2022年新教材高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列1第2課時(shí)數(shù)列的遞推公式和前n項(xiàng)和公式課件人教A版選擇性必修第二冊(cè)

1、內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí) 新知導(dǎo)學(xué)合作探究 釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.理解遞推公式的含義.2.掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用.3.掌握遞推公式的應(yīng)用.4.體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的過程,加強(qiáng)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的素養(yǎng)提升.自主預(yù)習(xí) 新知導(dǎo)學(xué)一、遞推公式【問題思考】1.某會(huì)議室有若干排座位,每一排的座位數(shù)構(gòu)成的數(shù)列設(shè)為an.從第二排起,后一排都比前一排多2個(gè)座位.(如圖)(1)第n排與第n-1排座位數(shù)有什么關(guān)系?提示:an=an-1+2(nN,且n2). (2)若第一排有7個(gè)座位,則數(shù)列an是怎樣的一列數(shù)?提示:7,9,11,13,15,.2.填空:數(shù)列的遞推公式(1)定義:如果一個(gè)數(shù)列的相

2、鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.(2)兩個(gè)條件:已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前n項(xiàng));從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示.3.做一做:數(shù)列1,3,6,10,15,的遞推公式是() 答案:B 二、數(shù)列an的前n項(xiàng)和【問題思考】1.填空:(1)我們把數(shù)列an從第1項(xiàng)起到第 n 項(xiàng)止的各項(xiàng)之和,稱為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,記作Sn,即 Sn=a1+a2+an .2.做一做:設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2,則a8的值為()A.15B.16C.49D.64解析:a8=S8-S7=64-49=15.答案:A【

3、思考辨析】 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)里畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.(1)已知數(shù)列an中有an=2an+1+1,就可以求出數(shù)列的任一項(xiàng).( )(2)若已知數(shù)列an中,a1=1,an+2=an+1+an,則可以求出an.( )(3)已知數(shù)列an中,a1=-1,an=an-1+2(n2時(shí)),則a3=3.( )(4)an=Sn-Sn-1成立的條件是nN*.( )合作探究 釋疑解惑探究一遞推公式的應(yīng)用【例1】 已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1= ,寫出它的前5項(xiàng),并歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.反思感悟 1.在遞推公式中令n=1,2,3,4,5,結(jié)合a1的值即可以求出數(shù)列的前幾項(xiàng).2.解答本題,

4、歸納出通項(xiàng)公式是難點(diǎn),在寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)時(shí),一般不對(duì)其化簡(jiǎn),目的是利于觀察規(guī)律,進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式.【變式訓(xùn)練1】 已知數(shù)列an滿足a1=3,an+1=2an+1,寫出數(shù)列的前6項(xiàng)并歸納出an的通項(xiàng)公式.解:a1=3,an+1=2an+1,a2=23+1=7,a3=27+1=15,a4=215+1=31,a5=231+1=63,a6=263+1=127.由a1=3,a2=7,a3=15,a4=31,a5=63,a6=127,可以看出,給每一項(xiàng)均加上1,就變成了a1+1=22,a2+1=23,a3+1=24,a4+1=25,a5+1=26,a6+1=27,可猜想出:an+1=2n+1,an=2n+

5、1-1.探究二由Sn求an【例2】 已知下面各數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的公式,求an的通項(xiàng)公式.(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n-2.解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=212-31=-1;當(dāng)n2時(shí), Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5,則an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-(2n2-7n+5)=2n2-3n-2n2+7n-5=4n-5.當(dāng)n=1時(shí),a1=41-5=-1,依然成立.故an=4n-5.(2)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=31-2=1; 反思感悟 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式Sn,求通項(xiàng)公式an的步驟:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1.(2)當(dāng)n2時(shí),根據(jù)Sn寫

6、出Sn-1,化簡(jiǎn)an=Sn-Sn-1.(3)如果a1也滿足當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1的通項(xiàng)公式,那么數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=Sn-Sn-1如本例(1);如果a1不滿足當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1的通項(xiàng)公式,那么數(shù)列an的通項(xiàng)公式可分段表示為an= 如本例(2).【變式訓(xùn)練2】 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=- n,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=-3n+104,n=1也適合上式,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=-3n+104(nN*).【易錯(cuò)辨析】 忽視數(shù)列中n的取值范圍致錯(cuò)【典例】 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n-7,則數(shù)列nan的最小項(xiàng)為第項(xiàng).所以當(dāng)n=3.5時(shí)取最

7、小值.答案:3.5以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:1.忽視nN*這一條件致錯(cuò).2.忽視二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性只得到一個(gè)解致錯(cuò).因?yàn)閚N*,所以當(dāng)n=3或4時(shí),數(shù)列nan的項(xiàng)最小.答案:3或4防范措施 1.數(shù)列是特殊的函數(shù),只是自變量的取值范圍是正整數(shù),在解題時(shí)應(yīng)特別注意,如本例中,nN*,n=3或4時(shí)數(shù)列nan的項(xiàng)最小.2.若一個(gè)數(shù)列是遞增數(shù)列,則其首項(xiàng)是這個(gè)數(shù)列的最小值;若一個(gè)數(shù)列是遞減數(shù)列,則其首項(xiàng)是這個(gè)數(shù)列的最大值.此外,求數(shù)列的單調(diào)性有時(shí)需要結(jié)合函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).隨堂練習(xí)1.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2-n,則a5=()A.6B.8C.12D.20解析:數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2-n,則a5=S5-S4=52-5-(42-4)=8.答案:B答案:C3.在數(shù)列an中,若an+1-an-n=0,則a3 030-a3 029=.解析:由已知,得a3 030-a3 029-3 029=0,故a3 030-a3 029=3 029.答案:3 0294