高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例50篇 46 等差數(shù)列的前n項和

1、46 等差數(shù)列的前n項和 教材分析等差數(shù)列的前項和是數(shù)列的重要內(nèi)容，也是數(shù)列研究的基本問題在現(xiàn)實(shí)生活中，等差數(shù)列的求和是經(jīng)常遇到的一類問題等差數(shù)列的求和公式，為我們求等差數(shù)列的前項和提供了一種重要方法教材首先通通過具體體的事例例，探索索歸納出出等差數(shù)數(shù)列前項和的的求法，接接著推廣廣到一般般情況，推推導(dǎo)出等等差數(shù)列列的前項和公公式為為深化對對公式的的理解，通通過對具具體例子子的研究究，弄清清等差數(shù)數(shù)列的前前項和和與等差差數(shù)列的的項、項項數(shù)、公公差之間間的關(guān)系系，并能能熟練地地運(yùn)用等等差數(shù)列列的前項和公公式解決決問題這節(jié)內(nèi)內(nèi)容重點(diǎn)點(diǎn)是探索索掌握等等差數(shù)列列的前項和公公式，并并能應(yīng)用用公式解解決一些

2、些實(shí)際問問題，難難點(diǎn)是前前項和和公式推推導(dǎo)思路路的形成成教學(xué)目標(biāo)1. 通過過等差數(shù)數(shù)列前項和公公式的推推導(dǎo)，讓讓學(xué)生體體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)公式產(chǎn)產(chǎn)生、形形成的過過程，培培養(yǎng)學(xué)生生抽象概概括能力力2. 理解解和掌握握等差數(shù)數(shù)列的前前項和和公式，體體會等差差數(shù)列的的前項項和與二二次函數(shù)數(shù)之間的的聯(lián)系，并并能用公公式解決決一些實(shí)實(shí)際問題題，培養(yǎng)養(yǎng)學(xué)生對對數(shù)學(xué)的的理解能能力和邏邏輯推理理能力3. 在研研究公式式的形成成過程中中，培養(yǎng)養(yǎng)學(xué)生的的探究能能力、創(chuàng)創(chuàng)新能力力和科學(xué)學(xué)的思維維方法任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容主主要涉及及等差數(shù)數(shù)列的前前項公公式及其其應(yīng)用對公式的推推導(dǎo)，為為便于學(xué)學(xué)生理解解，采取取從特殊殊到一般般的研究

3、究方法比比較適宜宜，如從從歷史上上有名的的求和例例子12331000的高高斯算法法出發(fā)，一一方面引引發(fā)學(xué)生生對等差差數(shù)列求求和問題題的興趣趣，另一一方面引引導(dǎo)學(xué)生生發(fā)現(xiàn)等等差數(shù)列列中任意意的第項與倒倒數(shù)第項的和和等于首首項與末末項的和和這個規(guī)規(guī)律，進(jìn)進(jìn)而發(fā)現(xiàn)現(xiàn)求等差差數(shù)列前前項和和的一般般方法，這這樣自然然地過渡渡到一般般等差數(shù)數(shù)列的求求和問題題對等等差數(shù)列列的求和和公式，要要引導(dǎo)學(xué)學(xué)生認(rèn)識識公式本本身的結(jié)結(jié)構(gòu)特征征，弄清清前項項和與等等差數(shù)列列的項、項項數(shù)、公公差之間間的關(guān)系系為加加深對公公式的理理解和運(yùn)運(yùn)用，要要強(qiáng)化對對實(shí)例的的教學(xué)，并并通過對對具體實(shí)實(shí)例的分分析，引引導(dǎo)學(xué)生生學(xué)會解解決問

4、題題的方法法特別別是對實(shí)實(shí)際問題題，要引引導(dǎo)學(xué)生生從實(shí)際際情境中中發(fā)現(xiàn)等等差數(shù)列列的模型型，恰當(dāng)當(dāng)選擇公公式對對于等差差數(shù)列前前項和和公式和和二次函函數(shù)之間間的聯(lián)系系，可引引導(dǎo)學(xué)生生拓展延延伸教學(xué)設(shè)計一、問題情情景1. 在2200多多年前，有有個100歲的名名叫高斯斯的孩子子，在老老師提出出問題：“12331000？”時時，很快快地就算算出了結(jié)結(jié)果他他是怎么么算出來來的呢？他發(fā)現(xiàn)現(xiàn)1110029993397750511011，于是是122100010015505505002. 受高高斯算法法啟發(fā)，你你能否求求出1233的和和3. 高斯斯的方法法妙在哪哪里呢？這種方方法能否否推廣到到求一般般等差

5、數(shù)數(shù)列的前前項和和？二、建立模模型1. 數(shù)列列的前項和定定義對于數(shù)列n，我我們稱12n為數(shù)列列nn的前前項和和，用SSn表示，即即Sn12n2. 等差差數(shù)列的的求和公公式（1）如何何用高斯斯算法來來推導(dǎo)等等差數(shù)列列的前項和公公式？對于公差為為的等等差數(shù)列列nn：Sn11（1）（112）1（1）， 依據(jù)高斯算算法，將將Sn表示為為Snn（n）（nn2）n（1） 由此得到等等差數(shù)列列的前項和公公式小結(jié)：這種種方法稱稱為反序序相加法法，是數(shù)數(shù)列求和和的一種種常用方方法（2）結(jié)合合通項公公式nn1（1），又能能得怎樣樣的公式式？（）兩個個公式有有什么相相同點(diǎn)和和不同點(diǎn)點(diǎn)，各反反映了等等差數(shù)列列的什么么

6、性質(zhì)？學(xué)生討論后后，教師師總結(jié)：相同點(diǎn)點(diǎn)是利用用二者求求和都須須知道首首項11和項數(shù)數(shù)；不不同點(diǎn)是是前者還還須要知知道nn，后者者還須要要知道因此此，在應(yīng)應(yīng)用時要要依據(jù)已已知條件件合適地地選取公公式公公式本身身也反映映了等差差數(shù)列的的性質(zhì)：前者反反映了等等差數(shù)列列的任意意的第項與倒倒數(shù)第項的和和都等于于首、末末兩項之之和，后后者反映映了等差差數(shù)的前前項和和是關(guān)于于的沒沒有常數(shù)數(shù)項的“二二次函數(shù)數(shù)”三、解釋應(yīng)應(yīng)用例題1. 根據(jù)據(jù)下列各各題中的的條件，求求相應(yīng)的的等差數(shù)數(shù)列n的前前項和和Sn（1）11 4，8 18，8（2）111445，0.7，n322注：恰當(dāng)選選用公式式進(jìn)行計計算2. 已知知一

7、個等等差數(shù)列列nn前110項的的和是3310，前前20項項的和是是12220由由這些條條件能確確定這個個等差數(shù)數(shù)列的前前項和和的公式式嗎？分析：將已已知條件件代入等等差數(shù)列列前項項和的公公式后，可可得到兩兩個關(guān)于于1與的的關(guān)系式式，它們們都是關(guān)關(guān)于11與的的二元一一次方程程，由此此可以求求得11與，從從而得到到所求前前項和和的公式式解：由題意意知注：（1）教教師引導(dǎo)導(dǎo)學(xué)生認(rèn)認(rèn)識到等等差數(shù)列列前項項和公式式，就是是一個關(guān)關(guān)于nn，1，或或者11，的方程程，使學(xué)學(xué)生能把把方程思思想和前前項和和公式相相結(jié)合，再再結(jié)合通通項公式式，對1，nn及Sn這五個個量知其其三便可可求其二二（2）本題題的解法法還

8、有很很多，教教學(xué)時可可鼓勵學(xué)學(xué)生探索索其他的的解法例如，3. 20000年年11月月14日日教育部部下發(fā)了了關(guān)于于在中小小學(xué)實(shí)施施“校校校通”工工程的通通知某市據(jù)據(jù)此提出出了實(shí)施施“校校校通”工工程的總總目標(biāo)：從20001年年起用110年的的時間，在在全市中中小學(xué)建建成不同同標(biāo)準(zhǔn)的的校園網(wǎng)網(wǎng)據(jù)測測算，220011年該市市用于“校校校通”工工程的經(jīng)經(jīng)費(fèi)5000萬元元為了了保證工工程的順順利實(shí)施施，計劃劃每年投投入的資資金都比比上一年年增加550萬元元那么么從20001年年起的未未來100年內(nèi)，該該市在“校校校通”工工程中的的總投入入是多少少？教師引學(xué)生生分析：每年“校校校通”工工程的經(jīng)經(jīng)費(fèi)數(shù)構(gòu)構(gòu)

9、成公差差為的等差差數(shù)列問題實(shí)實(shí)質(zhì)是求求該數(shù)列列的前110項的的和解：根據(jù)題題意，從從20001220100年，該該市每年年投入“校校校通”工工程的經(jīng)經(jīng)費(fèi)都比比上一年年增加550萬元元所以以，可以以建立一一個等差差數(shù)列n，表表示從220011年起各各年投入入的資金金，其中中，115000，500那么，到220100年（100），投投入的資資金總額額為答：從2000120110年，該該市在“校校校通”工工程中的的總投入入是72250萬萬元注：教師引引導(dǎo)學(xué)生生規(guī)范應(yīng)應(yīng)用題的的解題步步驟4. 已知知數(shù)列n的前前項和和Sn2，求求這個數(shù)數(shù)列的通通項公式式這個個數(shù)列是是等差數(shù)數(shù)列嗎？如果是是，它的的首項與

10、與公差分分別是什什么？解：根據(jù)由此可知，數(shù)數(shù)列n是一一個首項項為，公公差為22的等差差數(shù)列思考：一般般地，數(shù)數(shù)列n前項和SSnA2B（A），這這時n是等等差數(shù)列列嗎？為為什么？練習(xí)1. 一名名技術(shù)人人員計劃劃用下面面的辦法法測試一一種賽車車：從時時速100開始始，每隔隔2速速度提高高20如果果測試時時間是330，測測試距離離是多長長？2. 已知知數(shù)列n的前前項的的和為SSn244，求這這個數(shù)列列的通項項公式3. 求集集合M2211，N*，且600的元元素個數(shù)數(shù)，并求求這些元元素的和和四、拓展延延伸1. 數(shù)列列nn前項和SSn為Snpnn2qnn（，為常數(shù)數(shù)且），則則nn成等等差數(shù)列列的條件件是

11、什么么？2. 已知知等差數(shù)數(shù)列5，44，3，的前項和為為Sn，求使使Sn最大的的序號的值分析1：等等差數(shù)列列的前項和公公式可以以寫成SSn2 （1），所所以Snn可以看看成函數(shù)數(shù)xx2（1 ）（N*）當(dāng)當(dāng)時的函函數(shù)值另一方方面，容容易知道道Sn關(guān)于的圖像像是一條條拋物線線上的一一些點(diǎn)因此，我我們可以以利用二二次函數(shù)數(shù)來求的值解：由題意意知，等等差數(shù)列列5，44，3，的公差差為，所所以于是，當(dāng)取與最最接近的的整數(shù)即即7或88時，SSn取最大大值分析2：因因?yàn)楣畈?，所以以此數(shù)列列為遞減減數(shù)列，如如果知道道從哪一一項開始始它后邊邊的項全全為負(fù)的的，而它它之前的的項是正正的或者者是零，那那么就知知道前多多少項的的和最大大了即即使然后后從中求求出點(diǎn)評這篇案例從從具體的的實(shí)例出出發(fā)，引引出等差差數(shù)列的的求和問問題，在在設(shè)計上上，設(shè)計計者注意意激發(fā)學(xué)學(xué)生的學(xué)學(xué)習(xí)興趣趣和探究究欲望，通通過等差差數(shù)列求求和公式式的探索索過程，培培養(yǎng)學(xué)生生觀察、探探索、發(fā)發(fā)現(xiàn)規(guī)律律、解決決問題的的能力對例題、練練習(xí)的安安排，這這篇案例例注意由由淺入深深，完整整，