2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(課標全國Ⅰ)

1、2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試課標全國文科數(shù)學考生注意:1.答題前,考生務必將自己的準考證號、姓名填寫在答題卡上.考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人準考證號、姓名是否一致.2.第卷每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.第卷用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答.若在試題卷上作答,答案無效.3.考試結束,監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.第卷一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2015課標全國,文1)已知集合A

2、=x|x=3n+2,nN,B=6,8,10,12,14,則集合AB中元素的個數(shù)為()A.5B.4C.3D.2答案:D解析:由條件知,當n=2時,3n+2=8,當n=4時,3n+2=14.所以AB=8,14.故選D.2.(2015課標全國,文2)已知點A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),則向量BC=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)答案:A解析:AB=OB-OA=(3,2)-(0,1)=(3,1),AC=(-BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-73.(2015課標全國,文3)已知復數(shù)z滿足(z-1)i=1+i,則z=()A.-2-i

3、B.-2+iC.2-iD.2+i答案:C解析:(z-1)i=1+i,z=1+ii+1=(1+i)(-i)-i2+1=1-4.(2015課標全國,文4)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù).從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù),則這3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為()A.310B.15答案:C解析:從1,2,3,4,5中任取3個數(shù)共有10種不同的取法,其中的勾股數(shù)只有3,4,5,因此3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的取法只有一種,故所求概率為15.(2015課標全國,文5)已知橢圓E的中心在坐標原點,離心率為12,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點重合,A,B是C的準線

4、與E的兩個交點,則|AB|=(A.3B.6C.9D.12答案:B解析:拋物線y2=8x的焦點坐標為(2,0),E的右焦點的坐標為(2,0).設橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1ca=12b2=a2-c2=12,于是橢圓方程為x216+拋物線的準線方程為x=-2,將其代入橢圓方程可得A(-2,3),B(-2,-3),|AB|=6.6.(2015課標全國,文6)九章算術是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放

5、的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案:B解析:設圓錐的底面半徑為R,高為h.米堆底部的弧長為8尺,142R=8,h=5,米堆的體積V=1413R2h=3,V3209(立方尺堆放的米約有32091.627.(2015課標全國,文7)已知an是公差為1的等差數(shù)列,Sn為an的前n項和.若S8=4S4,則a10=()A.172B.192C.答案:B解析:公差d=1,S8=4S4,8即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=1a10=a1+9d=12+9=8.(2015課標全國,文8)函數(shù)f(x)=cos(x

6、+)的部分圖像如圖所示,則f(x)的單調遞減區(qū)間為()A.k-1B.2k-C.k-14D.2k-1答案:D解析:不妨設0,由函數(shù)圖像可知,其周期為T=254-所以2=2,解得=所以f(x)=cos(x+).由圖像可知,當x=1214+54=3即f34=cos34解得34+=2k+(k解得=2k+4(kZ)令k=0,得=4,所以f(x)=cos令2kx+42k+(k解得2k-14x2k+34(k所以函數(shù)f(x)=cosx+4的單調遞減區(qū)間為2k-14,9.(2015課標全國,文9)執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入的t=0.01,則輸出的n=()A.5B.6C.7D.8答案:C解析:由于S=1,n=0

7、,m=12,t=0.01則S=S-m=12,m=m2=14,n=n+1=1,S=14,m=18,n=2,S0.S=18,m=116,n=3,S0.S=116,m=132,n=4,S0.S=132,m=164,n=5,S0.S=164,m=1128,n=6,S0.S=1128,m=1256,n=7,S1時,f(a)=-log2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=14-2=-11.(2015課標全國,文11)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20,則r=

8、()A.1B.2C.4D.8答案:B解析:由條件及幾何體的三視圖可知該幾何體是由一個圓柱被過圓柱底面直徑的平面所截剩下的半個圓柱及一個半球拼接而成的.其表面積由一個矩形的面積、兩個半圓的面積、圓柱的側面積的一半及一個球的表面積的一半組成.S表=2r2r+212r2+r2r+12=5r2+4r2=16+20,解得r=2.12.(2015課標全國,文12)設函數(shù)y=f(x)的圖像與y=2x+a的圖像關于直線y=-x對稱,且f(-2)+f(-4)=1,則a=()A.-1B.1C.2D.4答案:C解析:設(x,y)是函數(shù)y=f(x)圖像上的任意一點,它關于直線y=-x的對稱點為(-y,-x),由已知得

9、點(-y,-x)在曲線y=2x+a上,-x=2-y+a,解得y=-log2(-x)+a,即f(x)=-log2(-x)+a.f(-2)+f(-4)=-log22+a+(-log24)+a=1,解得a=2.第卷注意事項:第卷共3頁,須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答.若在試題卷上作答,答案無效.本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題第21題為必考題,每個試題考生都必須做答.第22題第24題為選考題,考生根據(jù)要求做答.二、填空題:本大題共4小題,每小題5分.13.(2015課標全國,文13)在數(shù)列an中,a1=2,an+1=2an,Sn為an的前n項和.若Sn=126,則n=.答案:6解析:an

10、+1=2an,即an+1aan是以2為公比的等比數(shù)列.又a1=2,Sn=2(1-2n=64,n=6.14.(2015課標全國,文14)已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖像在點(1,f(1)處的切線過點(2,7),則a=.答案:1解析:f(x)=3ax2+1,f(1)=3a+1,即切線斜率k=3a+1.又f(1)=a+2,已知點為(1,a+2).而由過(1,a+2),(2,7)兩點的直線的斜率為a+2-715-a=3a+1,解得a=1.15.(2015課標全國,文15)若x,y滿足約束條件x+y-20,x-2答案:4解析:畫出約束條件對應的可行域(如圖陰影部分所示),由x-2y+1=0,x+y

11、-2=0解得由z=3x+y,得y=-3x+z.作出直線l0:y=-3x,并平移,當直線經過點A時,直線在y軸上的截距最大,即z最大.所以zmax=31+1=4.16.(2015課標全國,文16)已知F是雙曲線C:x2-y28=1的右焦點,P是C的左支上一點,A(0,66).當APF周長最小時,該三角形的面積為答案:126解析:設雙曲線的左焦點為F1,如圖.由雙曲線的定義知|PF|=2a+|PF1|,APF的周長為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF1|)+|AF|=|PA|+|PF1|+(2a+|AF|).由于2a+|AF|是定值,要使APF的周長最小,則應使|PA|+|PF

12、1|最小,即P,A,F1三點共線.A(0,66),F1(-3,0),直線AF1的方程為x-3+y66=1,將其代入x2-y28=1得y2+66y-96=解得y=26或y=-86(舍去),因此點P的縱坐標為26SAPF=S=12|F1F|yA-12|F1=12666-126三、解答題:解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)(2015課標全國,文17)已知a,b,c分別為ABC內角A,B,C的對邊,sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b,求cos B;(2)設B=90,且a=2,求ABC的面積.解:(1)由題設及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2

13、c,a=2c.由余弦定理可得cos B=a2+c(2)由(1)知b2=2ac.因為B=90,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=2所以ABC的面積為1.12分18.(本小題滿分12分)(2015課標全國,文18)如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點,BE平面ABCD.(1)證明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱錐E-ACD的體積為63,求該三棱錐的側面積解:(1)因為四邊形ABCD為菱形,所以ACBD.因為BE平面ABCD,所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.5分(2)設AB=x,在菱形A

14、BCD中,由ABC=120,可得AG=GC=32x,GB=GD=因為AEEC,所以在RtAEC中,可得EG=32x由BE平面ABCD,知EBG為直角三角形,可得BE=22x由已知得,三棱錐E-ACD的體積VE-ACD=1312ACGDBE=6故x=2.9分從而可得AE=EC=ED=6所以EAC的面積為3,EAD的面積與ECD的面積均為5故三棱錐E-ACD的側面積為3+25.12分19.(本小題滿分12分)(2015課標全國,文19)某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi

15、(i=1,2,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.xywi=18(xi-xi=18(wi-wi=18(xi-x)(yi-i=18(wi-w)(yi-46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi=xi,w(1)根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx與y=c+dx哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù),建立y關于x的回歸方程;(3)已知這種產品的年利潤z與x,y的關系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結果回答下列問題:年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預報值是多少?年宣傳費x為何值時,

16、年利潤的預報值最大?附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回歸直線v=+u的斜率和截距的最小二乘估計分別為解:(1)由散點圖可以判斷,y=c+dx適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型.2分(2)令w=x,先建立y關于w的線性回歸方程.由于d=c=y-dw=563-686所以y關于w的線性回歸方程為y=100.6+68w,因此y關于x的回歸方程為y=100.6+68x.(3)由(2)知,當x=49時,年銷售量y的預報值y=100.6+6849=576.6年利潤z的預報值z=576.60.2-49=66.32.9分根據(jù)(2)的結果知,年利潤z的預報值z=0.2

17、(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12所以當x=13.62=6.8,即x=46.24故年宣傳費為46.24千元時,年利潤的預報值最大.12分20.(本小題滿分12分)(2015課標全國,文20)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點.(1)求k的取值范圍;(2)若OMON=12,其中O為坐標原點,求解:(1)由題設,可知直線l的方程為y=kx+1.因為l與C交于兩點,所以|2k-解得4-7所以k的取值范圍為4-73(2)設M(x1,y1),N(x2,y2).將y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k

18、2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1OMON=x1x2+y1=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+由題設可得4k(1+k)1+k2+所以l的方程為y=x+1.故圓心C在l上,所以|MN|=2.12分21.(本小題滿分12分)(2015課標全國,文21)設函數(shù)f(x)=e2x-aln x.(1)討論f(x)的導函數(shù)f(x)零點的個數(shù);(2)證明:當a0時,f(x)2a+aln2解:(1)f(x)的定義域為(0,+),f(x)=2e2x-ax(x0)當a0時,f(x)0,f(x)沒有零點,當a0時,因為e2x單調遞增,-ax單調遞增所以f(

19、x)在(0,+)單調遞增.又f(a)0,當b滿足0ba4且b14時,f(b)0時,f(x)存在唯一零點.6(2)由(1),可設f(x)在(0,+)的唯一零點為x0,當x(0,x0)時,f(x)0.故f(x)在(0,x0)單調遞減,在(x0,+)單調遞增,所以當x=x0時,f(x)取得最小值,最小值為f(x0).由于2e2x0所以f(x0)=a2x0+2ax0+aln2a故當a0時,f(x)2a+aln2a.12請考生在第22、23、24題中任選一題做答,如果多做,則按所做的第一題計分.做答時請寫清題號.22.(本小題滿分10分)(2015課標全國,文22)選修41:幾何證明選講如圖,AB是O的直徑,AC是O的切線,BC交O于點E.(1)若D為AC的中點,證明:DE是O的切線;(2)若OA=3CE,求ACB的大小.解:(1)連結AE,由已知得,AEBC,ACAB.在RtAEC中,由已知得,DE=DC,故DEC=DCE.連結OE,則OBE=OEB.又ACB+ABC=90,所以