浙江版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題12.3離散型隨機變量及其分布列、均值與方差（講解練）教學(xué)講練

1、12.3離散型隨機變量及其分布列、均值與方差高考數(shù)學(xué) 浙江專用考點一離散型隨機變量及其分布列考點清單考向基礎(chǔ)1.離散型隨機變量的分布列(1)如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示,那么這樣的變量叫做隨機變量;按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.(2)設(shè)離散型隨機變量可能取的值為x1,x2,xn,取每一個值xi(i=1,2,n)的概率P(=xi)=pi,則稱表x1x2xixnPp1p2pipn為離散型隨機變量的概率分布,或稱為離散型隨機變量的分布列,它具有性質(zhì):a.pi0,i=1,2,n;b.p1+p2+pi+pn=1.離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個

2、值的概率之和.2.如果隨機變量X的分布列為其中0p1,q=1-p,則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布.3.超幾何分布列在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則事件X=k發(fā)生的概率為P(X=k)=(k=0,1,2,m),其中m=minM,n,且nN,MN,n、M、NN*,稱分布列X10PpqX01mP為超幾何分布列.考點二離散型隨機變量的均值與方差考向基礎(chǔ)1.離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為(1)均值稱EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.(2)方差稱DX=(xi-EX)2p

3、i為隨機變量X的方差,它刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離程度,其算術(shù)平方根為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記作X.Xx1x2xixnPp1p2pipn2.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=aE(X)+b.(2)D(aX+b)=a2D(X).(a,b為實數(shù))(3)DX=E(X2)-E(X)2.3.兩點分布的均值、方差若X服從兩點分布,則EX=p,DX=p(1-p).4.二項分布的均值、方差若XB(n,p),則EX=np,DX=np(1-p).求離散型隨機變量的分布列的方法方法1方法技巧1.求離散型隨機變量的分布列,應(yīng)按下述三個步驟進(jìn)行:(1)明確隨機變量的所有可能取值,以及取每個值所表示的意義.

4、(2)利用概率的有關(guān)知識,求出隨機變量取每個值時的概率.(3)按規(guī)范形式寫出分布列,并用分布列的性質(zhì)進(jìn)行驗證.2.在處理隨機變量的分布列時,先根據(jù)隨機變量的實際意義,利用試驗結(jié)果,找出隨機變量的取值,再求相應(yīng)的概率是常用的基本方法.3.注意分布列的性質(zhì)在求分布列中的應(yīng)用.例1(2017山東理,18,12分)在心理學(xué)研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,

5、B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.解析本題考查離散型隨機變量的分布列,數(shù)學(xué)期望.(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M)=.(2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4,則P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.因此X的分布列為X的數(shù)學(xué)期望是EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0+1+2+3+4=2.X01234P方法2求離散型隨機變量的均值與方差的方法注意:如果XB(n,p),可用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.例2(2018浙江杭州高考教學(xué)質(zhì)量檢測,7)已知 0a,隨機變量 的分布列如下:當(dāng)a增大時,()A.E()增大,D()增大B.E()減小,D()增大C.E()增大,D()減小D.E()減小,D()減小解題導(dǎo)引 -101