多面體外接球

1、6求多面體的外接球半徑一般需確定球心的位置；長(zhǎng)方體正方體的對(duì)角線是其外接球的直徑；將多面體“補(bǔ)成長(zhǎng)方體正方體是研究多面體外接球的常用的方法。舉例1三棱錐P-ABC中，PA丄平面ABC, AB丄BC,假設(shè)PA=AC=f2，則該三棱錐的外接 球的體積是.3解析：思路一：“找球心”到三棱錐 四個(gè)頂點(diǎn)距離相等等的點(diǎn)3注意到PC是Rt/PAC和Rt /PBC的公共的斜邊，記它的中點(diǎn)為0,1則0A=0B=0P=0C= - PC=1，即該三棱錐厶的外接球球心為0,半徑為1,故它的體積為:方法二：“補(bǔ)體”，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如下圖；它的對(duì)角線PC是其外接球的直徑。舉例2正四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)在同一球

2、面上，假設(shè)該正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)為-46，則 這個(gè)球的外表積為。解析：正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1 上,記為 0, P0=A0=R, P0=4, 00=R-4, 或 00 =4-R此時(shí) 0 在P0的延長(zhǎng)線上在Rt /A010中，R2=8+(R-4)2得R=3,球的外表積S=36兀 穩(wěn)固1如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6 cm2、4 cm2和3 cm2，那么它的外接球的體積是穩(wěn)固2 一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一 個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是：07高考陜西理6A瘓 (B)也(C)也 (D)也43412遷移點(diǎn)

3、P在直徑為2的球面上，過P兩兩垂直的3條弦，假設(shè)其中一條弦長(zhǎng)是另一條的2倍，則這3條弦長(zhǎng)之和的最大值是。8球的內(nèi)接正多面體和外切正多面體的中心均為球心。球的內(nèi)接長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是球的直徑，球的外切正方體的邊長(zhǎng)是球的直徑，與邊長(zhǎng)為a的正方體各條棱都相切的球的直徑 為Q a；邊長(zhǎng)為3的正四面體的內(nèi)切球的半徑為害a正四面體高的4，外接球的半徑6。4 TOC o 1-5 h z 舉例已知棱長(zhǎng)為a的正四面體ABCD有內(nèi)切球O,經(jīng)過該棱錐A-BCD三側(cè)棱中點(diǎn)的截面 為d，則O到平面d的距離為。解析：記棱錐A-BCD的高為AO1，O在AO1上且OOAO AO1與面d交于M,貝V111 41111V6MO1=

4、 AO1，故 MO= OO1= AO1 =1 211 41 121,.小 abc1.穩(wěn)固1P在面ABC上的射影為O,則OA=OB=OC=OP=R, S = absm C = aabc 24 R1abcV = S R =10，故選 B；穩(wěn)固 2；2、穩(wěn)固450 3、穩(wěn)固 11： 2；P - ABC 3 AABC12L2929穩(wěn)固2B； 4、穩(wěn)固2 ； 5、穩(wěn)固3： 16； 6、穩(wěn)固1兀，穩(wěn)固2C，6遷移設(shè)三條弦長(zhǎng)分別為x,2x,y則：x2+(2x)2+y2=4,用橢圓的參數(shù)方程求3x+y的最大值為 2帀5； 7、穩(wěn)固B； 8、穩(wěn)固C四面體外接球的球心、半徑求法在立體幾何中，幾何體外接球是一個(gè)?？?/p>

5、的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生來說這是一個(gè) 難點(diǎn)，一方面圖形不會(huì)畫，另一方面在畫出圖形的情況下無從下手，不知道球心 在什么位置，半徑是多少而無法解題。本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑大小的問題。一、出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長(zhǎng)方體?！驹怼浚洪L(zhǎng)方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c，則體對(duì)角線長(zhǎng)為Il =、；a 2 + b 2 + c 2，幾何體的外接球直徑2R為體對(duì)角線長(zhǎng)/即l =、；a 2 + b 2 + c 2【例題】：在四面體ABCD中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長(zhǎng)度分別為1, ,6,3,假設(shè)該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的外表積。解：因?yàn)椋洪L(zhǎng)方體外接球的直徑為

6、長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng) 所以：四面體外接球的直徑為AE的長(zhǎng)即：4R2 AB2 + AC2 + AD24 R 2 12 + 32 + 62 16 所以 R 2球的外表積為S 4兀R 2 16兀二、出現(xiàn)兩個(gè)垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論。原理】：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)?！纠}】：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球 O的球面上，AB丄BC且PA 7,PB 5，PC -，AC 10,求球O 的體積。解: AB 丄 BC 且 PA 7，PB 5，PC 51，AC 10,因?yàn)?72 +、；512 102所以知 AC 2 PA2 + PC 2所以PA丄PC 所以可得圖形為:在RtAABC

7、中斜邊為ac在RtPAC中斜邊為AC取斜邊的中點(diǎn)O,在 RtAABC 中 OA OB OC在 RZAC 中 op - OB - OC所以在幾何體中OP OB OC OA，即O為該四面體的外接球的球心R 1 AC 52所以該外接球的體積為V = 4兀R3 = 500殳33【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點(diǎn)以外的兩個(gè)點(diǎn)連線。三、出現(xiàn)多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識(shí)求解【例題】：已知在三棱錐A -【例題】：已知在三棱錐A -BCD中，AD丄面ABC , ABAC = 120。,Cy設(shè)球心坐標(biāo)為O( x, y, z)則AO = BO二CO = DO ,由空間兩點(diǎn)間距離公式知x 2 +

8、 y 2 + z 2 = (x 一 2)2 + y 2 + z 2x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + (z 一 2)2x2 + y2 + z2 (x 1)2 + (y 3)2 + z2解得 x 1 y z 13所以半徑為R = 12 +()2 +12 33【結(jié)論】空間兩點(diǎn)間距離公式：PQ-J(x1 - x2)2 + (y1-y2)2 + (z1-z2)2四、四面體是正四面體外接球與內(nèi)切球的圓心為正四面體高上的一個(gè)點(diǎn)，根據(jù)勾股定理知，假設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a時(shí)，它的外接球半徑為衛(wèi)a。45. （2012.唐山模擬）一個(gè)幾何體的三視圖如下圖，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何

9、體的外接球的外表積為（）8nAm16nB 3C. 4卩 解析D. 2：3n根據(jù)三視圖復(fù)原幾何體為一個(gè)如下圖的三棱錐D -ABC，其中平面ADC丄平面ABC , ADC為等邊三角形.取AC的中點(diǎn)為E,連B接DE、BE ,則有DE丄AC ,所以DE丄平面ABC ,所以DE丄EB.由圖中數(shù)據(jù)知 AE = EC = EB=1 , DE二導(dǎo),AD二訂AE2 + DE2 = 2 = DC = DB , AB = BC=；2 , ACO，則它落在高線DE上，連接OA，則 有AO2=AE2 + OE2 = 1 + OE2 , AO = BO = DE - OE二導(dǎo)-OE ,所以AO二三，故球O的半徑為三，故所求幾何體的外接球的學(xué)兀，故選B.外表積學(xué)兀，故選B.外表積S =2012 廣州模擬一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底9面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為8底面周長(zhǎng)為 3，則這個(gè)球的體積為答案：4答案：4n39解析：正六棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)h = i 3 =，6嗥球心在六棱柱的最長(zhǎng)體對(duì)角線上球的直徑、正棱柱的側(cè)棱、底