！其通解為 w ( !) = C 1 + C 2 ! + C 3 COs0! + C4 sin0!,包含 4個積分常數(shù)，也適用于任意支承情況！對于具體支承情況，確定積分常數(shù)應滿足的條件歸結(jié) 為求一行列式！對于兩端鉸支，特征方程為，sin0E =0;對于 兩端固定，特征方程為,2 - 2cos0E - 0Esin0E;對于一端固定一 端自由，特征方程為，sin20E = 0;對于一端固定一端鉸支，特 征方程為,tan0E = 0E。進而，其歐拉臨界壓力的表達式可統(tǒng)一 寫為=忠本文