數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育( HPM) 的一個(gè)案例-劉徽的“割圓術(shù)”與微

1、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育( HPM) 的一個(gè)案例劉徽的“割圓術(shù)與微摘要?jiǎng)⒒盏摹案顖A術(shù)是關(guān)鍵詞劉徽;割圓術(shù);無限;可積?高等數(shù)學(xué)?1在講授數(shù)列極限概念之前,介紹了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)中極限思想,進(jìn)而引入數(shù)列極限的描繪定義.實(shí)際上,劉徽借“割圓術(shù)方法,憑借其高超的對(duì)無限問題的理解和致用的處理方式,以“不可分量可積前提、“夾逼準(zhǔn)那么等知識(shí)證明了圓的面積公式,運(yùn)算中包含著微積分的思想.另外要指出的是,他利用證明圓面積公式所設(shè)計(jì)出的機(jī)械性的算法程序,求得的圓周率的近似值徽率15750.郭書春先生認(rèn)為,劉徽在世界上最先把無窮小分割和極限思想用于數(shù)學(xué)證明.21劉徽的“割圓術(shù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典?九章算術(shù)?第一章“

2、方田中有我們?nèi)缃袼煜A面積公式“半周半徑相乘得積步.魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽為證明這個(gè)公式,于公元263年撰寫?九章算術(shù)注?,在這一公式后面寫了一篇長(zhǎng)約1800余字的注記“割圓術(shù).“割之彌細(xì),所失彌少.割之又割,以致于不可割,那么與圓周合體而無所失矣!觚面之外,猶有余徑,以面乘余徑,那么冪出弧表.假設(shè)夫觚之細(xì)者,與圓合體,那么表無余徑.表無余徑,那么冪不外出矣.以一面乘半徑,觚而裁之,每輒自倍,故以半周乘半徑而為圓冪.32幾點(diǎn)注記在證明這個(gè)圓面積公式的時(shí)候有兩個(gè)重要思想,一個(gè)就是我們?nèi)缃袼v的極限思想.第二個(gè)是無窮小分割思想.2.1數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)那么劉徽利用割圓術(shù)證明圓的面積公式時(shí),用了“夾逼準(zhǔn)

3、那么(squeezethere).他從圓內(nèi)接正6邊形開場(chǎng)割圓,設(shè)圓面積為s0,半徑為r,圓內(nèi)接正n邊形邊長(zhǎng)為ln,周長(zhǎng)為ln,面積為sn,將邊數(shù)加倍后,得到圓內(nèi)接正2n邊形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積分別記為:l2n、l2n、s2n.劉徽用“勾股術(shù)得4:假設(shè)知ln,那么可求出圓內(nèi)接正2n邊形的面積:劉徽認(rèn)為,“觚面之外,猶有余徑,以面乘余徑,那么冪出弧表:s2ns0sn+2(s2n-sn)=s2n+(s2n-sn),“假設(shè)夫觚之細(xì)者,與圓合體,那么表無余徑.表無余徑,那么冪不外出矣.lins2ns0lin(sn+2(s2n-sn)=lin(s2n+(s2n-sn).即在n趨于無窮大時(shí),圓內(nèi)接正多邊形的面

4、積就是圓面積.2.2折中的無限分割方法關(guān)于量可分的兩種假定,在2.4目的是證明圓面積公式而非求圓周率劉徽費(fèi)盡周折,殫精竭慮創(chuàng)立包含著樸素微積分的割圓術(shù),目的只是為證明圓的面積公式,從而他說:此以周、徑,為至然之?dāng)?shù),非周三徑一之率也.為此他同樣使用割圓術(shù)中的數(shù)據(jù),提出了求圓周率近似值的程序.于是得到下表:利用,s2ns0sn+2(s2n-sn)=s2n+(s2n-sn),得到:31464/625s0314169/625,由s0=1/2lr,得l2s2n/r=628.故=628/200=3.14.2.5hp的思想科學(xué)史上的諸多事實(shí)都顯示出無窮概念的宏大重要性和深遠(yuǎn)影響.實(shí)數(shù)系的邏輯根底在十九世紀(jì)末

5、葉才被建立的事實(shí)之所以令人驚奇,正是因?yàn)槿藗冊(cè)诶斫鉄o窮這個(gè)概念上所遇到的宏大困難造成的.對(duì)無窮的考慮并試圖理解它和準(zhǔn)確地定義它,是對(duì)人類智慧的一個(gè)挑戰(zhàn).古希臘以降,無窮的概念就引起了先哲們的注意,但它固有的超越人類有限思維的特征,使得人們對(duì)它理解的進(jìn)展非常緩慢.希爾伯特曾說過,無窮是一個(gè)永久的謎.直到19世紀(jì),柯西和魏爾斯特拉斯給出極限的準(zhǔn)確定義為止,人們都無法逾越這一思維中的結(jié)癥.因?yàn)闃O限的“2的辯證法,包含著從有限到無窮的飛躍,包含著純潔的數(shù)學(xué)美.個(gè)體的認(rèn)識(shí)規(guī)律會(huì)“重演數(shù)學(xué)史的開展歷程,因此在教學(xué)中,學(xué)生自然會(huì)提出的一系列問題:既然極限描繪性定義簡(jiǎn)單明白,為什么要搞個(gè)“2定義?它與描繪性定義有什么不同?數(shù)學(xué)家怎么會(huì)想出這種“古怪而討厭的定義?正如r柯朗和h羅賓所說:“初次遇到它時(shí)暫時(shí)不理解是缺乏為怪的,遺憾的是某些課本的作者故弄玄虛,他們不作充分的準(zhǔn)備,而只是把這個(gè)定義直接向讀者列出,好象作些解釋就有損于數(shù)學(xué)家的身份似的.要弄清這些問題,只有翻開數(shù)學(xué)史,從哲學(xué)的角度認(rèn)識(shí)極限法,這樣不僅能幫助我們搞清極限的概念,也有助于建立正確的數(shù)學(xué)觀念.極限的準(zhǔn)確定義和是微積分的理論基石.但是要在幾堂課內(nèi)講清楚困擾人類2000余年極限問題,確實(shí)是個(gè)難題,hp也許是他山之石.比方通過開拓第二課堂