2022年新教材高中數(shù)學第四章數(shù)列1第2課時數(shù)列的遞推公式和前n項和公式課件人教A版選擇性必修第二冊

1、內(nèi)容索引010203自主預習 新知導學合作探究 釋疑解惑隨堂練習課標定位素養(yǎng)闡釋1.理解遞推公式的含義.2.掌握數(shù)列的前n項和公式及其應用.3.掌握遞推公式的應用.4.體會數(shù)學抽象的過程,加強邏輯推理與數(shù)學運算能力的素養(yǎng)提升.自主預習 新知導學一、遞推公式【問題思考】1.某會議室有若干排座位,每一排的座位數(shù)構成的數(shù)列設為an.從第二排起,后一排都比前一排多2個座位.(如圖)(1)第n排與第n-1排座位數(shù)有什么關系?提示:an=an-1+2(nN,且n2). (2)若第一排有7個座位,則數(shù)列an是怎樣的一列數(shù)?提示:7,9,11,13,15,.2.填空:數(shù)列的遞推公式(1)定義:如果一個數(shù)列的相

2、鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.(2)兩個條件:已知數(shù)列的第1項(或前n項);從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an-1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示.3.做一做:數(shù)列1,3,6,10,15,的遞推公式是() 答案:B 二、數(shù)列an的前n項和【問題思考】1.填空:(1)我們把數(shù)列an從第1項起到第 n 項止的各項之和,稱為數(shù)列an的前n項和,記作Sn,即 Sn=a1+a2+an .2.做一做:設數(shù)列an的前n項和Sn=n2,則a8的值為()A.15B.16C.49D.64解析:a8=S8-S7=64-49=15.答案:A【

3、思考辨析】 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號里畫“”,錯誤的畫“”.(1)已知數(shù)列an中有an=2an+1+1,就可以求出數(shù)列的任一項.( )(2)若已知數(shù)列an中,a1=1,an+2=an+1+an,則可以求出an.( )(3)已知數(shù)列an中,a1=-1,an=an-1+2(n2時),則a3=3.( )(4)an=Sn-Sn-1成立的條件是nN*.( )合作探究 釋疑解惑探究一遞推公式的應用【例1】 已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1= ,寫出它的前5項,并歸納出數(shù)列的一個通項公式.反思感悟 1.在遞推公式中令n=1,2,3,4,5,結合a1的值即可以求出數(shù)列的前幾項.2.解答本題,

4、歸納出通項公式是難點,在寫出數(shù)列的前幾項時,一般不對其化簡,目的是利于觀察規(guī)律,進而寫出通項公式.【變式訓練1】 已知數(shù)列an滿足a1=3,an+1=2an+1,寫出數(shù)列的前6項并歸納出an的通項公式.解:a1=3,an+1=2an+1,a2=23+1=7,a3=27+1=15,a4=215+1=31,a5=231+1=63,a6=263+1=127.由a1=3,a2=7,a3=15,a4=31,a5=63,a6=127,可以看出,給每一項均加上1,就變成了a1+1=22,a2+1=23,a3+1=24,a4+1=25,a5+1=26,a6+1=27,可猜想出:an+1=2n+1,an=2n+

5、1-1.探究二由Sn求an【例2】 已知下面各數(shù)列an的前n項和Sn的公式,求an的通項公式.(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n-2.解:(1)當n=1時,a1=S1=212-31=-1;當n2時, Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5,則an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-(2n2-7n+5)=2n2-3n-2n2+7n-5=4n-5.當n=1時,a1=41-5=-1,依然成立.故an=4n-5.(2)當n=1時,a1=S1=31-2=1; 反思感悟 已知數(shù)列an的前n項和公式Sn,求通項公式an的步驟:(1)當n=1時,a1=S1.(2)當n2時,根據(jù)Sn寫

6、出Sn-1,化簡an=Sn-Sn-1.(3)如果a1也滿足當n2時,an=Sn-Sn-1的通項公式,那么數(shù)列an的通項公式為an=Sn-Sn-1如本例(1);如果a1不滿足當n2時,an=Sn-Sn-1的通項公式,那么數(shù)列an的通項公式可分段表示為an= 如本例(2).【變式訓練2】 已知數(shù)列an的前n項和Sn=- n,求數(shù)列an的通項公式.當n2時,an=Sn-Sn-1=-3n+104,n=1也適合上式,數(shù)列an的通項公式為an=-3n+104(nN*).【易錯辨析】 忽視數(shù)列中n的取值范圍致錯【典例】 已知數(shù)列an的通項公式為an=n-7,則數(shù)列nan的最小項為第項.所以當n=3.5時取最

7、小值.答案:3.5以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:1.忽視nN*這一條件致錯.2.忽視二次函數(shù)圖象的對稱性只得到一個解致錯.因為nN*,所以當n=3或4時,數(shù)列nan的項最小.答案:3或4防范措施 1.數(shù)列是特殊的函數(shù),只是自變量的取值范圍是正整數(shù),在解題時應特別注意,如本例中,nN*,n=3或4時數(shù)列nan的項最小.2.若一個數(shù)列是遞增數(shù)列,則其首項是這個數(shù)列的最小值;若一個數(shù)列是遞減數(shù)列,則其首項是這個數(shù)列的最大值.此外,求數(shù)列的單調性有時需要結合函數(shù)的有關性質.隨堂練習1.已知數(shù)列an的前n項和Sn=n2-n,則a5=()A.6B.8C.12D.20解析:數(shù)列an的前n項和Sn=n2-n,則a5=S5-S4=52-5-(42-4)=8.答案:B答案:C3.在數(shù)列an中,若an+1-an-n=0,則a3 030-a3 029=.解析:由已知,得a3 030-a3 029-3 029=0,故a3 030-a3 029=3 029.答案:3 0294