衡水中學(xué)高三摸底考數(shù)學(xué)（理）

1、 數(shù)學(xué)（理）試題第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 若集合，且，則集合可能是（ ） A B C D2. 復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3. 已知平面向量滿足，且，則向量與夾角的余弦值為（ ）A B C D4. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸人的值為，則輸出的值為（ ）A B C D5. 已知數(shù)列中，為其前項和，的值為（ ）A B C D6. 某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（ ）A B C D7. 為了得到，只需將作如

2、下變換（ ）A 向右平移個單位 B向右平移個單位 C向左平移個單位 D向右平移個單位8. 若為不等式組，表示的平面區(qū)域，則當(dāng)從連續(xù)變化到時，動直線掃過中的那部分區(qū)域的面積為（ ）A B C D9. 焦點在軸上的橢圓方程為 ，短軸的一個端點和兩個焦點相連構(gòu)成一個三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則橢圓的離心率為（ ）A B C D10. 在四面體中，二面角的余弦值是，則該四面體外接球的表面積是（ ）A B C D11. 已知函數(shù)，則關(guān)于的方程實根個數(shù)不可能為（ ）A 個 B個 C 個 D 個12. 函數(shù)部分圖象如圖所示，且，對不同的，若，有，則（ ）A在上是減函數(shù) B在上是增函數(shù) C在上是減函數(shù)

3、D在上增減函數(shù)第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13. 的展開式中項的系數(shù)為 14. 已知拋物線上一點到其焦點的距離為，雙曲線的左頂點為，若雙曲線一條漸近線與直線垂直，則實數(shù) 15. 如圖，為測量出山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點，從點測得點的仰角點的仰角以及，從點測得，已知山高，則山高 16. 設(shè)函數(shù)，對任意，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. （本小題滿分12分）中國人口已經(jīng)出現(xiàn)老齡化與少子化并存的結(jié)構(gòu)特征，測算顯示中國是世界上人口老齡化速度最快的國家之一，再

4、不實施“放開二胎”新政策，整個社會將會出現(xiàn)一系列的問題，若某地區(qū)2015年人口總數(shù)為萬，實施“放開二胎”新政策后專家估計人口總數(shù)將發(fā)生如下變化：從2016年開始到2025年每年人口比上年增加萬人，從2026年開始到2035年每年人口為上一年的.（1）求實施新政策后第年的人口總數(shù)的表達(dá)式（注：2016年為第一年）;（2）若新政策實施后的2016年到2035年人口平均值超過萬，則需調(diào)整政策，否則繼續(xù)實施, 問到2035年后是否需要調(diào)整政策？（說明:）.18. （本小題滿分12分）如圖, 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面, 平面平面,且,且. （1）設(shè)點為棱中點, 在面內(nèi)是否存在點,使得平面？

5、若存在, 請證明, 若不存在, 說明理由;（2）求二面角的余弦值.19. （本小題滿分12分）某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成個等級，等級系數(shù)依次，其中為標(biāo)準(zhǔn)，為標(biāo)準(zhǔn).已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為元/件; 乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn).（1）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的概率分布列如下所示：且的數(shù)學(xué)期望,求的值;（2）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下:用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（3）在（1）、（2）的條件下，若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)

6、，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由.注： 產(chǎn)品的“性價比”；“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性.20. （本小題滿分12分）已知橢圓短軸的兩個頂點與右焦點的連線構(gòu)成等邊三角形，直線與圓相切.（1）求橢圓的方程;（2）已知橢圓的左頂點的兩條直線分別交橢圓于兩點, 且,求證: 直線過定點, 并求出定點坐標(biāo)；(3) 在(2) 的條件下求面積的最大值.21. （本小題滿分12分）已知函數(shù)(常數(shù)).（1）證明: 當(dāng)時, 函數(shù)有且只有一個極值點;（2）若函數(shù)存在兩個極值點,證明:.請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選

7、講如圖, 四點在同一個圓上，與的延長線交于點,點在的延長線上.（1）若,求的值;（2）若,證明:.23. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知極坐標(biāo)系的極點在直角坐標(biāo)系的原點處，極軸與軸非負(fù)半軸重合，直線的參數(shù)方程為:為參數(shù)), 曲線的極坐標(biāo)方程為:.（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;（2）設(shè)直線與曲線相交于兩點, 求的值.24. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）解不等式;（2）若對任意,都有,使得成立, 求實數(shù)的取值范圍. 河北省衡水中學(xué)2017屆高三摸底聯(lián)考（全國卷）數(shù)學(xué)（理）試題參考答案選擇題：每小題5分，共60分，每小題所給選項只

8、有一項符合題意.ADCBA DCDCB DB填空題：每題5分，共20分.13. 14. 15. 16. 三、解答題17.本題滿分12分解：（1）當(dāng)時，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，因此，新政策實施后第年的人口總數(shù)（單位：萬）的表達(dá)式為 （2）設(shè) 為數(shù)列的前項和，則從 年到年共年，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式得： 萬新政策實施到年年人口均值為 故到年不需要調(diào)整政策 18本題滿分12分解：（1）連接，交于點，連接，則平面 證明：為中點，為中點為的中位線， 又平面平面平面平面=,平面,平面 ， 又，平面所以平面 （2）以A為原點，AE，AB，AD所在直線分別為軸，軸，軸建立坐標(biāo)系，平面PEA平面

9、PEA的法向量 另外，,設(shè)平面DPE的法向量，則，令，得 又為銳二面角,所以二面角的余弦值為 19本題滿分12分解：（1） ，即 = 1 * GB3 又由 的概率分布列得 = 2 * GB3 由 = 1 * GB3 = 2 * GB3 得 （2）由已知得，樣本的頻率分布表如下： 用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下： 所以， 即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8. （3）乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于 ，價格為 元/件，所以其性價比為因為乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的期望等于 ，價格為 元/件，所以其性價比為 據(jù)此

10、，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性。 20本題滿分12分解：（1）由題意 即 （2）設(shè)，由得同理 i) 時， 過定點ii) 時過點過定點（3）由（2）知 令時取等號時去等號， 21本題滿分12分 解：依題意， 令，則. （1）當(dāng)時，所以無解，則函數(shù) 不存在大于零的極值點； 當(dāng)時，由，故在 單調(diào)遞增. 又，所以在有且只有一個零點. 3分 又注意到在的零點左側(cè)，在的零點右側(cè)，所以函數(shù)在有且只有一個極值點. 綜上所述，當(dāng) 時，函數(shù)在內(nèi)有且只有一個極值點. 4分（2）因為函數(shù)存在兩個極值點（不妨設(shè)），所以,是的兩個零點，且由（1）知，必有. 令得 ；令 得；令得.所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， 6分又因為，所以必有. 令，解得， 8分此時 .因為是的兩個零點，所以，. 將代數(shù)式視為以為自變量的函數(shù)則 .當(dāng)時，因為，所以，則在單調(diào)遞增.因為，所以，又因為，所以. 當(dāng)時，因為，所以，則在單調(diào)遞減，因為，所以. 綜上知，且 12分22.本題滿分10分（1）解：因為 四點共圓；,又,又.（2）,又,又因為 四點共圓；.23本題滿分10分解：