概率論隨機(jī)變量函數(shù)的分布課件

1、隨機(jī)變量的函數(shù)在討論正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系時(shí)，已知有結(jié)“設(shè)隨機(jī)變量則隨機(jī)變量”.這里，是隨機(jī)變量的函數(shù)，對(duì)的每一個(gè)取值，有唯一確定的取值與之對(duì)應(yīng).由于是隨機(jī)變量，其取值事先不確定，因而 的取值也隨之不確定，即也是隨機(jī)變量. 論：一般地，如果存在一個(gè)函數(shù)使得隨機(jī)變量滿足：則稱隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù).注：在微積分中，我們討論變量間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，主要隨機(jī)變量的函數(shù)注：在微積分中，我們討論變量間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，主要隨機(jī)變量的函數(shù)注：在微積分中，我們討論變量間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，主要研究函數(shù)關(guān)系的確定性特征，例如：導(dǎo)數(shù)、積分等.在概率論中，我們主要研究的是隨機(jī)變量函數(shù)的隨機(jī)特征，即由自變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律

2、性出發(fā)研究因變量而的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律.一般地，對(duì)任意區(qū)間令則因此，隨機(jī)變量與的函數(shù)關(guān)系的確定，為我們從的分布出發(fā)導(dǎo)出的分布提供了可能.隨機(jī)變量的函數(shù)因此，隨機(jī)變量與的函數(shù)關(guān)系的確定，為我們從的分布出發(fā)導(dǎo)出的分布提供了可能.隨機(jī)變量的函數(shù)因此，隨機(jī)變量與的函數(shù)關(guān)系的確定，為我們從的分布出發(fā)導(dǎo)出的分布提供了可能.例如，設(shè)是一隨機(jī)變量，則對(duì)且任意有完離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布確定相應(yīng)的于是，離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布確定相應(yīng)的于是，從而求得的概率分布.上述過(guò)程表明：的概率分布完全由的概率分布所確定.完連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布一般 地，連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)不一定是連續(xù)型隨機(jī)變量，但我們主要討論連續(xù)型隨機(jī)變量的函

3、數(shù)還是連續(xù)型隨機(jī)變量的情形，此時(shí)我們不僅希望求出隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)，而且還希望求出其概率密度函數(shù).設(shè)已知的分布函數(shù)或概率密度函數(shù)則隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)可按如下方法求得：連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布可按如下方法求得：連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布可按如下方法求得：其中，而常?？捎傻姆植己瘮?shù)來(lái)表達(dá)進(jìn)而可通過(guò)的分布函數(shù)求出的密度函數(shù).完的積分來(lái)表達(dá)：或用其概率密度函數(shù)例2設(shè)隨機(jī)變量求的概率密度函數(shù).解再由得通常稱上式中的服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布,它也是一種常用壽命分布.完例3設(shè)求的概率密度.解設(shè)的分布函數(shù)為則于是的密度函數(shù)例3設(shè)求的概率密度.解注意到時(shí),即時(shí),且故完例4設(shè)求的密度函數(shù).解記的分布函數(shù)為則顯然,當(dāng)

4、時(shí),當(dāng)時(shí),從而的分布函數(shù)為例4設(shè)求的密度函數(shù).解從而的分布函數(shù)為例4設(shè)求的密度函數(shù).解從而的分布函數(shù)為于是其密度函數(shù)為例4設(shè)求的密度函數(shù).解于是其密度函數(shù)為例4設(shè)求的密度函數(shù).解于是其密度函數(shù)為注:以上述函數(shù)為密度函數(shù)的隨機(jī)變量分布,它是一類更廣泛的分布在時(shí)的特例.關(guān)于分布的細(xì)節(jié)將在第五章中給出.稱為服從完例5已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),證明服從0,1上的均勻分布.證明對(duì)例5已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),證明服從0,1上的均勻分布.證明對(duì)即的分布函數(shù)是求導(dǎo)得的密度函數(shù)可見(jiàn),服從0,1上的均勻分布.證畢.例5已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),證明服從0,1

5、上的均勻分布.證明對(duì)即的分布函數(shù)是可見(jiàn),服從0,1上的均勻分布.證畢.注：本例的結(jié)論在計(jì)算機(jī)模擬中有重要的應(yīng)用.完定理設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度又設(shè)處處可導(dǎo)且恒有(或恒有則是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為其它其中是的反函數(shù)，且證明注：從前面例題可見(jiàn)，在求關(guān)鍵是證明注：從前面例題可見(jiàn)，在求關(guān)鍵是證明注：從前面例題可見(jiàn)，在求關(guān)鍵是設(shè)法從中解出從而得到與等價(jià)的的不等式. 而利用本定理,直接用它求出隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度.在滿足條件時(shí)可完證只證情況.此時(shí)在單調(diào)增加，它的反函數(shù)存在，單調(diào)增加，可導(dǎo)，分別記的分布函數(shù)為現(xiàn)在先來(lái)求的分布函數(shù)因?yàn)樵谌≈?，故?dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格且在嚴(yán)格當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，將關(guān)于求導(dǎo)數(shù)，即

6、得的概率密度其它(1)對(duì)于的情況可以同樣地證明，此時(shí)有其它(2)合并(1)與(2)兩式，定理的結(jié)論得證.合并(1)與(2)兩式，定理的結(jié)論得證.合并(1)與(2)兩式，定理的結(jié)論得證.若在有限區(qū)間以外等于零，則只需假設(shè)在上恒有(或恒有此時(shí)，完例6設(shè)隨機(jī)變量試證明的線性函數(shù)證也服從正態(tài)分布.的概率密度為由解得且有從而的概率密度為例6設(shè)隨機(jī)變量試證明的線性函數(shù)證也服從正態(tài)分布.例6設(shè)隨機(jī)變量試證明的線性函數(shù)證也服從正態(tài)分布.即即有例6設(shè)隨機(jī)變量試證明的線性函數(shù)證也服從正態(tài)分布.即即有例6設(shè)隨機(jī)變量試證明的線性函數(shù)證也服從正態(tài)分布.即即有特別地,若在本例中取則得這就是上節(jié)中一個(gè)已知定理的結(jié)果.完例7

7、設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求的分布函數(shù).解根據(jù)已知結(jié)果,的分布函數(shù)的分布函數(shù)例7設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求的分布函數(shù).解例7設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求的分布函數(shù).解當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),代入的分布函數(shù)中可得例7設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求的分布函數(shù).解代入的分布函數(shù)中可得例7設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求的分布函數(shù).解代入的分布函數(shù)中可得注:在本例中,雖然是連續(xù)型隨機(jī)變量,是連續(xù)型隨機(jī)變量,也不是離散型隨機(jī)變量,分布函數(shù)在處間斷.但不的完例8設(shè)隨機(jī)變量在 (0,1) 上服從均勻分布,求的概率密度.解在區(qū)間 (0,1) 上,函數(shù)故于是在區(qū)間上單調(diào)下降,有反函數(shù)從而例8設(shè)隨機(jī)

8、變量在 (0,1) 上服從均勻分布,求的概率密度.解例8設(shè)隨機(jī)變量在 (0,1) 上服從均勻分布,求的概率密度.解已知在 (0,1) 上服從均勻分布,代入的表達(dá)式中,得例8設(shè)隨機(jī)變量在 (0,1) 上服從均勻分布,求的概率密度.解已知在 (0,1) 上服從均勻分布,代入的表達(dá)式中,得例8設(shè)隨機(jī)變量在 (0,1) 上服從均勻分布,求的概率密度.解已知在 (0,1) 上服從均勻分布,代入的表達(dá)式中,得即服從參數(shù)為 1/2 的指數(shù)分布.完課堂練習(xí)1.設(shè)的分布律為3/103/101/101/101/55/2210-1試求:(1)的分布律;(2)的分布律.2.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為其他,求的概率密度.完

9、課堂練習(xí)1.設(shè)的分布律為3/103/101/101/101/55/2210-1試求:(1)的分布律;(2)的分布律.解先根據(jù)的分布律,列出下表:5420-225/441015/2210-13/103/101/101/101/5課堂練習(xí)解先根據(jù)的分布律,列出下表:5420-225/441015/2210-13/103/101/101/101/5課堂練習(xí)解先根據(jù)的分布律,列出下表:5420-225/441015/2210-13/103/101/101/101/5(1)由于的值全不等,所以的分布律為3/103/101/101/101/5 5 4 2 0 -2.課堂練習(xí)解(1)由于的值全不等,所以的分

10、布律為3/103/101/101/101/5 5 4 2 0 -2.課堂練習(xí)解(1)由于的值全不等,所以的分布律為3/103/101/101/101/5 5 4 2 0 -2.(2)由于中值1出現(xiàn)了兩次,所以的分布律為課堂練習(xí)解(2)由于中值1出現(xiàn)了兩次,所以的分布律為課堂練習(xí)解(2)由于中值1出現(xiàn)了兩次,所以的分布律為完3/103/103/101/1025/4410.課堂練習(xí)2.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為其他,求的概率密度.解法1注意到,當(dāng)時(shí),故當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),課堂練習(xí)解法1注意到,當(dāng)時(shí),故當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),課堂練習(xí)解法1注意到,當(dāng)時(shí),故當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),而求導(dǎo)得:課堂練習(xí)解法1注意到,當(dāng)時(shí),故當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),而求導(dǎo)得:課堂練習(xí)解法1注意到,當(dāng)時(shí),故當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),而求導(dǎo)得:其他.解法2當(dāng)時(shí),課堂練習(xí)解法2當(dāng)時(shí),課堂練習(xí)解法2當(dāng)時(shí),因?yàn)樗哉n堂練習(xí)解法2課堂練習(xí)解法2課堂練習(xí)解法2課堂練習(xí)解法2故其他.完內(nèi)容小結(jié)1.隨機(jī)變量的函數(shù)如果存在一個(gè)函數(shù)使得隨機(jī)變量滿足:則稱隨機(jī)變量是隨機(jī)變量的函數(shù).2.掌握由已知的的分布去求的分布的方法(1)對(duì)離散型隨機(jī)變量,先根據(jù)自變量的可能取值確定相應(yīng)的于是內(nèi)容小結(jié)2.掌握由已知的的分布去求的分布的方法(1)對(duì)離散型隨機(jī)變量,先根據(jù)自變量的可能取值確定相應(yīng)的于是內(nèi)容小結(jié)2.掌握由已知的的分布去求的分布的方法(1)對(duì)