流體運動幾何學(xué)Kinematics

1、第五章有限控制體積分析有一些流體力學(xué)的分析，我們需要利用有限控制體積的分析，例如，我們想知道一大水管轉(zhuǎn)彎處需要的支撐力大小，或是一高壓槽當發(fā)生有破口時，槽內(nèi)流體流光的時間，或是抽水機 (泵)需要的功率，或是一個水壩的發(fā)電功率等等。這種分析方法基礎(chǔ)也只是利用物理的基本原理而已，如質(zhì)量守恆，牛頓第二運動定律，以及熱力學(xué)第一及第二定律。這些定理及定律是針對系統(tǒng)而言，但是流體力學(xué)中，歐拉方法比較沒有那麼複雜，所以控制體積的分析方法，便利用雷諾輸送定理將系統(tǒng)的定理或定律描述，轉(zhuǎn)換成控制體積方程式。雷諾輸送定理裡面的體積積分以及面積積分中 ，都容許物理參數(shù)在控制體積內(nèi)以及面積上，具有不均勻的空間分布。當然

2、為了簡化起見，本章會經(jīng)常假設(shè)控制體積的進出口截面積上有均勻的參數(shù)分布（一維流動） 。5.1這節(jié)介紹質(zhì)量的守恆，以及連續(xù)方程式。系統(tǒng)既然是定義為一固定質(zhì)量或粒子的集合，因此，系統(tǒng)的質(zhì)量隨時間的變化便是零，DM sysD0DtdVDt sys而雷諾輸送定理中， b = 1，B = M，DdV?Dt syst cvcs上式的物理意義是系統(tǒng)質(zhì)量的時間變化率等於兩項的和，等於零。第一是控制體積內(nèi)的質(zhì)量隨時間變化率，第二是通過控制表面的淨質(zhì)量流率（流出為正） 。穩(wěn)定狀態(tài)下，第一項等於零。觀察上式，我們說一個控制體積內(nèi)質(zhì)量的增加率與質(zhì)量的流出率相加為零，或者是，控制體積內(nèi)的質(zhì)量增加率等於進入控制體積內(nèi)的質(zhì)量

3、流率。這就是連續(xù)方程式。對一個通過面積為A 的質(zhì)量流率，一般可以寫成，mQAV是密度， Q 是體積流率， V 是垂直於面積 A 的流體速率。假如該速率不是均勻的，那麼具有合理物理意義的速率就是（假定密度固定） ，Vn?dAVAA（例題）5.2這節(jié)要利用牛頓第二運動定律導(dǎo)出線動量方程式 。牛頓第二運動定律指出一個系統(tǒng)線動量的時間變化率等於作用於該系統(tǒng)的外力和，DV dVFsysDtsys在時間為 t 的時候，系統(tǒng)與控制體積佔有相同的空間，所以，作用於系統(tǒng)的外力，也就等於作用於控制體積內(nèi)物質(zhì)的外力。應(yīng)用到雷諾輸送定理，取bV ，F(xiàn)sysV dVV Vn?dAtcvcs這就是線動量方程式。注意此式是

4、一個向量方程式，內(nèi)含有三個方向的分量方程式（三維流動）。最常見的情況是穩(wěn)定狀態(tài)下，所以，右邊第一項積分為零。用白話來說就是，系統(tǒng)所受的外力等於流出控制體積的動量率減去流進控制體積的動量率。注意控制表面的積分項中，當被積項在積分面上是均勻分布時，積分可以大大簡化。因為線動量是有方向性的，所以，指向正的座標方向的動量就是正的，指向負的座標方向的動量便是負的。而正動量（或是負動量）要流出控制體積時，需要有正的 V n? 點乘積。同理，負的 V n?代表動量是流進控制體積。因此，流出控制體積的正動量，在上式右邊第二項，控制表面面積分上是正值。同時，流出控制體積的負動量，在上式右邊第二項，控制表面面積分

5、上就是負值。同理，流進控制體積的正動量，在上式右邊第二項，控制表面面積分上是負值，同時，流進控制體積的負動量，在上式右邊第二項，控制表面面積分上是正值。假如控制表面與進出的流動方向垂直時 ，在這些控制表面上的表面作用力便是來自控制體積外流體產(chǎn)生的壓力。正負則由壓力與座標的方向決定之。系統(tǒng)所受的外力與系統(tǒng)及控制體積的選擇有關(guān)。系統(tǒng)可以只有流體的部分，也可以還包括流體外的管路部分。視分析的對象與方便性而定。5.3這節(jié)討論熱力學(xué)第一定律，並導(dǎo)出能量方程式。也會提到它與伯努利方程式的比較與關(guān)係。對一個系統(tǒng)而言，熱力學(xué)第一定律闡明，儲存於系統(tǒng)內(nèi)總能量的時間增加率 =外界以熱傳方式加入系統(tǒng)的能量率+ 外界

6、以作功方式加入系統(tǒng)的能量率如果寫成方程式的話，De dV(Qnet inWnet in ) sysDtsys系統(tǒng)內(nèi)單位質(zhì)量的總儲存能量是包括了內(nèi)能，動能，以及位能，eV 2gzu2外界對系統(tǒng)進行傳熱 ，或是對系統(tǒng)作功 ，都當作是正的 。能量如由系統(tǒng)流向外界，則當作是負值。代入雷諾輸送定理， b = e，我們有，(Qnet in Wnet in )syse dVe V n?dAtcvcs熱率 (heat transfer rate)包括了所有來自溫度差別而造成的控制體積內(nèi)部與外界的能量交換，例如熱傳導(dǎo)，熱對流，與熱輻射都屬於此類。許多的工程應(yīng)用上，過程是絕熱的，也就是熱率可以設(shè)為零 。但要注意

7、，如果進出控制體積的熱率相等，此時也會有淨熱率為零的結(jié)果。功率 (work transfer rate, or power)的產(chǎn)生也有幾種可能。功可以藉著轉(zhuǎn)動軸，通過控制表面，進出控制體積，外界對系統(tǒng)作功或是系統(tǒng)對外界作功。 （轉(zhuǎn)動軸作功的功率 Wshaft ，是作用力矩與轉(zhuǎn)動角速度的乘積。）功也可以因為系統(tǒng)在外界應(yīng)力作用下發(fā)生位移，而進出控制體積。假如外界對系統(tǒng)（速度為 V ）施力 F ，功率為，WF V，也就是 p（壓縮力為負，拉張力為正） ，外界作用於控制表面的垂直應(yīng)力為作用於面積為 ?的功率為，n AWnormal?n A Vpn A VpV n A對整個控制表面積分，可得，Wnorm

8、al?pV ndAcs至於切線方向的應(yīng)力，通?？梢院雎?，一方面因為控制表面上的速度為零，或是兩者的點乘積很小。所以我們有，e dVe V?Wshaft net inpV?tcvcscs合併面積分，e dVup V 2?Qnet inWshaft net intgzV ndAcvcs2對一穩(wěn)定條件（或週期性的平均行為）下的流動，左邊第一項為零。而第二項在n? 等於零時，也不會存在。若我們假設(shè)括弧內(nèi)各項能量在進出的控制表面上，都是均勻分布（一維），上式可以簡化成，p V 2gz mout up V2minQnet in Wshaft net inugz2out2in利用連續(xù)方程式，與熱力性質(zhì)，焓，

9、hup可得如下的一維穩(wěn)定能量方程式，Vout2Vin2m houthing( zoutzin ) Qnet in Wshaft net in2和伯努利方程式（不可壓縮條件）相比，我們將質(zhì)量流率移至右邊，整理後，poutVout2pinVin2gzoutgzin (uout uin qnet in wshaft net in )22q 及 w 是單位質(zhì)量的熱傳量與作功量。而穩(wěn)定狀態(tài)，不可壓縮，無摩擦條件下的伯努利方程式是，poutVout2pinVin2gzoutgzin22也就是說，此時，uoutuin qnet in wshaft net in 0伯努利方程式內(nèi)的三個項總和稱為有用能量或是可用能量。假設(shè)不作轉(zhuǎn)動軸功，而熱傳，因為有溫差而難免（除非絕熱） ，依據(jù)日常經(jīng)驗，摩擦損耗一定存在，所以，uoutuin qnet in loss 0這也就是代表因為摩擦力的存在，造成有用能量的損失。沒有摩擦力的話，損失就等於零。假如將轉(zhuǎn)動軸功加進來的話，我們就有下面的式子，poutVout2pinVin2gzoutgzinwshaft net in loss22此式稱為機械能方程式，或者是延伸伯努利方程式。也可以寫成壓力頭，速度頭等的型式，而有poutVo