理論力學(xué)課件-16達(dá)朗伯

1、 第十三章 10/7/202210/7/20221 第十三章 10/3/202210/3/20221達(dá)朗伯原理由法國(guó)科學(xué)家達(dá)朗伯(J. le Rond DAlembert 1717-1783)在其著作動(dòng)力學(xué)專論中提出。達(dá)朗伯原理將非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)方程用靜力學(xué)平衡方程的形式表述。或者說，將事實(shí)上的動(dòng)力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為形式上的靜力學(xué)平衡問題，既所謂“動(dòng)靜法”。達(dá)朗伯原理由法國(guó)科學(xué)家達(dá)朗伯達(dá)朗伯原理將非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)Mlva n擺錘 M 受力如圖PT圖示錐擺，頂角為2，擺長(zhǎng)為l，擺錘質(zhì)量m，在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度為v。令：形式上相當(dāng)于靜平衡方程：13-1 慣性力的概念Mlva n擺錘 M

2、 受力如圖PT圖示錐擺，頂角為2，擺FgMlvPT稱為慣性力質(zhì)點(diǎn)的慣性力：大小等于質(zhì)量與加速度的積， 方向與其加速度反向。FgMlvPT稱為慣性力質(zhì)點(diǎn)的慣性力：大小等于質(zhì)量與加速度慣性力不是真實(shí)的力！慣性力又稱為牛頓慣性力！ 說明稱為慣性力質(zhì)點(diǎn)的慣性力：大小等于質(zhì)量與加速度的積， 方向與其加速度反向。慣性力不是真實(shí)的力！慣性力又稱為牛頓慣性力！ 說明A設(shè)質(zhì)點(diǎn)A的質(zhì)量為m，受力有主動(dòng)力F、約束反力FN結(jié)論在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，如果在其上假想地加上慣性力Fg，則此力與主動(dòng)力、約束反力在形式上組成一平衡力系。這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理。形式上的平衡方程Fga加速度為a，F(xiàn)NFAFNF令：13-2 達(dá)朗伯

3、原理一、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理A設(shè)質(zhì)點(diǎn)A的質(zhì)量為m，受力有主動(dòng)力F、結(jié)論在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任意瞬（i =1，2，n）質(zhì)點(diǎn)系：有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)；對(duì)于 第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)，設(shè)：質(zhì)量為mi，主動(dòng)力Fi ，約束反力FNi ，加速度為ai ，其達(dá)朗伯原理對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來說，質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理二、質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理（i =1，2，n）質(zhì)點(diǎn)系：有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)；對(duì)于 第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)如第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受力內(nèi)力Fi (i)外力Fi (e)由于質(zhì)點(diǎn)系所以對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來說， 質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗伯原理的另一種形式如第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受力內(nèi)力Fi (i)外力Fi (e)由于質(zhì)點(diǎn)系所可解決質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題；應(yīng)用達(dá)朗伯原理的關(guān)鍵是：解決質(zhì)點(diǎn)系的慣性力系的簡(jiǎn)化問題。應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)

4、系達(dá)朗伯原理說明可解決質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題；應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗伯原理說明例16-1 圖示飛輪質(zhì)量為m，平均半徑r，以勻角速度繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)輪緣較薄，質(zhì)量均勻分布，輪輻的質(zhì)量可以忽略。若不考慮重力的影響，求輪緣各橫截面的張力。例16-1 圖示飛輪質(zhì)量為m，平均半徑r，以勻角速度繞其BAFgixyo解：用假想截面A、B 截取一半為研究對(duì)象。質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗伯原理：TBds = r d 段上的慣性力為：FgiY = 0dTABAFgixyo解：用假想截面A、B 截取一半為研究對(duì)象。質(zhì)13-3 剛體慣性力系的簡(jiǎn)化一、剛體作平動(dòng)miCFg慣性力組成一同向平行力系。m1簡(jiǎn)化結(jié)果：過質(zhì)心的合力平動(dòng)剛體：慣性

5、力系為過質(zhì)心的合力，大小等于剛體的質(zhì)量與加速度的乘積，方向與加速度方向相反。aiaCFgiFg1各質(zhì)點(diǎn)上的慣性力13-3 剛體慣性力系的簡(jiǎn)化一、剛體作平動(dòng)miCFg例16-2 已知邊長(zhǎng)b=100mm的正方形均質(zhì)板的質(zhì)量為40kg，在鉛直面內(nèi)用三根軟繩拉住， 求(1)當(dāng)軟繩FG被剪斷的瞬時(shí)，板的加速度 及AD、 DE兩繩的張力； (2)當(dāng)AD、DE兩繩鉛直時(shí)，板的加速度和兩繩的張力。FGADEB6060CFG例16-2 已知邊長(zhǎng)b=100mm的正方形均質(zhì)板的質(zhì)量為40ADEB6060mgC解：(1)繩FG被剪斷后，板在其自身平面內(nèi)作曲線平動(dòng)，各點(diǎn)的速度、加速度均相同。b剪斷繩FG瞬時(shí)，vA= 0

6、， aA = aA = aC板的慣性力，則根據(jù)達(dá)朗伯原理，有X = 0，Y = 0，MC ( F ) = 0，解得FA = 72 N,FB = 268 Na = 4.9 m/s2,FAFBFgFg = maCmgcos60Fg = 0FA+FBmgsin60 = 0bxyADEB6060mgC解：(1)繩FG被剪斷后，板在其自ABC需補(bǔ)充方程。mgFA(2)當(dāng)AD、BE鉛直時(shí),板受力如圖。FB設(shè)板質(zhì)心的加速度如圖。虛加板的慣性力系，且FgaCaCn則根據(jù)達(dá)朗伯原理，有Fgn=maCn ，F(xiàn)g =maCX = 0，Y = 0，MC ( F ) = 0，F(xiàn)g = 0FA+ FB mgFgn = 0

7、根據(jù)動(dòng)能定理，有FA =FB=248.5 NFgnABC需補(bǔ)充方程。mgFA(2)當(dāng)AD、BE鉛直時(shí),板受力如SzriCC為剛體的質(zhì)心。OCi二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體具有與轉(zhuǎn)軸垂直的質(zhì)量對(duì)稱面剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，每根單元體均作圓周運(yùn)動(dòng)Fgi = mi riFgin = mi2 ri式中質(zhì)量對(duì)稱面S與轉(zhuǎn)軸z垂直并交于O點(diǎn)SzriCC為剛體的質(zhì)心。OCi二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體zriCOCi慣性力系的主矩慣性力系的主矢為aCaCnFgFgn轉(zhuǎn)向與相反現(xiàn)將上述平面慣性力系向已知點(diǎn)O簡(jiǎn)化Fgi = mi riFgin = mi2 rizriCOCi慣性力系的主矩慣性力系的主矢為aCaCn二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體具有

8、與轉(zhuǎn)軸垂直的質(zhì)量對(duì)稱面慣性力系的主矩慣性力系的主矢為轉(zhuǎn)向與相反二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體具有與轉(zhuǎn)軸垂直的質(zhì)量對(duì)稱面慣性力系的AO解： OA桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),角速度為零，角加速度為該桿的慣性力系向O軸簡(jiǎn)化的結(jié)果為MgO例16-3均質(zhì)桿OA質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。圖示瞬時(shí)，角速度為零，角加速度為，求該瞬時(shí)桿的慣性力系向O軸簡(jiǎn)化的結(jié)果，并畫出慣性主矢和慣性主矩的方向。AO解： OA桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),角速度為零，角加速度為該桿的慣 討論若該均質(zhì)桿由水平位置自由轉(zhuǎn)動(dòng)至 角處，則此瞬時(shí)桿的慣性力系向O軸簡(jiǎn)化的結(jié)果又將如何? 并畫出慣性主矢和慣性主矩的方向。由動(dòng)能定理可得求導(dǎo)得該桿的慣性力系向O軸簡(jiǎn)化的結(jié)果為M

9、gO 討論若該均質(zhì)桿由水平位置自由轉(zhuǎn)動(dòng)至 角處，則此瞬時(shí)例16-4 簡(jiǎn)支梁AB重W，輪盤重Q ，輪盤半徑為r，對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，重物重 P 。在輪盤的軸承上裝有電機(jī)，通電時(shí)的驅(qū)動(dòng)力矩為M。求重物提升的加速度a及支座A、B的反力。ABOMP例16-4 簡(jiǎn)支梁AB重W，輪盤重Q ，輪盤半徑為r，對(duì)OPMQABOM加慣性力Fg ，慣性力矩Mg解：研究輪盤及重物系統(tǒng)， 進(jìn)行受力分析。已知梁W, 輪盤Q, r, J, 重物 P 。驅(qū)動(dòng)力矩M。求重物a及A、B的反力。根據(jù)質(zhì)系達(dá)朗伯原理,有 QWPXOYOFgMgaOPMQABOM加慣性力Fg ，慣性力矩Mg解：研究輪盤及重ABOOPMQXOYOFgM

10、gXOYOABOOPMQXOYOFgMgXOYOABOM對(duì)整體，受力分析（慣性力）WPFgMgFBFA yFAxABOM對(duì)整體，受力分析（慣性力）WPFgMgFBFA yF理論力學(xué)課件-16達(dá)朗伯理論力學(xué)課件-16達(dá)朗伯OAB例16-5 圖示均質(zhì)桿AB的長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為m，可繞O軸在鉛直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，OA=l/3，用細(xì)線靜止懸掛在圖示水平位置。若將細(xì)線剪斷，AB桿運(yùn)動(dòng)到與水平線成角時(shí)轉(zhuǎn)軸O處的反力。OAB例16-5 圖示均質(zhì)桿AB的長(zhǎng)度為l，質(zhì)量為m，可繞解：質(zhì)心的加速度為已知AB桿長(zhǎng)l，質(zhì)量m，OA=l/3，求剪斷繩后運(yùn)動(dòng)至角時(shí)轉(zhuǎn)軸O處的反力OABC解：質(zhì)心的加速度為已知AB桿長(zhǎng)l，質(zhì)量m，OA

11、=l/3，求剪COXOYOOmgFgFgnMgO對(duì)整體，受力分析（慣性力）COXOYOOmgFgFgnMgO對(duì)整體，受力分析（慣性達(dá)朗伯原理表達(dá)式:X = 0，Y = 0，MO( F ) = 0，分離變量、積分得最后解得XO+Fg sin +Fgn cos =0YOmg +Fg cos Fgnsin =0式代入式得COXOYOOmgFgFgnMgO達(dá)朗伯原理表達(dá)式:X = 0，Y = 0，MO( F 本例為求解角速度，對(duì)角加速度進(jìn)行了積分運(yùn)算也可用動(dòng)能定理解出角速度，再用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程解得，然后用達(dá)朗伯原理求解XO 、YO ，也很方便。實(shí)際上，先用動(dòng)力學(xué)普遍定理求出各運(yùn)動(dòng)量，然后用達(dá)朗伯

12、原理去求約束反力，是比較通行的做法。 討論COXOYOOmgFgFgnMgO本例為求解角速度，對(duì)角加速度進(jìn)行了積分運(yùn)算也可用動(dòng)能定理C簡(jiǎn)化到對(duì)稱面的慣性力系分為兩部分：Fg = maC MgC= JC MgCFgaC三、剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)慣性力系的簡(jiǎn)化剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)其質(zhì)心所在平面與運(yùn)動(dòng)面重合。將慣性力系向質(zhì)心簡(jiǎn)化，導(dǎo)出慣性力系的主矢和主矩。隨質(zhì)心的平移和相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。C簡(jiǎn)化到對(duì)稱面的慣性力系分為兩部分：Fg = maC M剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)慣性力系的簡(jiǎn)化的結(jié)論CMgCFgaCFg = maC MgC= JC 慣性力：過質(zhì)心，大小等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，其方向與質(zhì)心的加速度方向相反；慣性力偶：

13、矩值等于對(duì)通過質(zhì)心且垂直于對(duì)稱面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，其轉(zhuǎn)向與角加速度方向相反。剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)慣性力系的簡(jiǎn)化的結(jié)論CMgCFgaCFg例16-6 均質(zhì)圓輪半徑為r，質(zhì)量為m，在重力作用下沿傾角為的斜面向下作純滾動(dòng)，求圓輪輪心的加速度及斜面的摩擦力例16-6 均質(zhì)圓輪半徑為r，質(zhì)量為m，在重力作用下沿傾角加慣性力： 已知輪 m, r, 純滾, ,求輪心加速度、斜面的摩擦力。解：mg分析運(yùn)動(dòng)：慣性力偶： FNFSFgMgCP受力分析（慣性力）加慣性力： 已知輪 m, r, 純滾, ,求輪心加速度達(dá)朗伯原理方程 解得 mgFNFSFgMgCA達(dá)朗伯原理方程 解得 mgFNFSFgMgCA

14、C M eOr分析偏心輪作平面運(yùn)動(dòng)，本題可用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程來求解；現(xiàn)考慮用達(dá)朗伯原理來求解，關(guān)鍵是如何加慣性力系？例16-7 圖示偏心輪質(zhì)量為m = 30Kg，半徑r = 0.25 m ，偏心距 e = 0.1 m ，對(duì)質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑=0.2m 。在常力偶矩M =30Nm的作用下，沿水平地面作純滾動(dòng)。在圖示瞬時(shí)，輪的角速度為=4rad/s，試求該瞬時(shí)輪心O的加速度、地面對(duì)輪的約束反力C M eOr分析偏心輪作平面運(yùn)動(dòng)，本題可用剛體平面運(yùn)動(dòng) OC已知m=30Kg，r=0.25m，e=0.1m，對(duì)質(zhì)心C：=0.2m。M=30Nm，=4rad/s，求aO及地面對(duì)輪的約束反力。解：設(shè)圖示瞬時(shí)，其

15、角加速度為以O(shè)為基點(diǎn)，質(zhì)心的加速度為aOaOaCyaCx OC已知m=30Kg，r=0.25m，e=0.1m，對(duì)質(zhì)M COMgCmgNFF g xF g y受力分析（慣性力）M COMgCmgNFF g xF g y受力分析（慣性力）FFg x = 0MgCM+ Fg x r+ Fg y e mge=0F = m(re2) =110.7 NaO = r = 5.29 m/s2N = m(ge ) = 230.5 NNmg +Fg y= 0達(dá)朗伯原理方程 M COMgCmgNFF g xF g yAFFg x = 0MgCM+ Fg x r+ Fg y 例16-9 均質(zhì)鼓輪鉸接在懸臂梁AB的B端

16、，在常力矩M的作用下牽引均質(zhì)輪C在AB上純滾動(dòng)。已知鼓輪、圓輪的質(zhì)量、半徑均為m、r，懸臂梁的長(zhǎng)度為l，單位長(zhǎng)度自重為q。求圓輪中心C運(yùn)動(dòng)到梁的中間位置時(shí)，固定端A的約束反力rrABmmqCM 例16-9 均質(zhì)鼓輪鉸接在懸臂梁AB的B端，在常力矩M的解：加速度分析 rrABmmCa C已知 兩輪m ，r ；梁 q，l；力矩M，求圖示位置A端的約束反力受力分析（慣性力）ABCM M g C MA mgqM g B F A yF A xmgF g C解：加速度分析 rrABmmCa C已知 兩輪m ，r ；梁ABCM M g C MA mgqM g B F A yF A xmgF g C平面力系，

17、四個(gè)未知量，需補(bǔ)充方程。根據(jù)動(dòng)能定理：ABCM M g C MA mgqM g B F A yF ABCM M g C MA mgqM g B F A yF A xmgF g C取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，有FAy2mg ql =0FAx FgC = 0ABCM M g C MA mgqM g B F A yF 討論 在求出角加速度后，也可取AB梁為研究對(duì)象，計(jì)算約束反力，但需求出鼓輪的約束力及圓輪的法向反力N和摩擦力F，不如上述解法簡(jiǎn)便； 本題還可完全用達(dá)朗伯原理求解，分別以輪B和輪C為對(duì)象求出角加速度后，再求固定端A的約束力和約束反力偶，比較麻煩。 求解本題的其它方法ABCM M g C MA

18、mgqM g B F A yF A xmgF g C 討論 在求出角加速度后，也可取AB梁為研究對(duì)象，計(jì)算13-4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)反力轉(zhuǎn)子：工程實(shí)際中，通常將轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械的轉(zhuǎn)動(dòng)部分稱為轉(zhuǎn)子靜壓力：轉(zhuǎn)子靜止時(shí)作用于軸承上的力轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，這種偏心、偏角誤差將產(chǎn)生相應(yīng)的慣性力，引起零件損壞或劇烈的振動(dòng)動(dòng)壓力：轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)作用于軸承上的力附加動(dòng)壓力 =動(dòng)壓力 - 靜壓力偏心距：轉(zhuǎn)子的質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離偏角：轉(zhuǎn)子的質(zhì)量對(duì)稱面的法線與轉(zhuǎn)軸的夾角13-4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)反力轉(zhuǎn)子：工程實(shí)際中，通常CABmmll解：研究小球系統(tǒng)，受力如圖。FAXBYBmgmgFg2Fg1Fg1 = Fg2 = m2l由達(dá)朗

19、伯原理FA +XB Fg1 + Fg2 = 0YB mg mg = 0XB AB = 0FA = 0YB = 2mgXB =0可見，在這種情況下，軸承動(dòng)反力與靜反力相同！已知兩小球質(zhì)量均為 m ，以長(zhǎng)為 2l 的細(xì)桿相連，繞 z 軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為。若兩球的中心連線垂直于 z 軸，且質(zhì)心 C在 z 軸上，求軸承 A、B 反力。hhCABmmll解：研究小球系統(tǒng)，受力如圖。FAXBYBmgCABm2mll已知兩小球質(zhì)量為 m和 2m ，以長(zhǎng)為 2l 的細(xì)桿相連，繞 z 軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為。若兩球的中心連線垂直于 z 軸，求軸承 A、B 反力。hhCABm2mll已知兩小球質(zhì)量為 m和 2m

20、，以長(zhǎng)為 2llCABmmehhllCABmmehhXB= mge/h -m2eFg1 = m2(le)Fg2 = m2(l + e)YB= 2mg再看偏心與偏角的情形偏心而不偏角llCABmmehhFAXBYBmgmgFg2Fg1FA +XB Fg1 + Fg2 = 0YB mg mg = 0(Fg2- Fg1)h+2hXB-mg(l+e)+ mg(l-e)= 0FA +XB m2(le) + m2(l + e) = 0FA = -mge/h -m2eXB= mge/h -m2eFg1 = m2(le)FFg1 = Fg2 = m2lsinFA = XB = m2l2 (sin cos )/hYB = 2mg偏角而不偏心CABmmFg2Fg1FAXBmgmgYBXB -FA -Fg1 + Fg2 = 0YB mg mg = 0Fg22lcos -2hXB= 0XB= m2l2 (sin cos)/hFg1 = Fg2 = m2lsinFA = XB = 通過質(zhì)心的慣性主軸，稱為中心慣性主軸避免出現(xiàn)軸承附加動(dòng)反力的條件:剛體的