講義基本不等式

1、題在精不在多，請充分發(fā)揮您的鉆研精神于各種“好題”！ 專注一對一輔導 學海教育！PAGE |初一數(shù)學基礎-提高-精英學生版| 第1講 第頁 改善學習方法，保障學習時間確保聽懂的題化成“得分”！ page PAGE 8 of NUMPAGES 9第3講基本不等式1基本不等式eq r(ab)eq f(ab,2)(1)基本不等式成立的條件：a0，b0(2)等號成立的條件：當且僅當ab時取等號2算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)設a0，b0，則a，b的算術平均數(shù)為eq f(ab,2)，幾何平均數(shù)為eq r(ab)，基本不等式可敘述為：兩個正實數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)3利用基本不等式求最值問題已知x0，

2、y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值是2eq r(p)(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最大值是eq f(p2,4)(簡記：和定積最大)做一做1已知a，b(0，)，若ab1，則ab的最小值為_；若ab1，則ab的最大值為_2eq f(1,4)1辨明兩個易誤點(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定、三相等”三個條件缺一不可；(2)連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致2活用幾個重要的不等式a2b22ab(a，bR)；eq f(b,a)eq f(a,b)2(a，b同號)abeq blc(rc)(avs4alco1(f

3、(ab,2)eq sup12(2)(a，bR)；eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)eq sup12(2)eq f(a2b2,2)(a，bR)3巧用“拆”“拼”“湊”在運用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件eq avs4al(考點一)_利用基本不等式證明不等式_規(guī)律方法利用基本不等式證明不等式的方法技巧利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運用基本不等式，對不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項，并項，也可乘上一個數(shù)或加上一個數(shù)，“1”的代換法等1“a0

4、且b0”是“eq f(ab,2)eq r(ab)”成立的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件A 2若x1，則xeq f(4,x1)的最小值為_5已知a0，b0，ab1，求證：eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,b)9.在本例條件下，求證eq f(1,a)eq f(1,b)4.1.設a，b，c都是正數(shù)，求證：eq f(bc,a)eq f(ac,b)eq f(ab,c)abc.eq avs4al(考點二)_利用基本不等式求最值(高頻考點)_利用基本不等式求最值是高考的常考內(nèi)容，題型主要為選擇題、

5、填空題高考對利用基本不等式求最值的考查常有以下三個命題角度：(1)知和求積的最值；(2)知積求和的最值；(3)求參數(shù)的值或范圍規(guī)律方法利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：一正二定三相等(1)“一正”就是各項必須為正數(shù)；(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，必須把構成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；(3)“三相等”即檢驗等號成立的條件，判斷等號能否取到，只有等號能成立，才能利用基本不等式求最值(1)當0 xm22m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A(，2)4，)B(，42，)C(2，4)D(4，2)(1)eq f(1,16)(2)D(3)D2

6、.(1)當x0時，f(x)eq f(2x,x21)的最大值為_(2)若x0，a1)的圖象恒過定點A，若點A在直線eq f(x,m)eq f(y,n)1上，且m，n0，則3mn的最小值為_(4)已知正實數(shù)a，b滿足a2b1，則a24b2eq f(1,ab)的最小值為_(1)1(2)1(3)16(4)eq f(17,2)eq avs4al(考點三)_利用基本不等式解決實際問題_規(guī)律方法應用基本不等式解實際問題的步驟：理解題意，設變量；建立相應的函數(shù)關系式，把實際問題抽象成求函數(shù)的最大值或最小值問題；在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；寫出正確答案小王大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)經(jīng)過市

7、場調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本為W(x)萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時，W(x)eq f(1,3)x2x(萬元)在年產(chǎn)量不小于8萬件時，W(x)6xeq f(100,x)38(萬元)每件產(chǎn)品售價為5元通過市場分析，小王生產(chǎn)的商品能當年全部售完(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤年銷售收入固定成本流動成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？當年產(chǎn)量為10萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大最大利潤為15萬元2.某養(yǎng)殖廠需定期購買飼料，已知該廠每天需要飼料20

8、0千克，每千克飼料的價格為1.8元，飼料的保管費與其他費用平均每千克每天0.03元，購買飼料每次支付運費300元(1)求該廠多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少；(2)若提供飼料的公司規(guī)定，當一次購買飼料不少于5噸時，其價格可享受八五折優(yōu)惠(即為原價的85%)問：該廠是否應考慮利用此優(yōu)惠條件？請說明理由3.某化工企業(yè)2014年年底投入100萬元，購入一套污水處理設備該設備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元設該企業(yè)使用該設備x年的年平均污水處理費用為y(單位：萬元)(1)用x表示y；(2

9、)當該企業(yè)的年平均污水處理費用最低時，企業(yè)需重新更換新的污水處理設備，則該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設備該企業(yè)10年后需要重新更換新的污水處理設備考題溯源基本不等式的實際應用(2014高考福建卷)要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器已知該容器的底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_(單位：元)160如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B點在AM上，D點在AN上，且對角線MN過點C，已知AB3米，AD2米(1)要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則DN的長應在什么范圍內(nèi)？(2)當DN的長度為多少時，矩

10、形花壇AMPN的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈礑N長的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(2,3)(6，)(單位：米)x2時，矩形花壇的面積最小，為24平方米1(2015青島模擬)設a，bR，已知命題p：a2b22ab；命題q：eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)eq sup12(2)eq f(a2b2,2)，則p是q成立的()A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件 D既不充分也不必要條件選B2(2015上海黃浦模擬)已知a，bR，且ab0，則下列結論恒成立的是()Aab2eq r(ab) B.eq f(a,b)eq f(b,a)2C.eq blc|rc

11、|(avs4alco1(f(a,b)f(b,a)2 Da2b22ab選C.3若2x2y1，則xy的取值范圍是()A0，2 B2，0C2，) D(，2選D 4(2015湖北黃岡模擬)設a1，b0，若ab2，則eq f(1,a1)eq f(2,b)的最小值為()A32eq r(2) B6C4eq r(2) D2eq r(2)選A.(2015山東青島質(zhì)檢)在實數(shù)集R中定義一種運算“*”，對任意a，bR，a*b為唯一確定的實數(shù)， 且具有性質(zhì)：(1)對任意aR，a*0a；(2)對任意a，bR，a*bab(a*0)(b*0)則函數(shù)f(x)(ex)*eq f(1,ex)的最小值為()A2 B3C6 D8選B

12、.6已知各項為正的等比數(shù)列an中，a4與a14的等比中項為2eq r(2)，則2a7a11的最小值為_87某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關系為yx218x25(xN*)則當每臺機器運轉(zhuǎn)_年時，年平均利潤最大，最大值是_萬元588已知a，bR，且ab50，則|a2b|的最小值是_209(1)當xeq f(3,2)時，求函數(shù)yxeq f(8,2x3)的最大值；(2)設0 x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值xy的最小值為64.xy的最小值為18.1不等式x2x0，b0，方程為x2

13、y24x2y0的曲線關于直線axby10對稱，則eq f(3a2b,ab)的最小值為_4eq r(3)74(2014高考湖北卷)某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/時)與車流速度v(假設車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)，平均車長l(單位：米)的值有關，其公式為Feq f(76 000v,v218v20l).(1)如果不限定車型，l6.05，則最大車流量為_輛/時；(2)如果限定車型，l5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加_輛/時(1)1 900(2)1005已知x0，y0，且2x5y20.求：(1)ulg xlg y的最大值；

14、(2)eq f(1,x)eq f(1,y)的最小值lg xlg y有最大值1.eq f(1,x)eq f(1,y)的最小值為eq f(72r(10),20).6(選做題)首屆世界低碳經(jīng)濟大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關系可近似地表示為yeq f(1,2)x2200 x80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的

15、平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使該單位不虧損？最低成本為200元該單位每月不獲利，需要國家每月至少補貼40 000元才能不虧損對勾函數(shù)f(x)=ax+ QUOTE 的圖象與性質(zhì)對勾函數(shù)是數(shù)學中一種常見而又特殊的函數(shù)。它在高中教材上不出現(xiàn)，但考試總喜歡考的函數(shù)，所以也要注意它和了解它。對勾函數(shù)的圖像對勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般函數(shù)，形如f(x)=ax+ QUOTE （接下來寫作f(x)=ax+b/x）。當a0，b0時，f(x)=ax+b/x是正比例函數(shù)f(x)=ax與反比例函數(shù)f(x)= b/x “疊加”而成的函數(shù)。這個觀點，對于理解它的性質(zhì)，繪制它的圖象，非常重要。當a，b同號時，f(x)