《振動力學(xué)》習(xí)題集(含答案)

1、精細；挑選；精細；挑選；振動力學(xué)習(xí)題集（含答案）1.1質(zhì)量為m的質(zhì)點由長度為1、質(zhì)量為的均質(zhì)細桿約束在鉛錘平面內(nèi)作微幅擺動,如圖E1.1所示。求系統(tǒng)的固有頻率。解：系統(tǒng)的動能為T_丄m22其中I為桿關(guān)于鉸點的轉(zhuǎn)動慣量:I_Jlfmdxx2_01l丿則有：T_丄ml2X2+m12X2_(3m+m2X226161系統(tǒng)的勢能為：U_mgl(L-cosx)+mg-(L-cosx)12=2mglx2+丄m+m=2mglx24141利用X=3x和T二U可得:n_3(22(3m+mvi1.2質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)柱體在水平面上作無滑動的微幅滾動，在CA=a的A點系有兩根彈性剛度系數(shù)為k的水平彈簧，如圖E1

2、.2所示。求系統(tǒng)的固有頻率。解：如圖，令0為柱體的轉(zhuǎn)角，則系統(tǒng)的動能和勢能分別為2=mR20241(1)2=mR2024=mR2+mR202丿U=2-kKr+abl=k(R+a22利用和T=U可得：n：4k(R+aR+a4kn3mR2R3m1.3轉(zhuǎn)動慣量為J的圓盤由三段抗扭剛度分別為k,k和k的軸約束，如圖E1.3所示。123求系統(tǒng)的固有頻率。圖E1.3圖E1.3解：系統(tǒng)的動能為k2和k3相當(dāng)于串聯(lián)則有：2+63,以上兩式聯(lián)立可得：k2和k3相當(dāng)于串聯(lián)則有：2+63,以上兩式聯(lián)立可得：占6,23k6=263k+k23系統(tǒng)的勢能為：U=k62+k62+丄k62122利用6=6和T=U可得:nk(

3、k+k)+kk+2323k+k2362kk+k(k+k)=123J(k+k丿231.4在圖E1.4所示的系統(tǒng)中，已知ki(i=1,2,3)m,a和b，橫桿質(zhì)量不計。求固有頻率。圖E1.4答案圖E1.4解：對m進行受力分析可得:mg=1.4在圖E1.4所示的系統(tǒng)中，已知ki(i=1,2,3)m,a和b，橫桿質(zhì)量不計。求固有頻率。圖E1.4答案圖E1.4解：對m進行受力分析可得:mg=kx33mg即x=-3k3如圖可得：x二x01a+b1k2x=1F亠=(a2k+b2k=+亠mg(a+bbkk121+kkk1231mg=mgk0則等效彈簧剛度為：(a+bkkka2kk+b2kk+G:bkk1323

4、12則固有頻率為：kkk(a+pkk(a+b)2+kka2+kb2123121.7質(zhì)量m在傾角為的光滑斜面上從高h處滑下無反彈碰撞質(zhì)量m，如圖E1.7所12示。確定系統(tǒng)由此產(chǎn)生的自由振動。解：對mi由能量守恒可得（其中人的方向為沿斜面向下）:mgh=2mv2，即V=m1m12gh0m+m12mv=(m+m)V，即v=11120令m2引起的靜變形為x2,則有:mgsina=kx，2mgsinax=2-2令件+m2引起的靜變形為xjx12同理有：(m+m=i)gsina得：x=x=x-x012mgsma則系統(tǒng)的自由振動可表示為：xx=xcost+-smtnWnn其中系統(tǒng)的固有頻率為：注意到vo與x

5、方向相反,得系統(tǒng)的自由振動為：vx=xcost一-smt0nn1.9質(zhì)量為m、長為l的均質(zhì)桿和彈簧k及阻尼器c構(gòu)成振動系統(tǒng)，如圖E1.9所示。以桿偏角。為廣義坐標，建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程，給出存在自由振動的條件。若在彈簧原長處立即釋手，問桿的最大振幅是多少？發(fā)生在何時？最大角速度是多少？發(fā)生在何時？是否在過靜平衡位置時？mWmW解：利用動量矩定理得：I。=-k0a-a一cOll,I=ml23ml2O+3cl20+3ka2。=0,w=nml2罕=2g,ml2n3c1g=2mwn2amknc12lmgc、l-4-l+l12l+1l+l故：l2k+l2k112mg(+12kk1212(l+/kk112

6、k+12k1122212n2.10求圖T2-10所示系統(tǒng)的固有頻率，剛性桿的質(zhì)量忽略不計。解：圖T2-10答案圖T2-10mgm的位置：x=x+x=+x2AkA2mgl=FaF_mgl.x_mglmgl=FaF1a1ak1xaamgl21_x_xx1A11a2kA1.x_x+xmgmg12r112J+_+mg2Ak2a2k1Lk2a2k丿1a2k+12ki2mga2kk12na2kkn/.k_ea2k+12k122.11圖T2-11所示是一個倒置的擺。擺球質(zhì)量為m,剛桿質(zhì)量可忽略，每個彈簧的剛k度為2。（1）求倒擺作微幅振動時的固有頻率；（2）擺球質(zhì)量m為0.9kg時，測得頻率（fn）為1.5

7、Hz,m為1.8kg時，測得頻率為0.75Hz,問擺球質(zhì)量為多少千克時恰使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？答案圖T2-11(1)零平衡位置0/lcos0零平衡位置答案圖T2-11（2）解：（1）1T=-1922ml2022-cos0)=ka202-mgl02=Qa2222利用T=U,0=w0maxmaxmaxnmaxika2-mgllka2-g=；g/ka2】Vml2ml2l計lLmgl丿wn（2）若取下面為平衡位置，求解如下：T=_I02=_ml20222U=2-0）2丿k(0a+mglcos0=2ka202+mgl-2sin2*2=ka202+mgl-mgl02=Qa2-U=2-0）2丿2221(

8、T+U)dt2J7圖T2J7所示的系統(tǒng)中，四個彈簧均未受力，k=k2=k3=k4=k,試問:（）若將支承緩慢撤去，質(zhì)量塊將下落多少距離？解：2)若將支承突然撤去，質(zhì)量塊又將下落多少距離？圖T2-17k=k+k=2k2323 HYPERLINK l bookmark183 o Current Document kk2123=k HYPERLINK l bookmark109 o Current Document k+k3 HYPERLINK l bookmark381 o Current Document 123 HYPERLINK l bookmark24 o Current Document

9、 kk11234=k HYPERLINK l bookmark16 o Current Document k+k21234k=123k12341)mg=kx,123402mgx-02)xQxCOS30t，x=2xmax02.19如圖T2-19所示，質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓盤在水平面上可作無滑動的滾動，鼓輪繞軸的轉(zhuǎn)動慣量為I,忽略繩子的彈性、質(zhì)量及各軸承間的摩擦力，求此系統(tǒng)的固有頻率。xRrm%HwwxRrm%Hww匚ki圖T2-19解：系統(tǒng)動能為：2丿3)+mR22丿3)+mR222丿2mX2+mr222系統(tǒng)動能為：V=1kX2+1k2221R)1XIR丿2R2、1芯丿222系統(tǒng)動能為：V=1kX2

10、+1k2221R)1XIR丿2R2、1芯丿2x2=1kX22e根據(jù)：Tmax=V，maxXmaxXnmaxR2k+k21R2cI3m+m1R22222.20如圖T2-20所示，剛性曲臂繞支點的轉(zhuǎn)動慣量為I0,求系統(tǒng)的固有頻率。b1m1圖T2-20解：系統(tǒng)動能為：系統(tǒng)動能為：T系統(tǒng)動能為：T=丄I02+m6a)+mul)202122=1=2V=-k(0a+-k(01+-k(0bTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark137 o Current Document 212223=丄1a2+k12+kb2122123根據(jù)：T=V，6=o6maxmaxmaxnmax根據(jù)：o2

11、n HYPERLINK l bookmark339 o Current Document ka2+k12+kb2=T23-o2nI+ma2+m120122.24一長度為1、質(zhì)量為m的均勻剛性桿鉸接于O點并以彈簧和粘性阻尼器支承，如圖T2-24所示。寫出運動微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)和無阻尼固有頻率的表達式。圖T2-24答案圖T圖T2-24答案圖T2-24解：利用動量矩方程，有J9=-k0a-a-c9l-1,ml2O+3c120+3ka26=0nn竽=2g,竽=2g,g=1ml2n2；3ka2c=mo=mn3ml22a：mkT丁2.25圖T2-25所示的系統(tǒng)中，剛桿質(zhì)量不計，寫出運動微分方程，并

12、求臨界阻尼系數(shù)及阻尼固有頻率。圖2.25圖T2-25所示的系統(tǒng)中，剛桿質(zhì)量不計，寫出運動微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)及阻尼固有頻率。圖T2-25答案圖T2-25解：mOll+cGa-a+k0b-b=0ml20+ca2O+kb26=0=Jkb2nml2ca2mlca2ml2ca22ml2ca2,m2mlbkbkcbkc2a4m1lm,4m2l2b2k一4kml2b2c2a42ml22.26圖T2-26所示的系統(tǒng)中，m=1kg，k=144N/m，c=48Ns/m，l1=l=0.49m，l2=0.5l,l3=0.25l,不計剛桿質(zhì)量，求無阻尼固有頻率及阻尼:。23nOmQ_mOm9lic-lic-91

13、*3k-012圖T2-26答案圖T2-25解：受力如答案圖T2-26。對O點取力矩平衡，有：m91-1+c9l-1+k91-1=0113322ml20+cl20+kl20=013211m0+c9+k0=0164-=36m1-=36mW2=n4W=6rad/sn1c區(qū)=23mn=-=0.2516m2Wn4.7兩質(zhì)量均為m的質(zhì)點系于具有張力F的弦上，如圖E4.7所示。忽略振動過程中弦張力的變化寫出柔度矩陣，建立頻率方程。求系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)，并計算主質(zhì)量、主剛度、簡正模態(tài)，確定主坐標和簡正坐標。圖E4.7圖E4.7答案圖E4.7(1)解：Sin01=01=7，Sin02=02=，Sin03根據(jù)m

14、1和m的自由體動力平衡關(guān)系有:m1y1=FSin01解：Sin01=01=7，Sin02=02=，Sin03根據(jù)m1和m的自由體動力平衡關(guān)系有:m1y1=FSin01+FSin02=FZ+F=my=Fsin0Fsin022l口yy=F/-a1=F(y2y)ll-丿i4-F=匚(y2y)ll12故：y1y2F+l1yn1=0y2當(dāng)m=m時，12令：y=Ysin3t，y132ml=Ysm31,X=2F代入矩陣方程，有：2X1_Y_112XY222九-1-12九=(2-尢匕1=(X1)(3)=032=X1ml1X=1,31,2=F,mlmlml根據(jù)G九Y=0得:12ry)Y2丿21第一振型22X答案

15、圖E4.7(2)數(shù)n證明:解：重復(fù)兩次:Kx=w2Mx，等號兩邊左乘KM-ijjjKM-1Kx=w2KM-數(shù)n證明:解：重復(fù)兩次:Kx=w2Mx，等號兩邊左乘KM-ijjjKM-1Kx=w2KM-1Mx=w2Kx，等號兩邊左乘xTjjjjjixtKM-iKI=w2xtKxL0，當(dāng)i豐j時ijjijKM-1Kx=w2Kx，等號兩邊再左乘KM-1jjjKM-iKM-iKx=w2KM-iK1，等號兩邊左乘xtjjji=w2xtKM-iKx=0,當(dāng)i豐j時jjijxtKMKxi重復(fù)n次得到:xtKM-JKx=0ijKx=w2Mx，等號兩邊左乘MK-ijjjMKKx皿2MK-iMxjjj故:Mx=w2M

16、K-iMx，等號兩邊左乘xTjjjixtMx=w2xtijji=0，當(dāng)i豐j時j即xtMx=0，當(dāng)i豐j時ij重復(fù)運算:MK-1Mx=w2jjxtMK-iMx=w2xtijji重復(fù)n次。2.10圖T4-11所示的均勻剛性桿質(zhì)量為mv求系統(tǒng)的頻率方程。4A1多自由度振動系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K均為正定。對于模態(tài)xi和x7及自然xtMk-iMx=0，xtiji精品文檔精品文檔02精細；挑選；02精細；挑選；解：m2圖T4-11先求剛度矩陣。令9二1,x二0，得：k=kb-b+解：m2圖T4-11先求剛度矩陣。令9二1,x二0，得：k=kb-b+ka-a=kb2+ka2111212k=-ka212

17、k9bk9a答案圖T4-11(1)令9二0,x二1，得:k=-ka12k22=-k2k-1答案圖T4-11(2)答k22則剛度矩陣為：K=-ka2k2再求質(zhì)量矩陣。令9=1,X二令9=1,X二0，得:m11m=0121X二1，得:答案圖T4-11(3)m21m12mm1222則質(zhì)量矩陣為：故頻率方程為：5.1質(zhì)量m、長1、抗彎剛度EI的均勻懸臂梁基頻為3.515(EI/ml3)1/2,在梁自由端放置精品文檔精品文檔精細；挑選；精細；挑選；集中質(zhì)量mi。用鄧克利法計算橫向振動的基頻。解：亦二3.515亦二3.515、亙13EIIm13iTOC o 1-5 h z HYPERLINK l book

18、mark433 o Current Document 111/3(mm、二+二+1 HYPERLINK l bookmark437 o Current Document 2(22E/112.3553丿1126.088:/、tlmEI+12.355m15.2不計質(zhì)量的梁上有三個集中質(zhì)量，如圖E5.2所示。用鄧克利法計算橫向振動的基頻。圖E5.2解：當(dāng)系統(tǒng)中三個集中質(zhì)量分別單獨存在時90/4)12EIf_90/4)f90/4)12EIf_90/4)f33_12EI1111n二+-w2(20)2(2112311_mf+mf1122+3mf3313ml3192EI3.843面w_11v15.3在圖E5

19、.3所示系統(tǒng)中，已知m和k。用瑞利法計算系統(tǒng)的基頻。圖E5.3解：近似選取假設(shè)模態(tài)為：W=61.52.5)T系統(tǒng)的質(zhì)量陣和剛度陣分別為：M=diag(m3k2mm),K=一2k0-2k3k一k由瑞利商公式：R)=2.5k=211.75mi-k=0.4611m5.9在圖E5.9所示系統(tǒng)中，已知k和J。用傳遞矩陣法計算系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)。J/212-kk(2)(1)圖E5.9解：兩端邊界條件為固定端：XRR丁，自由端：X2R=T=021_-1_krOkT1-D2J11-D2Jk_k_12J1_1_1XR=SXR=Jkjkj221JCD21D2丄1D2匕L22kkXR=SXR110CO2+2k由自

20、由端邊界條件得頻率方程：2JCO2kk22kJI1O2O2J+f1O22kIJ”2k1CD2=0八k丿ki1=0.765：-代入各單元狀態(tài)變量的第元素，即：99_1922D2kk2得到模態(tài)：0（i）=11.4141,0=11.4145.10在圖E5.10所示系統(tǒng)中，已知GIpi(i=1,2),l.(i=1,2)和J.(i=1,2)。用傳遞矩陣法計算系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)。解：兩自由端的邊界條件為：圖E5.10eTL0解：兩自由端的邊界條件為：圖E5.10eTL0，XR=2e_TR丁012XL=1XR=SXR221.5-XR=SXR221.5-10-1_XR=SPXL=11132J11032J1=

21、SFXR11XR=XL1.51.511L.,32J1k丿132J=11k101L132J11k.2J1一2Tk2.2J1一1k1一2J1 HYPERLINK l bookmark501 o Current Document _2JJ HYPERLINK l bookmark503 o Current Document 11kk12 HYPERLINK l bookmark511 o Current Document 4JJ4JJ”+2+122J2J HYPERLINK l bookmark307 o Current Document kk1212GIP2lGIGIP2l其中：k1=廠11由自由

22、端邊界條件得頻率方程：4JJ34JJGII(/+J12+1232J32J=0n=0,3=P1P21乙kk1212JJII+1廠1212p12P21代入各單元狀態(tài)變量的第ro1代入各單元狀態(tài)變量的第ro1r111v32JJo1132T2kk12元素，即：得到模態(tài)：(1)=11,=1J25.11在圖E5.11所示系統(tǒng)中懸臂梁質(zhì)量不計，m、l和EI已知。用傳遞矩陣法計算系統(tǒng)的固有頻率。圖E5.11圖E5.11解：引入無量綱量y=蘭，解：引入無量綱量y=蘭，M=M，F(xiàn)=塵lEIsEIml332EI定義無量綱的狀態(tài)變量：X=ly9MF】S邊界條件：左端固結(jié)：X0MF-*，右端自由:sXR=定義無量綱的狀

23、態(tài)變量：X=ly9MF】S邊界條件：左端固結(jié)：X0MF-*，右端自由:sXR=y90o1根據(jù)傳遞矩陣法，有：00010001，S1F=16121得：2阪亠1F=0利用此齊次線性代數(shù)方程的非零解條件導(dǎo)出本征方程:1一九+1=1一九+1=03血）=1九1九+1=26nX=313EIn=一i八ml5.12在圖E5.12所示系統(tǒng)中梁質(zhì)量不計，m、l和EI已知，支承彈簧剛度系數(shù)k=6EI/13。用傳遞矩陣法計算系統(tǒng)的固有頻率。(1)(0)lk(1)(0)lkl一圖E5.12解:引入無量綱量：y=二M=MlEIFl2c,EIml32k=EI定義無量綱的狀態(tài)變量：X=【y邊界條件：左端鉸支：XR0根據(jù)傳遞矩陣法，有右端自由：Xr=yeoo1XL=SFXR0.510在支承彈簧處：X卷=e+-戸16121e+2戸sXR0e+-f6Se+-f2sFSFs16XR=XR=SXR=110.5XR0.521-九+16n2ke+kFF=0nk=f+2es注意到上式中e為桿左端的轉(zhuǎn)角，故在支承彈簧處的位移為:y=el+少6EI因此有：2F=ky=9l6EIS=6EIe=12Fl2kJEI=691,3EI6.3圖E6.3所示階梯桿系統(tǒng)中