四川省宜賓市第四中學(xué)2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬考試試題理含解析

1、PAGE 四川省宜賓市第四中學(xué)2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬考試試題 理（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，則（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】先解得不等式，即，再根據(jù)并集的定義求解即可.【詳解】由題，所以，則,故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.2. 復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的虛部是（ ）A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】分析】對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，可得虛部.【詳解】對原式進(jìn)行化簡：所以復(fù)數(shù)的虛部為-1故選D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念，對復(fù)

2、數(shù)進(jìn)行運(yùn)算化簡是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3. 某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學(xué)生的學(xué)號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本已知3號、29號、42號同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個(gè)同學(xué)的學(xué)號是()A. 10B. 11C. 12D. 16【答案】D【解析】【分析】由題計(jì)算出抽樣的間距為13，由此得解【詳解】由題可得，系統(tǒng)抽樣的間距為13，則在樣本中故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了系統(tǒng)抽樣知識，屬于基礎(chǔ)題4. 設(shè)是向量，“”是“”（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的判定，即可得出答案.【詳解

3、】當(dāng)時(shí)，推不出當(dāng)時(shí)，則即“”是“”必要不充分條件故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷必要不充分條件，屬于中檔題.5. 函數(shù)是( )A. 奇函數(shù)且在上是減函數(shù)B. 奇函數(shù)且在上是增函數(shù)C. 偶函數(shù)且在上是減函數(shù)D. 偶函數(shù)且在上是增函數(shù)【答案】B【解析】試題分析：因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù).又函數(shù)與函數(shù)都是上的增函數(shù)，所以由簡單復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，也是上的增函數(shù).考點(diǎn)：1.偶函數(shù)；2.簡單復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性6. 以下三個(gè)命題：“”是“”的充分不必要條件；若為假命題，則，均為假命題；對于命題：，使得；則是：，均有.其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 0個(gè)【答案】B【解析】【分析】求

4、出不等式的解集然后再判斷兩集合的關(guān)系，從而得出結(jié)論.用聯(lián)結(jié)的兩個(gè)命題，只要有一個(gè)為假則這個(gè)復(fù)合命題即為假.根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題判斷.【詳解】不等式，解得或，所以，“”是“”的充分不必要條件.正確；若為假命題，則，至少有一個(gè)為假，故錯(cuò)誤；命題：使得的否定為，均有.正確，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞及含有一個(gè)量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題7. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果是7，則判斷框內(nèi)的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】執(zhí)行程序框圖，從而執(zhí)行結(jié)果找到結(jié)束循環(huán)的條件【詳解】程序框圖執(zhí)行如下： S0261220304256k123

5、45678，則輸出的結(jié)果是7，的取值范圍；故選A【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生讀程序框圖的能力，屬于基礎(chǔ)題8. 某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是，則正視圖中的的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【詳解】根據(jù)題中所給的幾何體的三視圖，可知該幾何體為底面是直角梯形的，且一條側(cè)棱與底面垂直，結(jié)合三視圖中數(shù)據(jù)，可得，即，故選C9. 六位同學(xué)站成一排照畢業(yè)相，甲同學(xué)和乙同學(xué)要求相鄰，并且都不和丙丁相鄰，則一共有多種排法（ ）A. 72B. 144C. 180D. 288【答案】A【解析】先把甲乙捆綁在一起看做一個(gè)復(fù)合元素，若這個(gè)復(fù)合元素在兩端,從不包含丙丁的2人選1人,和復(fù)合元素相

6、鄰,剩余的全排即可,故有種，若這個(gè)復(fù)合元素在不在兩端，從不包含丙丁的2人選2人，分別放在這個(gè)復(fù)合元素兩邊，這4人捆綁在一起組成一個(gè)新的復(fù)合元素，再和丙丁全排即可，故有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，共有48+24=72種，本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配在分組時(shí)，通常有三種類型：不均勻分組；均勻分組；部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法10. 已知直線

7、與圓相交所得弦長為4，則（ ）A. -9B. 1C. 1或-2D. 1或-9【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，利用點(diǎn)到直線的距離公式和勾股定理列方程即可解得結(jié)果.【詳解】由條件得圓的半徑為3，圓心坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€與圓相交所得弦長為4，所以，所以，解得或故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.11. 直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若,則此球的表面積等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】設(shè)三角形BAC外接圓半徑為r，則 球的半徑等于 表面積等于 選B.12. 若對，且，都有，則m的最小值是 注：為自然對數(shù)的底數(shù)，即A

8、. B. eC. 1D. 【答案】C【解析】【分析】由題意，把問題等價(jià)于，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解m的范圍【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，由，等價(jià)于，即，故，故，令，則，又，故在遞減，又由，當(dāng)，解得：，故在遞減，故，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，以及函數(shù)恒成立及轉(zhuǎn)化思想，其中解答中把問題等價(jià)于，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 展開式中，常數(shù)項(xiàng)的值為_.【答案】【解析】【分析】先寫出通項(xiàng)，在通項(xiàng)公式中令x的指數(shù)為0，求出k，從而寫出常數(shù)項(xiàng)【詳解】解：令183k0，k6，

9、故的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T下標(biāo)7C9684故答案為84【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理中通項(xiàng)公式的應(yīng)用：求常數(shù)項(xiàng)，屬基本題型、基本方法的考查14. 函數(shù)在處有極值，則的值是_【答案】2【解析】，函數(shù)在處有極值，即：，解得故答案為2.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的極值和單調(diào)性中的應(yīng)用，極值點(diǎn)即導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，但是必須是變號零點(diǎn)，即在零點(diǎn)兩側(cè)正負(fù)相反；極值即將極值點(diǎn)代入原函數(shù)取得的函數(shù)值，注意分清楚這些概念，如果求完導(dǎo)如果出現(xiàn)二次，則極值點(diǎn)就是導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)根，可以結(jié)合韋達(dá)定理應(yīng)用解答15. 若對于任意的關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為_【答案】【解析】【分析】令，根據(jù)對于任意的關(guān)于的不等式恒成立，結(jié)合

10、二次函數(shù)的性質(zhì)，則有，畫出其可行域，令，表示原點(diǎn)與點(diǎn) 之間距離的平方，再求其最小值即可.【詳解】令，因?yàn)閷τ谌我獾年P(guān)于的不等式恒成立，所以，即，其可行域如圖陰影部分，令，則表示原點(diǎn)與點(diǎn) 之間距離的平方，如圖，當(dāng) 垂直于所在的直線時(shí)，距離最小，最小值為：， 所以的最小值為： ，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次不等式與平面區(qū)域及其應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.16. 如圖所示,在正方體中,分別為棱,的中點(diǎn),有以下四個(gè)結(jié)論:直線與是相交直線；直線與是平行直線；直線與是異面直線； 直線與所成的角為.其中正確的結(jié)論為_ (注:把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號填在橫線上).【答案】

11、.【解析】【分析】根據(jù)異面直線判定定理可知錯(cuò)誤，正確；根據(jù)線線平行的性質(zhì)可知錯(cuò)誤；通過平移求解出異面直線所成角，可得正確.【詳解】平面，平面，平面，可知與為異面直線，故錯(cuò)誤；，可知與不平行，故錯(cuò)誤；平面，平面，平面，可知與異面，可知正確；,分別為棱,的中點(diǎn)，可知，則直線與所成角即為，又為等比三角形，可得，可知正確.本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系、異面直線所成角的求解問題，屬于基礎(chǔ)題.三.解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17. 對某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和對

12、數(shù)學(xué)的興趣進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：對數(shù)學(xué)感興趣對數(shù)學(xué)不感興趣合計(jì)數(shù)學(xué)成績好17825數(shù)學(xué)成績一般52025合計(jì)222850（1）試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與數(shù)學(xué)成績是否有關(guān)系，并說明理由（2）從數(shù)學(xué)成績好的同學(xué)中抽取4人繼續(xù)調(diào)查，設(shè)對數(shù)學(xué)感興趣的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）有99.9%把握認(rèn)為有關(guān)系，理由詳見解析；（2）分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為2.72【解析】【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；由題意知隨機(jī)變量X的可能取值，計(jì)算對應(yīng)的概率值，寫出分布列和數(shù)學(xué)期望值【

13、詳解】（1）因?yàn)椋杂?9.9%的把握認(rèn)為有關(guān)系（2）由題意知，的取值為0，1，2，3，4因?yàn)?，所以，分布列?1234所以，【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與離散型隨機(jī)變量的分布列應(yīng)用問題，是中檔題18. 已知函數(shù),在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求函數(shù)的解析式;(2)若方程有三個(gè)根,求的取值范圍【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由已知切線方程，可得，的方程組，即可得到所求解析式；（2）求得的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值，由題意可得介于兩極值之間【詳解】解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，根據(jù)在點(diǎn)處的切線方程為，得，即，解得，則；（2）令，解得或1，令，得或；令，得；的單調(diào)

14、增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，有兩個(gè)極值為，圖象如圖所示：方程有三個(gè)根，即為和有三個(gè)交點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性、極值，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題19. 如圖，在正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正方體特點(diǎn)可證得，由線面平行判定定理證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法求得夾角的余弦值，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得所求的正弦值.【詳解】（1）在正方體中，四邊形為平行四邊形 平面，平面平面.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸、

15、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，.設(shè)平面的法向量為，由，則，取，則設(shè)平面的法向量為，由，則，取，則可得，故平面與平面所成二面角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問題；關(guān)鍵是能夠熟練掌握空間向量法求解立體幾何中角度問題的方法，屬于?？碱}型.20. 已知拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比到軸距離大1.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)為拋物線上兩點(diǎn)，且不與軸垂直，若線段的垂直平分線恰過點(diǎn)，求的面積的最大值.【答案】（1）；（2）8.【解析】【分析】（1）本題利用定義，確定出拋物線的準(zhǔn)線方程，從而求解出拋物線的方程；（2）利用設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程

16、組，借助于韋達(dá)定理，表示出三角形的面積,然后借助于參數(shù)的范圍，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值.【詳解】（1）由已知易得拋物線為，曲線的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線，消去元得，即得，點(diǎn)到直線的距離，則，面，令，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，面積最大值為8.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，拋物線的方程，以及直線與拋物線的位罝關(guān)系及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.21.

17、設(shè),函數(shù).(1) 若，求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間(3) 若有兩個(gè)零點(diǎn),求證: .【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】【詳解】分析：（1）求出，由的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令，可得函數(shù)的增區(qū)間，可得函數(shù)的減區(qū)間；（3）原不等式等價(jià)于 令,則,于是，利用導(dǎo)數(shù)可證明，從而可得結(jié)果.詳解：在區(qū)間上,. （1）當(dāng)時(shí)，則切線方程為，即（2）若,則,是區(qū)間上的增函數(shù), 若,令得: .在區(qū)間上, ,函數(shù)是增函數(shù); 在區(qū)間上, ,函數(shù)是減函數(shù); (3)設(shè) ,原不等式 令,則,于是.

18、（9分）設(shè)函數(shù) ,求導(dǎo)得: 故函數(shù)是上的增函數(shù), 即不等式成立,故所證不等式成立.點(diǎn)睛：本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對導(dǎo)數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題.22. 在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系中，與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)o為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸，圓C的方程為.（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)，設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由得，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程.（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式即可得出.【詳解】（1）由得，化為直角坐標(biāo)方程為，即.（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得，由，設(shè)是上述方程兩根，又直線過點(diǎn)，結(jié)