等和線解決的平面向量專題

1、1、【2014寧波二模理17】已知點O是ABC的外接圓圓心，且AB=3, AC=4.假設(shè)uuu uuu uuu存在非零實數(shù)尤、兒 使得AO = xAB + yAC ,且12y = 1,則cos ZBAC=. UUD uuu uuuuuu uu解答：取AC中點D,則有AO = xAB + y壯=xAB + 2yAD，而x + 2y = 1,得點B,O,D三點共線，已知點O是ABC的外心，可得BD 1 AC，故有BC=AB=3,2AC=4，求得 cos ZBAC =-.2、【2014杭州二模文8理6】設(shè)0 AABC的外心(三角形外接圓的圓心).假設(shè)A。= 1 AB + 1 AC，則 /BAC 的度

2、數(shù)為()33A.30 B.45 C.60 D.90uuu 1 uuu 2 uuu解答：取AC中點D,則有A。= -AB + 2AD，得點B,O,D三點共線，已知點O33是ABC的外心，可得BD 1 AC ,即有AO=BO=2DO,故可求得/BAC = 60。.3、【2009浙江理樣卷6】已知AAOB，點P在直線AB上，且滿足11()A. B. C.2D.332uuuuuu uuu11()A. B. C.2D.332OP = 2tPA + tOB (t e R)，則 W =PBuuu2t uuu uuu2t解答：由已知OP =OA + $。8,點P在直線AB上，得+1 = 1,解得t = -1或

3、1 + 2t1 + 2tiUDiuuu 1 uuu uuu 1 uuu 1 uuut = -.當(dāng) t = -1 時，可得OA = OP + OB，此時 A 為 PB 中點，22闞=歹當(dāng),=2時,uuu 1 uuu 1 uuulUUJUi =1.pb可得OP = OA + 。8,此時P為ABlUUJUi =1.pb22 , 一4、【2014浙江省六校聯(lián)考理17】已知。為AABC的外心，AB = 2a , AC = -(a 0),auuu uuu VUDZBAC = 120o，假設(shè)AO = xAB + yAC(x, y為實數(shù))，則x + y的最小值為解答：如圖，設(shè)AOI BC = E , EO =

4、 m , AO = R，則易知 TOC o 1-5 h z uuu R uuu R uuu uuuR -AO = AE =呵AB + 乂 AC，其中氣+ 乂=1, m e , R，故由已知可R - m R - m_ 2,R得尤+=廠m，所求取值范圍是2, +8 )5、【2013學(xué)年第一學(xué)期末寧波理17】已知0為AABC的外心，AB = 4, AC = 2, ABAC =120。假設(shè) AO = X1 AB + 人2 AC，則 X1 + M =.解法 1：如圖，設(shè) I BC = E , EO = m, AO = R , AF BC于 F 點，OG BC 于uuu R uuu R uuu uuuG點

5、，則易知得0G =胃如=朽AE =朽叫曷+ 乂M 其中G點，則易知得0G =胃2*，方RAF + OGOG 13AF = 故可求得M +喝=柘T + AF = 7rUUD UUUUUU2UUU UUU6，故= 86I A AB = N AB + M C - B策 8 = 6，故= 86解法 2： 1 uuu uuu uuu uuuuuu2，得，小工ZD，解得I AO AC =兀 AB AC + AC2 = -4X1 + 4七13M + M -解法3：設(shè)A(0,0), B(4,0), C 1,指，外心0是AB中垂線尤=2和AC中垂二(4,0 )，線 =令x+平的交點二(4,0 )，3 I 3 J

6、 3 Juuu .-AC = uuu .-AC = 1*3 ,2 = 4X1 -膈3 = 丁X1+ 、亂有誤，重解【變式1】、已知向量ab的夾角為逃，且ai=4, |bl=2, la-cl = l-cl = lc|, 假設(shè) c=xayb,3則 x+y=13.66、【2013學(xué)年第一學(xué)期月考寧?？h正學(xué)中學(xué)文17】已知， 為平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，假設(shè)向量 滿足c +妙 從c + b)(人G R)，貝的最小值為解答：如圖，由已知c = -b +二a，設(shè)a = OA , b =洗,-c = OC，則點C在人-1人-1直線AB上，得|c|二 |況|有最小值亨.7、【2012年稽陽聯(lián)考15】A,

7、B, P是直線I上不同的三點，點O在直線I外，假設(shè)uuuuuu uuucuPBOP = mAP + (2m - 3)OB,(m G R)，則茂有=2。解答：8、【2013杭二中高三適應(yīng)考理17】如圖，在直角梯形ABCD中，AD AB ,AB DC , AD = DC =1, AB = 2，動點P在以點C為圓心，且與直線BD相切的圓上或圓內(nèi)移動，設(shè)=入脂+ J ( X , 口 e R )，則入+ 口取值范圍是.m uuu n uuu n uuu uuu解答：設(shè) API BD = E , AE = m , AP = n，則 AP = AE = xAB + yAC，其中m m145 1n +x+y

8、= 1,得人+日=-=2 5 =1+項k, k表示點p到bc邊的距離，I-,一 2右一k g 0,飛一，得所求取值范圍是1,2.59、已知等差數(shù)列代的前n項和為Sn ,假設(shè)OA = a2 OB + 2009 OC,且A,B,C三點共線該直線不過點O,則S2010等于DA. 2010 B. 2008 C. 1010D. 1005,、uuu uuu uuu10、已知等差數(shù)列孔的前n項和為Sn，假設(shè)0A =。2.OB + %13 - ,且A,B,C三點共線該直線不過點O,則禹04等于DA. 2014B. 2012 C. 1012 D. 100711、如圖,在扇形OAB 中,ZAOB = 60 ,C為

9、弧AB上的一個動點.假設(shè)qc = xOA + y OB，則尤+ 3y的取值范圍是U1.解答：如圖，在 OB 上取一點 D,使 OB=3OD,設(shè) OC I AD = E , OE = m , EC = n ,則有8C =學(xué)OE =學(xué)叫凋+ 乂沏，其中叫+ *=1，另有uuu uuu uuu uuu uuu - m + 一 n TOC o 1-5 h z OC = xOA + yOB = xOA + 3yOD，得x + 3y = - = 1 + 一，易知當(dāng)點 C 和點 A 重m m一n合時一達(dá)最小值0,當(dāng)點C和點B重合時一達(dá)最大值2,故x + 3J e 1,3.mm12、如圖，四邊形OABC是邊長

10、為1的正方形，OD = 3,點P 為uuu uuuUJD一-BCD內(nèi)含邊界的動點，設(shè)OP = aOC + pODa, p G R，則a + P的 4最大值等于亍13、在平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點，假設(shè)兩定點&B滿足OA = OB = OA OB = 2，則點集P | OP =人湯+旦面,|人| + 2,X,旦e R所表示的區(qū)域的面積是16. *. TOC o 1-5 h z . , 、_ _ -1?1 一 ： ?14、假設(shè)等邊AABC的邊長為2,平面內(nèi)一點必滿足CM = - CB + _ CA，則必.MB =(C)A 813尸813A. B. C. D.-999915、假設(shè)等邊AABC的邊

11、長為2克，平面內(nèi)一點M滿足CM =1CB + 2C4，則63MA MB =一2uuuu 3 UJD 1 uuu16、假設(shè)M 為 AABC 內(nèi)一點，且滿足 AM = 3 AB + 4 AC，則 AABM 與 AABC的面積之比為A.uuu uuu uuu uuu uuu117、設(shè) O 是 AABC 的外心，AO = xAB + yAC , ,AB = 4 , ,AC* 6 , 2x + - y = 1,則聆.眨=418、已知 O 為 ABC 的外心，假設(shè) AO = xAB +ACUUi且 32x+25y=25，則 |。叫=10.19、已知*、B是單位圓上的兩點，為圓心，且N*W = 120。，M

12、N是圓uuyp uuruuur的一條直徑，點C在圓內(nèi)，且滿足對=X朝+ (1 X)潴(0 D，則1、 、也5的取值范圍是(C).1 3A. 2,1) B. 1,1) C. ,0) D . 1,0)2n 一20、已知圓。的半徑為2,氏B是圓上兩點且ZAOB =亍，MN是一條直徑，點C在圓內(nèi)且滿足洗=秘+ (1 -人)湖(0 X 1)，則明. C的最小值為(C)A.-2B.-1C.-3D.-421、已知 O(0,0) , &cos以,sin 以),B(cos。,sin。), C(cosy ,siny)，假設(shè)uuu uuu uuu,kOA + (2-k)OB + OC = 0, (0 k 2)，則c

13、os(a -P)的最大值是.22、【2014稽陽聯(lián)誼理16】在AABC中，/BAC =90。，以AB為一邊向AABC外作等邊 AABD ,假設(shè) /BCD = 2ZACD , AD = X+ 貸C，則人 + 日=.解：如圖，設(shè)點D關(guān)于AC的對稱點為D，且DD交AC于點E.設(shè)DCA油，貝y ZBCD = 29,/CDD = 90。0，CBD =150。 39,在 ADCD國CD 中利用正CD BD DD CD玄正士 侍 sin(150 39) = sin 29 = sin 29 = sin(90 - 9)從 侍 TOC o 1-5 h z sin(150 36) = sin(90 6)，從而 15

14、0 39 = 90 9 或 150。-36 + 90。-6 = 180 從DE 1AE3 ,1后而得0 = 15 .顯然人 r-=-,日=一7? = r ,故人 + 日=-.AB 2AC22UUi23、已知ABC中，AB=4, AC=2,假設(shè)人AB + (2-2人)AC|的最小值是2,則對于ABC內(nèi)uuu uuu uuu一點P, PA. PB + PC的最小值是.解：|瀏+ (2辦樗閆瀏+ (1 -*). 2蹲=|瀏+ (1一*)幽 的最小值是2,設(shè)壁二人熟+ (1 幻船 ，則點E在直線AD上，AB=4, AC=2, AD=4，故當(dāng)AE長度最小為2時，E為BD中點，AE BD ,得BAC =1

15、20。，取BC中點F,連結(jié)AF,取AF中點G,則有：uuu 21 uuu uuu 23當(dāng)點P與點G重合時，有最小值1AF = - AB + AC =-.82uuuuuuuuu1、ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，且3OA + 4OB + 5OC = 0，貝uuu uuuOC. AB =.解：3必+4=.1，兩邊平方得必翔=0.mu uuu 3 uuu 4 uuu uuu 11 uuu UJD 1故 OC. AB = | OA OB . OB OA = + OA. OB =55)5 55，uuu uuuuuu2、在ABC 中，AC=2, BC=6, O 是ABC 內(nèi)一點，且OA + 3OB + 4OC = 0，則uuu uuu uuuOC. BA + 2BC =.解法 1：設(shè)B(-3,0), C(3,0), A(x,y),則由 AC=2 得(x_3)2 + y2 = 4 ,由徹+ 3洗+ 4況=0得。蘭,Z ,8 8 J得洗,ZZ,器+ 2泌=任+15, V), TOC o 1-5 h z I 88 )v 7故洗.粉 + 2弟=(21 勺(15)-1 昌-尤2 + 6131572888-(x _3)2 - J2 + 324=1= 40.解法2：如圖，取AC中點D,取BC中點E,uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu u