洛倫茲模型與混沌

1、 洛倫茲模型與混沌蝴蝶效應(yīng)混沌理論：混沌理論（Chaos theory）是關(guān)于 HYPERLINK /w/index.php?title=%E9%9D%9E%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%B3%BB%E7%BB%9F&action=edit&redlink=1 o 非線性系統(tǒng)（頁面不存在） 非線性系統(tǒng)在一定參數(shù)條件下展現(xiàn) HYPERLINK /wiki/%E5%88%86%E5%B2%94%E7%90%86%E8%AB%96 o 分岔理論 分岔（bifurcation）、周期運(yùn)動與非周期運(yùn)動相互糾纏，以至于通向某種非周期有序運(yùn)動的理論。在 HYPERLINK /wiki/%E8%8

2、0%97%E6%95%A3%E7%B3%BB%E7%B5%B1 o 耗散系統(tǒng) 耗散系統(tǒng)和 HYPERLINK /wiki/%E4%BF%9D%E5%AE%88%E7%B3%BB%E7%B5%B1 o 保守系統(tǒng) 保守系統(tǒng)中，混沌運(yùn)動有不同表現(xiàn)，前者有 HYPERLINK /wiki/%E5%90%B8%E5%BC%95%E5%AD%90 o 吸引子 吸引子，后者無（也稱含 HYPERLINK /w/index.php?title=%E6%B7%B7%E5%90%B8%E5%BC%95%E5%AD%90&action=edit&redlink=1 o 混吸引子（頁面不存在） 混吸引子）。從20世紀(jì)

3、80年代中期到20世紀(jì)末，混沌理論迅速吸引了數(shù)學(xué)、物理、工程、生態(tài)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、氣象學(xué)、情報學(xué)等諸多領(lǐng)域?qū)W者有關(guān)注，引發(fā)了全球混沌熱。混沌，也寫作渾沌（比如 HYPERLINK /wiki/%E5%BA%84%E5%AD%90 o 莊子 莊子）。自然科學(xué)中講的混沌運(yùn)動指確定性系統(tǒng)中展示的一種貌似 HYPERLINK /wiki/%E9%9A%8F%E6%9C%BA o 隨機(jī) 隨機(jī)的行為或性態(tài)。確定性（deterministic）是指方程不含隨機(jī)項的系統(tǒng)，也稱 HYPERLINK /wiki/%E5%8A%A8%E5%8A%9B%E7%B3%BB%E7%BB%9F o 動力系統(tǒng) 動力系統(tǒng)（dyna

4、mical system）。典型的模型有 HYPERLINK /wiki/%E5%96%AE%E5%B3%B0%E6%98%A0%E8%B1%A1 o 單峰映象 單峰映象（logistic map）迭代系統(tǒng)， HYPERLINK /wiki/%E6%84%9B%E5%BE%B7%E8%8F%AF%C2%B7%E8%AB%BE%E9%A0%93%C2%B7%E5%8B%9E%E4%BE%96%E6%AC%A1 o 愛德華諾頓勞侖次 洛倫茲微分方程系統(tǒng)， HYPERLINK /wiki/%E8%8B%A5%E6%96%AF%E5%8F%BB%E5%90%B8%E5%BC%95%E5%AD%90 o

5、 若斯叻吸引子 若斯叻吸引子， HYPERLINK /wiki/%E6%9D%9C%E8%8A%AC%E6%96%B9%E7%A8%8B o 杜芬方程 杜芬方程， HYPERLINK /wiki/%E8%94%A1%E6%B0%8F%E9%9B%BB%E8%B7%AF o 蔡氏電路 蔡氏電路， HYPERLINK /wiki/Chen_%E5%90%B8%E5%BC%95%E5%AD%90 o Chen 吸引子 Chen 吸引子等。為渾沌理論做出重要貢獻(xiàn)的學(xué)者有 HYPERLINK /wiki/%E5%BA%9E%E5%8A%A0%E8%8E%B1 o 龐加萊 龐加萊、 HYPERLINK /

6、wiki/%E6%B4%9B%E4%BC%A6%E5%85%B9 o 洛倫茲 洛倫茲、 HYPERLINK /w/index.php?title=%E4%B8%8A%E7%94%B0%E7%9D%86%E4%BA%AE&action=edit&redlink=1 上田睆亮（Y. Ueda）、 HYPERLINK /wiki/%E7%B1%B3%E5%88%87%E7%88%BE%C2%B7%E8%B2%BB%E6%A0%B9%E9%AE%91%E5%A7%86 o 米切爾費(fèi)根鮑姆 費(fèi)根堡姆、 HYPERLINK /wiki/%E8%A9%B9%E5%A7%86%E5%A3%AB%C2%B7%E

7、7%BA%A6%E5%85%8B o 詹姆士約克 約克、 HYPERLINK /wiki/%E6%9D%8E%E5%A4%A9%E5%B2%A9 o 李天巖 李天巖、 HYPERLINK /wiki/%E5%8F%B2%E8%92%82%E8%8A%AC%C2%B7%E6%96%AF%E6%A2%85%E7%88%BE o 史蒂芬斯梅爾 斯美爾、 HYPERLINK /wiki/%E6%9C%AC%E8%8F%AF%C2%B7%E6%9B%BC%E5%BE%B7%E5%8D%9A o 本華曼德博 芒德勃羅和 HYPERLINK /wiki/%E9%83%9D%E6%9F%8F%E6%9E%97

8、 o 郝柏林 郝柏林等。混沌理論向前可追溯到19世紀(jì) HYPERLINK /wiki/%E5%BA%9E%E5%8A%A0%E8%8E%B1 o 龐加萊 龐加萊等人對天體力學(xué)的研究，他提出了 HYPERLINK /w/index.php?title=%E5%90%8C%E5%AE%BF%E8%BD%A8%E9%81%93&action=edit&redlink=1 同宿軌道、 HYPERLINK /w/index.php?title=%E5%BC%82%E5%AE%BF%E8%BD%A8%E9%81%93&action=edit&redlink=1 異宿軌道的概念，他也被稱為渾沌學(xué)之父?；煦缧?/p>

9、為可以在許多自然系統(tǒng)中被觀測到，例如天氣和氣候。 HYPERLINK /wiki/%E6%B7%B7%E6%B2%8C%E7%90%86%E8%AE%BA l cite_note-1 1對于這個行為的研究，可以通過分析混沌 HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%A8%A1%E5%9E%8B o 數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型，或者通過諸如 HYPERLINK /w/index.php?title=%E9%80%92%E5%BD%92%E5%9B%BE&action=edit&redlink=1 遞歸圖和 HYPERLINK /wiki/%E5%BA%9E%E5%8A%

10、A0%E8%8E%B1%E6%98%A0%E5%B0%84 o 龐加萊映射 龐加萊映射等分析技術(shù)。定義混沌理論是一種兼具質(zhì)性思考與量化分析的方法，用以探討動態(tài)系統(tǒng)中無法用單一的數(shù)據(jù)關(guān)系，而必須用整體，連續(xù)的數(shù)據(jù)關(guān)系才能加以解釋及預(yù)測之行為?！耙磺惺挛锏脑紶顟B(tài)，都是一堆看似毫不關(guān)聯(lián)的碎片，但是這種混沌狀態(tài)結(jié)束后，這些無機(jī)的碎片會有機(jī)地匯集成一個整體。”混沌一詞原指發(fā)現(xiàn)宇宙混亂狀態(tài)的描述,古希臘哲學(xué)家對于宇宙之源起即持混沌論，主張宇宙是由混沌之初逐漸形成現(xiàn)今有條不紊的世界。在井然有序的宇宙中，西方自然科學(xué)家經(jīng)過長期的探討，逐一發(fā)現(xiàn)眾多自然界中的規(guī)律，如大家熟知的 HYPERLINK /wiki/

11、%E5%9C%B0%E5%BF%83%E5%BC%95%E5%8A%9B o 地心引力 地心引力、 HYPERLINK /wiki/%E6%9D%A0%E6%9D%86%E5%8E%9F%E7%90%86 o 杠桿原理 杠桿原理、 HYPERLINK /wiki/%E7%9B%B8%E5%AF%B9%E8%AE%BA o 相對論 相對論等。這些自然規(guī)律都能用單一的數(shù)學(xué)公式加以描述，并可以依據(jù)此公式準(zhǔn)確預(yù)測物體的行徑。近半世紀(jì)以來，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)許多自然現(xiàn)象即使可以化為單純的數(shù)學(xué)公式，但是其行徑卻無法加以預(yù)測。如氣象學(xué)家 HYPERLINK /wiki/%E6%84%9B%E5%BE%B7%E8%8

12、F%AF%C2%B7%E8%AB%BE%E9%A0%93%C2%B7%E5%8B%9E%E4%BE%96%E6%AC%A1 o 愛德華諾頓勞侖次 愛德華諾頓勞侖次（ HYPERLINK /wiki/%E6%84%9B%E5%BE%B7%E8%8F%AF%C2%B7%E8%AB%BE%E9%A0%93%C2%B7%E5%8B%9E%E4%BE%96%E6%AC%A1 o 愛德華諾頓勞侖次 Edward Lorenz）發(fā)現(xiàn)簡單的熱對流現(xiàn)象居然能引起令人無法想象的氣象變化，產(chǎn)生所謂的“ HYPERLINK /wiki/%E8%9D%B4%E8%9D%B6%E6%95%88%E5%BA%94 o 蝴蝶

13、效應(yīng) 蝴蝶效應(yīng)”。60年代，美國數(shù)學(xué)家 HYPERLINK /wiki/%E5%8F%B2%E8%92%82%E8%8A%AC%C2%B7%E6%96%AF%E6%A2%85%E7%88%BE o 史蒂芬斯梅爾 史蒂芬斯梅爾（ HYPERLINK /wiki/%E6%96%AF%E8%92%82%E8%8A%AC%C2%B7%E6%96%AF%E6%A2%85%E7%88%BE o 斯蒂芬斯梅爾 Stephen Smale）發(fā)現(xiàn)某些物體的行徑經(jīng)過某種規(guī)則性變化之后，隨后的發(fā)展并無一定的軌跡可循，呈現(xiàn)失序的混沌狀態(tài)。背景1963年 HYPERLINK /wiki/%E7%BE%8E%E5%9B%

14、BD o 美國 美國氣象學(xué)家 HYPERLINK /wiki/%E6%84%9B%E5%BE%B7%E8%8F%AF%C2%B7%E8%AB%BE%E9%A0%93%C2%B7%E5%8B%9E%E4%BE%96%E6%AC%A1 o 愛德華諾頓勞侖次 愛德華勞侖次提出混沌理論（Chaos），非線性系統(tǒng)具有的多樣性和多尺度性。混沌理論解釋了 HYPERLINK /w/index.php?title=%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E7%B3%BB%E7%BB%9F&action=edit&redlink=1 o 決定系統(tǒng)（頁面不存在） 決定系統(tǒng)可能產(chǎn)生 HYPERLINK /wiki/%

15、E9%9A%A8%E6%A9%9F o 隨機(jī) 隨機(jī)結(jié)果。理論的最大的貢獻(xiàn)是用簡單的模型獲得明確的非周期結(jié)果。在 HYPERLINK /wiki/%E6%B0%94%E8%B1%A1 o 氣象 氣象、 HYPERLINK /wiki/%E8%88%AA%E7%A9%BA o 航空 航空及 HYPERLINK /wiki/%E8%88%AA%E5%A4%A9 o 航天 航天等領(lǐng)域的研究里有重大的作用。應(yīng)用混沌理論在許多科學(xué)學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用，包括：數(shù)學(xué)、生物學(xué)、信息技術(shù)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、金融學(xué)、哲學(xué)、物理學(xué)、政治學(xué)、人口學(xué)、心理學(xué)和機(jī)器人學(xué)。多種系統(tǒng)的渾沌狀態(tài)在實驗室中得到觀察，包括電路、激光、流

16、體的動態(tài)，以及機(jī)械和電磁裝置。在自然中進(jìn)行的有對天氣、衛(wèi)星運(yùn)動、天體磁場、生態(tài)學(xué)中的種群增長、神經(jīng)元中的動作電位和分子振動的觀察。渾沌理論最成功的應(yīng)用之一在于生態(tài)學(xué)中的雷克動態(tài)綜合模型，在其中顯示了受密度制約之下的種群增長如何引致混沌狀態(tài)?；煦缈刂苹煦缈刂朴傻彝福╓illiam Ditto）、賈芬卡（Alan Garfinkel）、約克（Jim Yorke），將此想法化為實用技術(shù)，用微小的變化開始，造成希望所想的巨大改變?；煦鐒恿W(xué)混沌系統(tǒng)有三種性質(zhì)：受初始狀態(tài)影響的敏感性，初始條件非常微小的變動也可以導(dǎo)致最終狀態(tài)的巨大差別。具有拓?fù)浠旌闲?；不?yán)格地來說，就是系統(tǒng)會將初始空間的拓?fù)湫再|(zhì)徹底打亂

17、，使得任何初始狀態(tài)變換到其他任何位置。周期軌道稠密，即在任何初始值附近都可以找到具有周期軌道的值。蝴蝶效應(yīng)產(chǎn)生背景：在1972年12月29日，美國麻省理工教授、混沌學(xué)開創(chuàng)人之一E.N.洛侖茲在美國科學(xué)發(fā)展學(xué)會第139次會議上發(fā)表了題為蝴蝶效應(yīng)的論文，提出一個貌似荒謬的論斷：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美國得克薩斯州產(chǎn)生一個龍卷風(fēng)，并由此提出了天氣的不可確預(yù)報性。至此以后，人們對于混沌學(xué)研究的興趣十分濃厚?；煦绾鍌惼澪?HYPERLINK /website/archives/lorenz_attactor/ 混沌蝴蝶洛倫茲吸引子美國氣象學(xué)家洛倫茲（E.N.Lorenz，不要和提出洛倫茲變

18、換的那位搞混）是混沌理論的奠基者之一。20世紀(jì)50年代末到60年代初，他的主要工作目標(biāo)是從理論上進(jìn)行長期天氣預(yù)報研究。他在使用計算機(jī)模擬天氣時意外發(fā)現(xiàn)，對于天氣系統(tǒng)，哪怕初始條件的微小改變也會顯著影響運(yùn)算結(jié)果。隨后，他在同事工作的基礎(chǔ)上化簡了自己先前的模型，得到了有3個變量的一階微分方程組，由它描述的運(yùn)動中存在一個奇異吸引子，即洛倫茲吸引子。洛倫茲的工作結(jié)果最初在1963年發(fā)表，論文題目為Deterministic Nonperiodic Flow，發(fā)表在Journal of the Atmospheric Sciences雜志上。如今，這一方程組已成為混沌理論的經(jīng)典，也是“巴西蝴蝶扇動翅膀在美國引起德克薩斯的颶風(fēng)”一說的肇始。它的形式看起來很簡單：洛倫茲方程組是基于流體力學(xué)中的Navier-Stokes方程、熱傳導(dǎo)方程和連續(xù)性方程構(gòu)建的，屬于耗散系統(tǒng)。相空間中，耗散系統(tǒng)的終態(tài)都將收縮到吸引子的狀態(tài)上。但對平庸吸引子來說，無論初值如何，終值只有一個，而奇異吸引子卻是無數(shù)個點的集合，對初值極端敏感。如洛倫茲當(dāng)年只是忽略了小數(shù)點4位以后的數(shù)值，得到的結(jié)果就有了相當(dāng)大的偏差，甚至是完全相反。在洛侖茲原始的工作中，x表示的是對流的翻動速率，y正比于上流與下流液體溫差，z是垂直方向的溫度梯度。式中三個參數(shù)（Prandtl數(shù)）、和（Rayleigh數(shù)）可任取大于0