利用洛必達(dá)法則來(lái)處理高考教案中恒成立問(wèn)題

1、v1.0可編寫(xiě)可更正導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法規(guī)巧解高考?jí)狠S題法規(guī)1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足以下條件：(1)limfx0及l(fā)imgx0；(2)在點(diǎn)xaxaa的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g(x)0；fx(3)liml，那么xagxfxfxl。limx=limxxagxag法規(guī)2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足以下條件：(1)limfx0及l(fā)imgx0；A0，xx(2)f(x)和g(x)在,A與A,上可導(dǎo)，且g(x)0；(3)limfxl，那么gxxfx=limfxl。limxgxxgx法規(guī)3若函數(shù)f(x)和g(x)滿足以下條件：(1)limfx及l(fā)imgx；(2)在點(diǎn)xaxaa的去心鄰域內(nèi)，f(

2、x)與g(x)可導(dǎo)且g(x)0；(3)limfxgl，那么xaxfx=limfxl。limxgxxagxa利用洛必達(dá)法規(guī)求不決式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：1.將上面公式中的xa，x換成x+，x-，xa，xa洛必達(dá)法規(guī)也成立。0，1，002.洛必達(dá)法規(guī)可辦理0，0，0，型。3.在著手求極限以前，第一要檢查可否滿足0，0，1，000，0，型定式，否則濫用洛必達(dá)法規(guī)會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能夠用洛必達(dá)法規(guī)，這時(shí)稱洛必達(dá)法規(guī)不適用，應(yīng)從別的路子求極限。4.若條件吻合，洛必達(dá)法規(guī)可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。11v1.0可編寫(xiě)可更正二高考題辦理1.(2010年全國(guó)新課標(biāo)

3、理)設(shè)函數(shù)x1xax2。（）若a0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；f(x)e1（2）若當(dāng)x0時(shí)f(x)0，求a的取值范圍解:（II）當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,均在f(x)0；當(dāng)x0時(shí)，f(x)0等價(jià)xxxx于aex1令gxex1(x0),則g(x)xe2ex2，令223xxxxxxxxhxxe2ex2x0，則hxxee1，hxxe0，知hx在0,上為增函數(shù)，hxh00；知hx在0,上為增函數(shù)，hxh00；gx0，g(x)在0,上為增函數(shù)。由洛必達(dá)法規(guī)知，xx1xxlimelimelime1，故a1綜上，知a的取值范圍為,1。2x0 xx02xx022222（2011年全國(guó)新課標(biāo)理）已知函數(shù)，

4、曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為x2y30。（）求a、b的值；（）若是當(dāng)x0，且x1時(shí)，f(x)lnxk，求k的x1x取值范圍。解：（II）由題設(shè)可得，當(dāng)x0,x1時(shí)，kh1=022v1.0可編寫(xiě)可更正hx在0,上為增函數(shù)h1=0當(dāng)x(0,1)時(shí)，hx0，當(dāng)x（1，+）時(shí)，hx0當(dāng)x(0,1)時(shí)，gx0，當(dāng)x（1，+）時(shí)，gx0gx在0,1上為減函數(shù)，在1,上為增函數(shù)洛必達(dá)法規(guī)知limgx2limxlnx1lnx11x212lim1210 x1x1x12x20，即k的取值范圍為（-，0已知函數(shù)f(x)=x(1+a)lnx在x=1時(shí)，存在極值。（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若x1，ml

5、nxf（x)-1成立,求正實(shí)數(shù)m的取值范圍x-1解：mlnxxlnx1mxlnx1(x1)lnx11=g（x）x1(x1)lnx(x1)lnx(x1)lnxlnxx1-11則11=x(lnx)2(x1)2）（令g(x)(lnx+x-1),g(x)-lnx2(x1)2x(x1)(lnx)2,xh(x)=x(lnx)2(x1)2h(x)(lnx)22lnx2x2,令r(x)則r(x)2lnx22x，令h(x），xM（x）=r(x)，（x)=2-2x0,則，r(x)為減，且r(1)=0,則h（x）為減，且h(1)=0,則g(x)為減，這樣，g(x)0），xx2分子r(x)=ex(x2x1)1,(x0

6、,)，擴(kuò)展定義域，求導(dǎo)r(x)ex(x23x）0，可知，33v1.0可編寫(xiě)可更正r(x)為定義域內(nèi)增函數(shù)，而r（x）r(0)=0.因此h(x)0.為增函數(shù)。則ah(0)-不存在，羅比達(dá)法規(guī)可得為1練習(xí)2006年全國(guó)2理設(shè)函數(shù)f(x)(x1)ln(x1)，若對(duì)所有的x0，都有f(x)ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍2006全國(guó)1理已知函數(shù)fx1xeax.（）設(shè)a0，談?wù)搚fx的單調(diào)性；1x（）若對(duì)任意x0,1恒有fx1，求a的取值范圍.2007全國(guó)1理4.設(shè)函數(shù)f()exexf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)2；x（）證明：（）若對(duì)所有x0都有f(x)ax，求a的取值范圍5.2008全國(guó)2理設(shè)函數(shù)f(x)sin

7、x（）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；2cosx（）若是對(duì)任何x0，都有f(x)ax，求a的取值范圍解：（）f(x)(2cosx)cosxsinx(sinx)2cosx1(2cosx)2(2cosx)22x2k2Z）時(shí)，cosx1當(dāng)2k（k，即3322x2k4Z）時(shí)，cosx1當(dāng)2k（k，即332f(x)0；f(x)0因此f(x)在每一個(gè)區(qū)間2k2，2（kZ）是增函數(shù)，f(x)在每一個(gè)區(qū)間332k24Z）是減函數(shù)，3344v1.0可編寫(xiě)可更正解：（）略sinx（）應(yīng)用洛必達(dá)法規(guī)和導(dǎo)數(shù)f(x)ax2cosx若x0，則aR；若x0，則sinxax等價(jià)于asinxsinx2cosxcosx)，即g(x)x(2

8、x(2cosx)則g(x)2xcosx2sinxsinxcosxx.x2(2cosx)2記h(x)2xcosx2sinxsinxcosxx，h(x)2cosx2xsinx2cosxcos2x12xsinxcos2x12sin2x2xsinx2sinx(sinxx)而limg(x)limsinxlimcosx1cosx)xsinx.x0 x0 x(2x02+cosx3另一方面，當(dāng)x,)時(shí)，g(x)sinx111，因此a1x(2cosx)x332008遼寧理設(shè)函數(shù)lnx1).f(x)lnxln(x1x求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;可否存在實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式f(x)a的解集為(0,)若存在,求

9、a的取值范圍;若不存在,試說(shuō)明原因.72010新課標(biāo)理設(shè)函數(shù)f(x)=ex1xax2.（）若a0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;（）若當(dāng)x0時(shí)f(x)0，求a的取值范圍.8.2010新課標(biāo)文55v1.0可編寫(xiě)可更正已知函數(shù)f(x)x(ex1)ax2.（）若f(x)在x1時(shí)有極值，求函數(shù)f(x)的解析式；（）當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，求a的取值范圍.解：（）略（）應(yīng)用洛必達(dá)法規(guī)和導(dǎo)數(shù)當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，即x(ex1)ax2.當(dāng)x0時(shí)，aR；當(dāng)x0時(shí)，x(ex1)ax2等價(jià)于ex1ax，也即aex1.x記g(x)ex1(0,)，則g(x)(x1)ex1，xx.x記h()(x1)x1，x(0,)，則h(x)x

10、ex0，因此h(x)(xx)上單調(diào)遞xe1)e1在(0,增，且h(x)h(0)h(x)0，從而g(x)ex1)上單調(diào)遞加.0，因此g(x)x在(0,x由洛必達(dá)法規(guī)有l(wèi)img(x)limex1limex1，即當(dāng)x0時(shí)，g(x)1x0 x0 xx01因此g(x)1，即有a1.綜上所述，當(dāng)a1，x0時(shí)，f(x)0成立.2010全國(guó)大綱理設(shè)函數(shù)f(x)1ex.（）證明：當(dāng)x1時(shí)，f(x)x；xx1（）設(shè)當(dāng)x0，求a的取值范圍.時(shí)，f(x)ax1解：（）略（）應(yīng)用洛必達(dá)法規(guī)和導(dǎo)數(shù)由題設(shè)x0，此時(shí)f(x)0.66v1.0可編寫(xiě)可更正當(dāng)a0時(shí)，若x1x0，f(x)x不成立；，則1axaax1當(dāng)a0時(shí)，當(dāng)x0

11、時(shí)，f(x)x，即1exx；ax1ax1若x0，則aR；若x0，則1exx等價(jià)于1ex11，即axexex1.ax1xaxxexx記g(x)xexex1，則g(x)e2xx2ex2ex1exxx22ex).xx(xexx)2=(xexx)2(exe記h(x)exx22ex，則h(x)ex2xex，h(x)ex+ex20.因此，h(x)ex2xex在(0，)上單調(diào)遞加，且h(0)0，因此h(x)0，即h(x)在(0，)上單調(diào)遞加，且h(0)0，因此h(x)0.因此ex，因此g(x)在(0，)上單調(diào)遞加.g(x)=(xexx)2h(x)0由洛必達(dá)法規(guī)有l(wèi)img(x)limxexex1limxex1

12、limexxex1，即當(dāng)x0時(shí)，x0 x0 xexxx0exxexx02exxex2g(x)1，即有g(shù)(x)11，因此a2221.綜上所述，a的取值范圍是(,.210.2011新課標(biāo)理已知函數(shù)f(x)alnxb，曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為x2y30.x1x（）求a、b的值；（）若是當(dāng)x0，且x1時(shí)，f(x)lnxk，求k的取值范圍.x1x押題若不等式sinxxax3關(guān)于x(0,)恒成立，求a的取值范圍.2解：應(yīng)用洛必達(dá)法規(guī)和導(dǎo)數(shù)77v1.0可編寫(xiě)可更正當(dāng)x(0,xsinx2)時(shí)，原不等式等價(jià)于ax3.記f(x)xsinx(x)3sinxxcosx2xx3，則fx4.記g(x

13、)3sinxxcosx2x，則g(x)2cosxxsinx2.因?yàn)間(x)xcosxsinxcosx(xtanx)，g(x)xsinx0，因此g(x)在(0,)上單調(diào)遞減，且g(x)0，2因此g(x)在(0,)上單調(diào)遞減，且g(x)0.因此g(x)在(0,)上單調(diào)遞減，22且g(x)0，故f(x)g(x)0，因此f(x)xsinx在(0,)上單調(diào)遞減.x4x32由洛必達(dá)法規(guī)有l(wèi)imf(x)xsinxlim1cosxsinxcosx1，limx33x2limlim66x0 x0 x0 x06xx0即當(dāng)x0時(shí)，g(x)1，即有f(x)1.66故a1時(shí)，不等式sinxxax3關(guān)于x(0,)恒成立.62經(jīng)過(guò)以上例題的解析，我們不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)用洛必達(dá)法規(guī)解決的試題應(yīng)滿足：能夠分別變量；用導(dǎo)數(shù)能夠確定分別變量后一端新函數(shù)的單調(diào)性；現(xiàn)“0”型式子.0第三部分：新課標(biāo)高考命題趨勢(shì)及方法高考命題趨勢(shì)88v1.0可編寫(xiě)可更正近來(lái)幾年來(lái)的高考數(shù)學(xué)試題漸漸做到科學(xué)化、規(guī)范化，堅(jiān)持了穩(wěn)中求改、穩(wěn)中創(chuàng)新的原則，充發(fā)散揮數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用，既重視觀察中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，又側(cè)重觀察進(jìn)入高校連續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。為此，高考數(shù)學(xué)試題常與大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)接軌，以高等數(shù)學(xué)為背景的命題形式成為了熱點(diǎn).2.分類(lèi)談?wù)摵图僭O(shè)反證好多省市的高考試卷的壓軸題都是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，其中求參數(shù)的取值范圍就是一類(lèi)重點(diǎn)觀察的題型.這