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文檔簡介
1、3/3點(diǎn)到平面的距離的幾種求法求點(diǎn)到平面的距離是立體幾何學(xué)習(xí)中不可忽視的一個基本問題,是近幾年高考的一個熱點(diǎn).本文試通過對一道典型例題的多種解法的探討,結(jié)合立體幾何(必修本)中的概念、習(xí)題,概括出求點(diǎn)到平面的距離的幾種基本方法 例:已知是邊長為4的正方形,E、分別是B、A的中點(diǎn),C垂直于B所在平面,且=,求點(diǎn)到平面的距離 一、直接通過該點(diǎn)求點(diǎn)到平面的距離直接作出所求之距離,求其長 解法。如圖1,為了作出點(diǎn)B到平面EFG的距離,延長FE交的延長線于M, 連 結(jié)GM,作BBC,交G于,則有BNCG,BN平面ABD作BPEM,交E于,易證平面P平面EG作BPN,垂足為Q,則BQ平面EF于 是Q是點(diǎn)B
2、到平面EG的距離易知BN,P=,=,由BQPNPBBN,得BQ 圖1 圖2 2。不直接作出所求之距離,間接求之。 (1)利用二面角的平面角。課本.42第4題,P.第2題、第4題給出了“二面角一個面內(nèi)的一個點(diǎn),它到棱的距離、到另一個面的距離與二面角的大小之間所滿足的關(guān)系”。如圖,二面角MDN的大小為,CD,AB=,點(diǎn)A到平面的距離O=,則有si. 中的也就是二面角的大小,而并不強(qiáng)求要作出經(jīng)過A的二面角的平面角。 解法2如圖3,過作BF,交F的延長線于P,易知BP=,這就是點(diǎn)B到二面角CEF的棱EF的距離。連結(jié)交F于,連結(jié),易證GC就是二面角CFG的平面角. C=2,=,A=, H,H=,sGC=
3、,于是由得所求之距離BnGHC =解略。 (2)利用斜線和平面所成的角. 如圖4,O為平面的一條斜線,AO,O=,與所成的角為,到平面的距離為d,則由斜線和平面所成的角的定義可知,有=lsn.經(jīng)過P與垂直的平面與相交,交線與P所成的銳角就是中的,這里并不強(qiáng)求要作出點(diǎn)A在上的射影,連結(jié)得。 解法3如圖5,設(shè)為FE與CB的延長線的交點(diǎn),作BM,為垂足又GME,易得平面B平面EG,E為它們的交線,所以RB就是EB與平面G所成的角.由MR,可得BR,在RB中,=9,R=,B=,所以nBR/ER,于是由得所求之距離. 圖5 圖6()利用三棱錐的體積公式 解法4.如圖6,設(shè)點(diǎn)B到平面G的距離為d,則三棱錐
4、BE的體積V=(1/)G另一方面又可得這個三棱錐的體積=(3)SFB,可求得SFB(4)SDA,SF=,所以有/3d1/3,得 二、不經(jīng)過該點(diǎn)間接確定點(diǎn)到平面的距離 。利用直線到平面的距離確定解法5.如圖,易證D平面F,所以BD上任意一點(diǎn)到平面E的距離就是點(diǎn)到平面E的距離。由對稱思想可知,取D中點(diǎn),求點(diǎn)到平面E的距離較簡單.A交EF于,交BD于易證平面GH平面E,作,K為垂足,O為所求之距離. 圖7 圖 2。利用平行平面間的距離確定 如圖8,把平面EFG補(bǔ)成一個正四棱柱的截面所在的平面,可使題設(shè)中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系更加明朗面GT是正四棱柱BDAB1經(jīng)過、E、G的截面所在的平面交BB1于,G交1于,作BPG,交于P,連結(jié)D,則有平面M平面。它們之間的距離就是所求之距離于是可以把點(diǎn)B平移到平面P上任何一個位置,哪里方便就在哪里求 這兩個平行平面的距離d又同三棱柱的體積有關(guān),所以也可以利用三棱柱的體積確定所求之距離.據(jù)此可得解法。 解法6.三棱
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