多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)(精簡(jiǎn)版)

1、可編輯修改WORD版本可編輯修改WORD版本 10/10可編輯修改WORD版本多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)(精簡(jiǎn)版) 高等數(shù)學(xué)下冊(cè)復(fù)習(xí)提綱 第八章 多元函數(shù)微分學(xué) 本章知識(shí)點(diǎn)(按歷年考試出現(xiàn)次數(shù)從高到低排列): 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（） 條件極值拉格朗日乘數(shù)法（） 無(wú)條件極值（） 曲面切平面、曲線切線（） 隱函數(shù)（組）求導(dǎo)（） 一階偏導(dǎo)數(shù)、全微分計(jì)算（） 方向?qū)?shù)、梯度計(jì)算（） 重極限、累次極限計(jì)算（） 函數(shù)定義域求法（） 1. 多元復(fù)合函數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 例 設(shè)),cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求x y z x z ?2及. 解 y x e f x f x z +?

2、+?=?31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z +?+-?+?+-?=?=?)sin (cos )sin (333231312 22析 1）明確函數(shù)的結(jié)構(gòu)(樹(shù)形圖) 這里y x e w y v x u +=,cos ,sin ，那么復(fù)合之后z 是關(guān)于y x ,的二元函數(shù).根據(jù)結(jié)構(gòu) 圖，可以知道：對(duì)x 的導(dǎo)數(shù)，有幾條線通到“樹(shù)梢”上的x ，結(jié)果中就應(yīng)該有幾項(xiàng)，而每一 項(xiàng)都是一條線上的函數(shù)對(duì)變量的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的乘積.簡(jiǎn)單的說(shuō)就是，“按線相乘，分線相加”. 2）31,f f 是),cos ,(sin ),cos ,(si

3、n 31y x y x e y x f e y x f +的簡(jiǎn)寫(xiě)形式，它們與z 的結(jié)構(gòu) 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函數(shù).所以1f 對(duì)y 求導(dǎo)數(shù)為 z u v w x x y y y x e f y f y f +?+-?=? ?1312 1)sin (. 所以求導(dǎo)過(guò)程中要始終理清函數(shù)結(jié)構(gòu)，確保運(yùn)算不重、不漏. 3）f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，從而y x z x y z ?22, 連續(xù)，所以y x z x y z ?=?22. 練 1. 設(shè)),2(22 x y x f x z =其中f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求22x z ?. 2. 設(shè)),sin ()2(2 2y x y

4、 e g y x f z x +-=其中f 二階可導(dǎo)，g 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 求y x z ?2. 2. 多元函數(shù)極值 例1. 求函數(shù))2(e ),(22y x y x f y x -=-的極值. 解 （1）求駐點(diǎn).由 ?=+-=0e 4)2(e ),(, 0e 2)2(e ),(2222y x y x y y x y x x y y x y x f x y x y x f 得兩個(gè)駐點(diǎn) )0,0(，)2,4(-， （2）求),(y x f 的二階偏導(dǎo)數(shù) )242(e ),(22+-=-x y x y x f y x xx ，)422(e ),(22y x x y y x f y x xy =

5、-， )482(e ),(22-+-=-y y x y x f y x yy ， （3）討論駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) 在)0,0(處，有2=A ，0=B ，4-=C ，082 =-B AC ，而 0 析 1）這是二元函數(shù)無(wú)條件極值問(wèn)題. 2）解題步驟：第一步是求出駐點(diǎn)一階偏導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)；第二步求目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo) 數(shù)；第三步求出駐點(diǎn)的判別式2 B A C -，判斷是否為極值點(diǎn)以及極大極小. 2. 將正數(shù)12分成三個(gè)正數(shù)z y x ,之和 使得z y x u 2 3=為最大. 解：令)12(),(2 3 -+=z y x z y x z y x F ，則 ?=+=+=+=+=. 12,0, 02,032

6、33 22z y x y x F yz x F z y x F z y x 解得唯一駐點(diǎn))2,4,6(，故最大值為.69122462 3max =?=u 析 1）題目是為了熟悉條件極值的求法拉格朗日乘數(shù)法.這里拉格朗日函數(shù)也可寫(xiě)成 )12(ln ln 2ln 3),(-+=z y x z y x z y x F . 2）由于目標(biāo)函數(shù)是乘積形式，而其和為常數(shù)，可以利用均值不等式 6 2362 233342722433327? ? ? ?+?=z y y x x x z y y x x x z y x 691224276=?=. 方法較為簡(jiǎn)單，但沒(méi)有拉格朗日乘數(shù)具有一般性. 3. 求函數(shù)2 2y

7、x z +=在圓9)2()2(22-+-y x 上的最大值與最小值. 解 先求函數(shù)在圓內(nèi)部可能的極值點(diǎn).令 ? ?=02, 02y z x z y x 解得點(diǎn))0,0(，而0)0,0(=z . 再求函數(shù)在圓周上的最值.為此做拉格朗日函數(shù) 9)2()2(),(2222-+-+=y x y x y x F ， ? ?=-+-=-+=-+=. 9)2()2(,0)2(22, 0)2(222 2y x y y F x x F y x 解之得)22,22(),225,225( -，而1)2 2 ,22(,25)225,225(=-=z z . 比較)2 2,22(),225,225( ),0,0(-z

8、z z 三值可知，在圓9)2()2(2 2-+-y x 上函數(shù)最大值為25=z ，最小值為0=z . 析 1）在閉域上求函數(shù)最值只需找出在開(kāi)區(qū)域和邊界上的可疑點(diǎn)，最后比較函數(shù)值即可.而不需要判斷是否為極值點(diǎn). 2）在求方程組的解時(shí)，要注意方程的對(duì)稱(chēng)性，必要時(shí)也可做換元處理，以簡(jiǎn)化計(jì)算. 3）本題在邊界上的最值也可考慮寫(xiě)出圓周的參數(shù)方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問(wèn)題. 練 1. 求y x xy x y x f 12153),(2 3 -+=的極值. 2. 證明函數(shù)y y ye x e y x f -+=cos )1(),(有無(wú)窮多個(gè)極大值，但無(wú)極小值. 3. 在橢球面122 2222=+c z

9、 b y a x 的第一卦限求一點(diǎn)，使該點(diǎn)的且平面與三坐標(biāo)面圍成的四 面體的體積最小. 4. 求拋物線2 x y =與直線02y x 之間的距離. 3. 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用 例1. 求曲面21322 2 2 =+z y x 平行于平面064=+z y x 的切平面方程. 解 令 2132),(2 2 2 -+=z y x z y x F ， 曲面在點(diǎn)),(z y x 處的法向量為 )6,4,2(),(z y x F F F n z y x = ， 已知平面的法向量為)6,4,1(1=n ，而切平面與已知平面平行，所以1/n n ，從而有 6 64412z y x = =， （1） 又因?yàn)辄c(diǎn)在切面

10、上，應(yīng)滿(mǎn)足曲面方程 2132222=+z y x （2） (1)、（2）聯(lián)立解得切點(diǎn)為)2,2,1(及)2,2,1(，所以所求切平面方程為： 0)2(6)2(4)1(=-+-+-z y x ， 或 0)2(6)2(4)1(=+z y x . 析 1）由于已經(jīng)給出平面的法向量，關(guān)鍵是求出切點(diǎn)，直接利用平面的點(diǎn)法式方程即可. 2） 法向量的求法:由曲面方程0),(=z y x F 得 ),(z y x F F F n = . 如果曲面方程為 ),(y x f z =,那么),(),(y x f z z y x F -=,或=),(z y x F z y x f -),(. 對(duì)應(yīng)的法向量就 為 )1

11、,(y x f f n -= 或 )1,(-=y x f f n . 3）注意不要把 1/n n 寫(xiě)成 1n n =，它們的分量是對(duì)應(yīng)成比例而不一定相等，否則將得出錯(cuò)誤結(jié)論. 4）兩個(gè)平面要獨(dú)立寫(xiě)出，千萬(wàn)不要用大括號(hào)聯(lián)立.還有就是萬(wàn)萬(wàn)不可把平面方程寫(xiě)成了直線啊. 2. 求曲線62 2 2 =+z y x ，0=+z y x 在點(diǎn))1,2,1(0-P 處的切線及法平面方程. 解 曲線方程為 ? ?=+=+0 6 222z y x z y x ， 取x 為自變量，則y 和z 看作x 的函數(shù)，即)(),(x z z x y y =.那么曲線的切向量 )(),(,1(x z x y = . 方程組兩邊

12、對(duì)x 求導(dǎo)，得 ? ?=+=+0 16 222z y z z y y x ， 解得 z y y x z z y x z y -=-= ,. 將點(diǎn))1,2,1(0-P 代入，得切向量為 )1,0,1(-= . 所以曲線在點(diǎn))1,2,1(0-P 處的切線為 1 10211-=+=-z y x ， 法平面為 0)1()1(=z x . 析 1）曲線方程為參數(shù)形式 ? ? ?=),(),(),(t z z t y y t x x 在點(diǎn)),(0000z y x P 處對(duì)應(yīng)參數(shù)為0t ，那么曲線在0P 處的切向量為 )(),(),(000t z t y t x = . 由直線的對(duì)稱(chēng)式（點(diǎn)向式）方程可得切線

13、方程為 ) ()()(00 0000t z z z t y y y t x x x -=-=-， 法平面方程為 0)()()(000000=-+-+-z z t z y y t y x x t x . 2）若曲線方程是一般式(隱函數(shù)形式) ? ?=0 ),(, 0),(z y x G z y x F ， 則，那么曲線在0P 處的切向量為 ,P y x y x z z x z z y z y G G F F G G F F G G F F ? ?=. 由于此公式較為復(fù)雜，我們經(jīng)常從z y x ,三個(gè)變量中選取一個(gè)作為參數(shù)，剩余兩個(gè)看作其函 數(shù)例題中的解法就是如此. 練 1. 設(shè)曲線? ?=+0,

14、 122322z y x 繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周得到一旋轉(zhuǎn)曲面，求該曲面在點(diǎn) )2,3,0(指向外側(cè)的單位法向量. 2. 求橢球面21322 2 2 =+z y x 上某點(diǎn)M 處的切平面的方程，使過(guò)已知直線 2 1 21326: -= -=-z y x L . 3. 在曲線 3 2 ,x z x y =上求點(diǎn)，使該點(diǎn)處的切線平行于平面42=+z y x . 4. 求曲線?=-+-=-+0 4532, 03222z y x x z y x 在點(diǎn))1,1,1(處的切線方程. 4. 隱函數(shù)(組)導(dǎo)數(shù) 例1. 設(shè) 0e 2e =+z xy z ，求 x z ? ，y z ?. 解 方程兩端對(duì)x 求偏導(dǎo)數(shù)，得

15、 0e 2)(e =?-?x z x z y z xy 即 x z ?=z xy y -+-e 2e ； 方程兩端對(duì)y 求偏導(dǎo)數(shù)，得 0e 2)(e =?-?y z y z x z xy 即 y z ?=z xy x -+-e 2e . 析 當(dāng)然題目也可用公式法求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，那是將),(z y x F 看成是三個(gè)自變量x ，y ， z 的函數(shù)，即x ，y ，z 處于同等地位. 方程兩邊對(duì)x 求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，x ，y 是自變量，z 是 x ，y 的函數(shù)，它們的地位是不同的. 2. 設(shè) ?=+-+-=-+0 1, 0222xy v u y x v u ，求y v x v y u x u ?,. 解

16、 方程組兩端對(duì)x 求導(dǎo)，得 ? ?=-+-=-+. 0, 0222y v u x vv uu x x x x 即 ? ? ?=+-=+y v u x vv uu x x x x , 222 則 v u yv x v u y v x x u +-=-= ?1122122，v u yu x v u y x u x v += -= ?1 1 22122. 同樣方程組兩端對(duì)y 求導(dǎo)，得 v u xv y u 2221+-=?, v u xu y v 2221+=?. 析 1) 方程組確定的隱函數(shù)個(gè)數(shù)等于方程的個(gè)數(shù),而每個(gè)函數(shù)自變量的個(gè)數(shù)為“方程組中所有變量個(gè)數(shù)”減“方程的個(gè)數(shù)”. 2) 大家解線性方程

17、組時(shí)可以用代入法或直接使用求解公式. 練1. 設(shè)方程xyz e z =確定隱函數(shù)()y x f z ,=，求x z ?和22y z ?. 2. 設(shè)函數(shù) ()y x f z ,=由方程0),(=+x z y y z x F 確定,求x z ?和x y z ?2. 3. 設(shè) ),(t x f y =,而),(y t x x =是由方程0),(=t y x F 所確定的函數(shù),其中F f ,都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).求 t x d d . 4. 設(shè) ? ? ?-=+=),(),(2 y v x u g v y v xu f u ，,其中g(shù) f ,都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).求 y u ?，和y v ?. 5.

18、偏導(dǎo)數(shù)及全微分 例1. 設(shè))2(ln 22 y x y x z -=，求 x z ?，y z ?. 解 x z ?) 2(2)2(ln 22 2 2y x y x y x y x -+-=， =?y z ) 2()2(ln 3222 2y x y x y x y x . 析 1) 利用一元函數(shù)求導(dǎo)即可.對(duì)其中變量求導(dǎo),其余的自變量都看作常數(shù). 2) 也可利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式求導(dǎo). 2. 已知)ln(e ),(23sin xy x y x f x y +?=，求 )0,1(x f . 解 )0,(x f x ln 3=.于是x x f x 3 )0,(= ，3)0,1(=x f . 析 1)

19、 此類(lèi)題目“先代后求”,或“先求后代”.對(duì)于確定一點(diǎn)的一般選后一種方法. 2) 另外分段函數(shù)在分界點(diǎn)處要用偏導(dǎo)數(shù)定義來(lái)求. 3. 設(shè))ln(2 2 y x z +=，求11 d x y z = 解 設(shè) u y x =+22 ，則 u z ln =， 所以 d 1 2d z z u x x u x u ?=?， d 12d z z u y y u y u ?=?， 從而 1 1 d x y z = 111 1 d d x x y y z z x y x y =?+?=d d x y + 練 1. 設(shè)?=+=0, 0,0,),(22222 2y x y x y x xy y x f ，求(0,0)

20、,(0,0)x y f f . 2. 求 x y z cos ln = 在點(diǎn))4 ,1( 處的全微分. 3. 求 2 sin z u xy e =?的全微分. 4. 證明函數(shù)? ? ?=+=0,00,1sin )(),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在點(diǎn))0,0(連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在)0,0(不連續(xù)，而f 在)0,0(可微 6. 方向?qū)?shù)級(jí)梯度 例 求 3 2 yz xy u += 在)1,1,2(0-P 的梯度及沿)1,2,2(-=l 方向的方向?qū)?shù). 解 k z u j y u i x u u ?+?+?=grad , 而 2323,2,yz z u z xy y u y x u =?+=?=? 故 k z u j y u i x u u ?+?+?=grad k yz j z xy i y ?2 323)2(+=, 則在)1,1,2(0-P 處的梯度為 k j i