人教A版高中數(shù)學(xué)必修二講義第八章 章末復(fù)習(xí)

1、知識(shí)系統(tǒng)整合規(guī)律方法收藏1對(duì)于簡的空間幾何體,注意從表示法、分類、結(jié)構(gòu)特征三個(gè)方面入手 抓住各幾何體之間的相互關(guān)系多觀察仿課本中的立體圖形,畫好空間幾何體的 直觀圖2 在本章學(xué)習(xí)中要注意掌握“還臺(tái)為錐”的解題思想和“化曲( ) 為直”( 將幾何體表面展開鋪平)的思想方法,以用來求解表面兩點(diǎn)間距離最短問題 3直線和面垂直的判定定理可簡化為“線線垂直 ,則線面垂直”這里的“線線”指的是“一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線” ;“線面”則是指這條直 線和兩條相交直線所在的平面定理告訴我們要證明直線和平面垂直,需在 這個(gè)平面內(nèi)找出兩條相交直線都與已知直線垂直即可4判定線垂直的方 ,主有三 : 利用定 ;

2、利用判定定 ; 與平行 關(guān)系聯(lián)合運(yùn)用,若 ab, a則 .5兩平面交成直二面角時(shí),平面垂直作為二面角,除了本身所包含的問 題外,又是兩個(gè)平面垂直定義的基礎(chǔ)同異面直線所成的角直線和平面所成的 角相 , 二面角又是多種知識(shí)的交匯點(diǎn) 因此它必是每年高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之 一對(duì)于本節(jié)內(nèi)容及相關(guān)問題應(yīng)引起足夠重視6二面角平面角必須具備三個(gè)條件角的頂點(diǎn)在二面角的棱上角的兩 邊分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)角的兩條邊分別與二面角的棱垂直準(zhǔn)確恰 當(dāng)?shù)刈鞒龆娼堑钠矫娼鞘墙獯鹩嘘P(guān)二面角問題的關(guān)鍵二面角的平面角通常 有三種方法 定義法這里要注意角的頂點(diǎn)的恰當(dāng)選 ;垂面法 ;垂線法當(dāng) 二面角的棱未給出時(shí)首先要作出二面角的

3、棱,再利用上述辦法作出平面角7面面垂的判定方法有兩 : 一是利用面面垂直的定義找到二面角的平面 角,明該角為直角;是利用面面垂直的判定定理8轉(zhuǎn)化思是解立體幾何最常用的數(shù)學(xué)思 ,本章涉及的垂直問題的證明通 常是通過證明線線垂直垂直來實(shí)現(xiàn)的同時(shí)在關(guān)于垂直問題的論證中要注意 線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化學(xué)科思想培優(yōu)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1空間幾體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何圖形認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ) ,理解時(shí)要從其幾何體 的本質(zhì)去把 ,多面體中常見的棱柱、棱錐和棱既有必然的聯(lián)系 ,也有本質(zhì)的區(qū) 別2旋轉(zhuǎn)體由一個(gè)平面封閉圖形繞一條軸旋轉(zhuǎn)形成的 ,一定要弄清圓柱、圓 錐圓臺(tái)球分別是由哪一種平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的,而可以

4、掌握旋轉(zhuǎn)體中各元素 之間的關(guān)系,就掌握了它們各自的性質(zhì)例 1給出下列四個(gè)命題在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn),則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線;棱柱的上下底面全等直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐; 棱臺(tái)的上、下底面可以不相似但側(cè)棱長一定相等其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )A0C2詳細(xì)解析B1D3不一 ,有這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線 ; 正 ; 錯(cuò)誤斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐如圖所 它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何 ;錯(cuò)誤 臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn),是側(cè)棱長不一定相等答案B空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直

5、觀圖是空間幾何體的表現(xiàn)形式 學(xué)好空間幾何的基礎(chǔ)和關(guān) 鍵,只有正確作出空間幾何體的直觀 ,能分析其中各元素及各組成部分之間的 關(guān)系例 2 畫出如圖所示的四邊形 的直觀圖( 已知 OCAD2,OD 3,4,ADOB解以 為原點(diǎn) , 所在的直線為 x 軸建立直角坐標(biāo)系 ,如 作CB 45, 其中 O 是水平的 , 4,D 3,OC 1, D作D135,使 D順次連接 A,BBC所得 四邊形 OB即為四邊形 OABC 直觀圖,如圖 2. 36.3 26 O COAB 36.3 26 O COAB空間幾何體的體積與表面積幾何體的表面積和體積的計(jì)算是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到的問題 ,制作物體的 下料問題料最省問

6、題同材料容積最大問題都涉及表面積和體積的計(jì)算 別是特殊的柱、錐、,在計(jì)算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平 面圖形的作用,于圓柱錐臺(tái)要重視旋轉(zhuǎn)軸所在軸截面面圓的作用 補(bǔ)法、構(gòu)造法是常用的技巧例 3已知 A B 是球 O 的球面上兩點(diǎn) , 為該球面上的動(dòng)點(diǎn)若三棱錐 OABC 的體積的最大值為 36,球 的表面積為多少解如圖所示,點(diǎn) 于垂直于平面 直徑頂端時(shí)三棱錐 ABC 體積最大設(shè)球 的半徑為 R,時(shí)1 1 R3 R 6.球 O 的表面積為 S4R2空間中的位置關(guān)系144.相交1空間中直線的位置關(guān)系異面線在面內(nèi)2空間中與面的位置關(guān)系行線面相交3兩個(gè)平的位置關(guān)系例 4已知 mn 不同的直

7、線 , 是兩個(gè)不重合的平面給出下列結(jié)論若 m, 平行于平面 內(nèi)任意一條直線若 ,m,n,則 ;若 m,n,mn, ;若 ,m,則 m.其中正確的結(jié)論的序號(hào)是_ 寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))詳細(xì)解析若 m則 m 行于過 m 平面與 相交的交線并非所有的直線,故錯(cuò)誤;若 n,可能 ,可能 m 異面,錯(cuò)誤正確答案平行問題立體幾何中的平行問題有三類一是線線平行由基本事實(shí) 4 和面面平行的性 質(zhì)定理可以證明線線平 ,由線面平 ( 或垂直 )的性質(zhì)定理可以證明線線平 ; 根 據(jù)線線平行可以得出兩條異面直線所成的 ,可以證明線面平行 ;二是線面平 由線面平行的定義和判定定理可證明線面平行 三是兩個(gè)平面平 ,用定

8、義和判定 定理可以證明兩個(gè)平面平行 或垂直于同一條直線的個(gè)平面平 ,或行于同一 個(gè)平面的兩個(gè)平面平行由面面平行可以得出線面平行和線線平行平行關(guān)系的轉(zhuǎn) 化是:例 5 如圖,四棱錐 PABCD 中,底面 AD,ABAD 3,4, 為線段 AD 上一點(diǎn)AM2MDN 為 的中點(diǎn)( 證明:MN平面 PAB;( 求四面體 N 的體積3 1 2 1 1 3 BCM BCM3 1 2 1 1 3 BCM BCM解2( 證明:由已知得 AM 如圖, BP 中點(diǎn) ,接 AT,由 N 為 PC 的中點(diǎn)知 TNBCTN2又 BC故 ,所以四邊形 AMNT 平行四邊形,所以 MNAT.因?yàn)?AT面 PAB,MN面 ,所

9、以 MN平面 1( 因?yàn)?平面 ,N 為 的中點(diǎn),以 到平面 的距離為 PA.如圖, 的中點(diǎn) ,接 .由 3 AEBC,AEAB2BE2 5.由 AMBC M 到 BC 距離為 5,故 S 24 所以四面體 NBCM 體積 4 2 .垂直問題1空間垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化2判定面垂直的常用方法( 利用線面垂直的判定定理;( 利用“兩平行線中的一條與平面垂直則另一條也與這個(gè)平面垂直” ( 利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)則與另一個(gè)平面也垂直”1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1 .1 11 1 1 11 11 1 11 1 1 1 1 11 1 ( 利用面面垂

10、直的性質(zhì)3判定線垂直的方法( 平面幾何中證明線線垂直的方法;( 線面垂直的性質(zhì),bab;( 線面垂直的性質(zhì),bab.4判斷面垂直的方法( 利用定義:兩個(gè)平面相交,所成的二面角是直二面角;( 判定定理:a,a .例 6 如圖直三棱 ABCA B 中,A B ,D 分別是 CC 上的點(diǎn)( 點(diǎn) D 不同于點(diǎn) ),且 ADDE,F 為 的中點(diǎn)求證:1( 平面 平面 B ; ( 直線 F平面 ADE.證明( 因?yàn)?A 是直三棱柱,所以 1平面 ABC又 平面 ABC所以 1AD又因?yàn)?ADDECC 平面 1 1面 BCC DE面 ,CC DE,以 又 平面 ADE,以平面 ADE平面 BCC ( 因?yàn)?

11、A B A ,F 為 B 的中點(diǎn),所以 A1 1 因?yàn)?所以 1平面 A B , A F平面 C , F.又因?yàn)?,B 平面 B 所以 1F平面 BCC B 由( 知 平面 ,以 F 2 2 PD 2 2 PD 3又 平面 ADE,A1F平面 ADE,所以 1F平面 ADE線線角、線面角和二面角問題1兩條異直線所成的角的范圍 條異面直線所成的 關(guān)鍵是 選取合適的 ,引兩條異面直線的平行 ,這兩條相交直線所成的銳角或直角即為 兩條異面直線所成的角特別地兩條異面直線垂直,可由線面垂直得到2直線平面所成的角的范圍是 面角的關(guān)鍵是找到直線與其在 平面內(nèi)的射影的夾角當(dāng)線面角為 時(shí)直線與平面平行或直線在平

12、面內(nèi) 線面 角為 時(shí),線與平面垂直3如果求個(gè)相交平面所成的二面角除垂直,有兩個(gè)答案, 或 180 .具體幾何體中,由題意和圖形確定二面角的平面角時(shí)首先要確定二面角的 棱,后結(jié)合題設(shè)構(gòu)造二面角的平面角一般常用: 定義法;( 垂面法4求角問題時(shí) ,論哪種情 ,終都?xì)w結(jié)到兩條相交直線所成的角的問 題求角度的解題步驟( 找出這個(gè)角;( 2)證該角符合題意( 3)構(gòu)造出含這個(gè)角的 三角形,這個(gè)三角形,出角例 7如圖,PD平面 ABCD四邊形 矩形,PDDC2,BC2 2.( 求 與平面 ADC 成角的大小;( 求異面直線 , 所成角正弦值解( 因?yàn)?平面 ABCD所以PBD 為 PB 平面 ADC 所成

13、的角因?yàn)樗倪呅?ABCD 是矩形,以 DC,所以 3,tan BD 3,以即 PB 平面 所成角的大小為 2 2 2 6 6 2 2 2 6 6 ( 取 的中點(diǎn) G連接 OG,DG如圖顯然 PC所以DOG 或其補(bǔ)角)即為異面直線 PCBD 成的角因 1 1 1 OD BD DG PA 3,以O(shè)GD 是等腰三角形,作底邊的高,求出 30 30 ,以異面直線 ,BD 所成角的正弦值為 例 8如圖,圓錐 中已知 底面, 2,O 的直徑 2,C 是的中點(diǎn), 為 的中點(diǎn)( 證明:平面 POD平 ; ( 求二面角 B 的余弦值.解( 證明:如圖,接 OCPO底面底面O,PO. OAD 是 AC 的中點(diǎn) ,OD又 ODPOO平面 .又 平面 PAC,平面 平面 PAC( 在平面 POD 中過點(diǎn) 作 OHPD 于點(diǎn) .1 2 1 1 2 1 由( 知,面 POD平面 PAC且交線為 OH平面 OH平面 PAC又 平面 PAC, OH.在平面 PAO 中,點(diǎn) O 作 OGPA