2023屆新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第13講 切點(diǎn)弦問題含解析

1、2023屆新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第13講 切點(diǎn)弦問題一、解答題 1已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，的最大面積為1（1）求橢圓的方程；（2）求證：過橢圓上的一點(diǎn)的切線方程為：；（3）設(shè)點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P做橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB是否過定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)，否則，請(qǐng)說明理由2已知拋物線C：y24x和直線l：x1.(1)若曲線C上存在一點(diǎn)Q，它到l的距離與到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離相等，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)過直線l上任一點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)記為A，B，求證：直線AB過定點(diǎn).3已知拋物線C：（）上的一點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的距離為.（1）求p

2、的值.（2）過點(diǎn)（）作曲線C的切線，切點(diǎn)分別為P，Q.求證：直線過定點(diǎn).4已知圓O：上的點(diǎn)到直線的最小距離為1，設(shè)P為直線上的點(diǎn)，過P點(diǎn)作圓O的兩條切線PA、PB， 其中A、B為切點(diǎn).（1）求圓O的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)P為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程.5已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足記點(diǎn)的軌跡為曲線（1）求的方程；（2）設(shè)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別是，證明：直線過定點(diǎn)6已知拋物線的焦點(diǎn)F與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，D為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B（1）求拋物線C的方程；（2）證明直線過定點(diǎn)7過直線上的動(dòng)點(diǎn)作拋物線的兩切線，為切點(diǎn).（1）若切線，的斜率分別為，求證：為定

3、值；（2）求證：直線過定點(diǎn).8已知圓，直線（1）若直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值；（2）若，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，探究：直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)9已知兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足.設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線.（1）求曲線的軌跡方程；（2）若， 是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，探究：直線是否過定點(diǎn).10已知拋物線，直線，設(shè)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.（1）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）求證：直線恒過定點(diǎn).11已知拋物線，設(shè)為直線上一點(diǎn)，過作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為、.（1）證明：動(dòng)直線恒過定點(diǎn)；（2）設(shè)與（1）中的定點(diǎn)的連線交拋物線

4、與、兩點(diǎn)，證明.第13講 切點(diǎn)弦問題一、解答題 1已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，的最大面積為1（1）求橢圓的方程；（2）求證：過橢圓上的一點(diǎn)的切線方程為：；（3）設(shè)點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P做橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB是否過定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)，否則，請(qǐng)說明理由【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）直線AB過定點(diǎn).【分析】（1）當(dāng)M是橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大，得到，再結(jié)合離心率及，可求得橢圓方程；（2）聯(lián)立，得(*) ，又點(diǎn)在橢圓上得，即可將方程變形為，即直線和橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)，可證得為橢圓的公切線.（3）設(shè)，切點(diǎn)，由切線方程可知

5、，又P在切線上，可知直線AB的方程為：，可得直線AB過定點(diǎn)【詳解】（1）M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn) ，即時(shí)， ，即，又，橢圓的方程為 （2）證明：聯(lián)立，得(*) 點(diǎn)在橢圓上，即， 得，故直線和橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)，為橢圓的公切線（3）設(shè)，切點(diǎn)，由（2）的結(jié)論可知，切線的方程分別為 ， 在切線上，都滿足，即直線AB的方程為： 直線AB過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，橢圓的切線方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法：（1）引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)（2）特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，

6、再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)2已知拋物線C：y24x和直線l：x1.(1)若曲線C上存在一點(diǎn)Q，它到l的距離與到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離相等，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)過直線l上任一點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)記為A，B，求證：直線AB過定點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】試題分析：（1）設(shè)Q(x，y)，則(x1)2x2y2，又y24x，解得Q；（2）設(shè)點(diǎn)(1，t)的直線方程為ytk(x1)，聯(lián)立y24x，則0，得k2kt10，則切點(diǎn)分別為A，B，所以A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，AB過點(diǎn)F(1，0)。試題解析：(1)設(shè)Q(x，y)，則(x1)2x2y2，即y22x1，由解得Q.(2)設(shè)過點(diǎn)(1，t)的直線方程

7、為ytk(x1)(k0)，代入y24x，得ky24y4t4k0，由0，得k2kt10，特別地，當(dāng)t0時(shí)，k1，切點(diǎn)為A(1，2)，B(1，2)，顯然AB過定點(diǎn)F(1，0).一般地方程k2kt10有兩個(gè)根，k1k2t，k1k21，兩切點(diǎn)分別為A，B，又20，與共線，又與有共同的起點(diǎn)F，A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，AB過點(diǎn)F(1，0)，綜上，直線AB過定點(diǎn)F(1，0).點(diǎn)睛：切點(diǎn)弦問題，本題中通過點(diǎn)P設(shè)切線，求得斜率k，再求出切點(diǎn)A，B，通過證明與共線，AB過點(diǎn)F(1，0)。一般的，我們還可以通過設(shè)切點(diǎn)，寫出切線方程，直接由交點(diǎn)P，結(jié)合兩點(diǎn)確定一條直線，寫出切點(diǎn)弦直線方程，進(jìn)而得到定點(diǎn)。3已知拋物線C：（

8、）上的一點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的距離為.（1）求p的值.（2）過點(diǎn)（）作曲線C的切線，切點(diǎn)分別為P，Q.求證：直線過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義列方程可得結(jié)果；（2）設(shè)過N的直線：，代入得，根據(jù)判別式等于0，得，代入可得，設(shè)，的斜率分別為，則，根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線的方程，結(jié)合，可得結(jié)論.【詳解】（1）曲線C上點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，（2）依題意，過點(diǎn)N的拋物線切線的斜率存在，故可設(shè)過N的直線：，代入得，因?yàn)橹本€與曲線C相切，則得，即所以，代入并化簡(jiǎn)得，解得，設(shè)，的斜率分別為，則所以，當(dāng)時(shí)，直線的方程：即：即：直線過定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，即，則所在的直線為.過點(diǎn)綜上

9、可得，直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與拋物線相切的問題，考查了直線方程的點(diǎn)斜式，考查了直線過定點(diǎn)問題，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.4已知圓O：上的點(diǎn)到直線的最小距離為1，設(shè)P為直線上的點(diǎn)，過P點(diǎn)作圓O的兩條切線PA、PB， 其中A、B為切點(diǎn).（1）求圓O的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)P為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）圓上的點(diǎn)到直線的最小距離是圓心到直線的距離減去圓的半徑，這樣就求得了半徑的值；（2）先設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)，有四個(gè)坐標(biāo)變量來表示兩條切線方程，兩條切線都過點(diǎn)，整理出關(guān)系式，再表示出直線AB的方程，消去變量整理就得到

10、了.試題解析：（1）圓心到直線的距離 （2）設(shè) ， 由于，有那么直線AB：，即 考點(diǎn)：直線方程與圓的方程.5已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足記點(diǎn)的軌跡為曲線（1）求的方程；（2）設(shè)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別是，證明：直線過定點(diǎn)【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）把已知條件用坐標(biāo)表示，并化簡(jiǎn)即得的方程；（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得出切線的方程，由在切線上，從而可得直線的方程，由直線方程可得定點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】（1）設(shè)，則，所以，可以化為，化簡(jiǎn)得所以，的方程為（2）由題設(shè)可設(shè)，由題意知切線，的斜率都存在，由，得，則，所以，直線的方程為，即，因?yàn)樵谏希?，即，將代入得，所以直線的方程為同理可得直線的

11、方程為因?yàn)樵谥本€上，所以，又在直線上，所以，所以直線的方程為，故直線過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，考查拋物線中的直線過定點(diǎn)問題，解題方法是設(shè)出切線坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，再由在切線上，根據(jù)直線方程的意義得出直線方程，然后得定點(diǎn)坐標(biāo)6已知拋物線的焦點(diǎn)F與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，D為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B（1）求拋物線C的方程；（2）證明直線過定點(diǎn)【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由雙曲線，求得，根據(jù)題意，得到，進(jìn)而求得拋物線的方程；（2）設(shè)切線方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合（1）和根與系數(shù)的關(guān)系，求得，得到設(shè)，進(jìn)而得

12、到直線的方程，即可求解【詳解】（1）由題意，雙曲線，可得焦點(diǎn)，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，可得，解得，所以拋物線的方程為.（2）設(shè)，切線方程為，聯(lián)立方程組，整理得（1）由，可得，設(shè)兩條切線的斜率分別為，則，由（1）知等根為，設(shè)，則，所以直線的方程為：，化簡(jiǎn)得，即，所以直線過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、及直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等。7過直線上的動(dòng)點(diǎn)作拋物

13、線的兩切線，為切點(diǎn).（1）若切線，的斜率分別為，求證：為定值；（2）求證：直線過定點(diǎn).【答案】（1）證明見解析； （2）證明見解析【分析】（1）設(shè)切線的直線方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)，結(jié)果根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解；（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，取得中點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解】（1）設(shè)過與拋物線相切的直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，因直線與拋物線相切，所以，即，可得為定值.（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，即，可得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且斜率為，所以的方程為，即，由（1）知，所以直線的方程為，可得直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，以及直線過定點(diǎn)問題的求解，其中解答中聯(lián)立方程組，合

14、理應(yīng)用一元二次方程性質(zhì)，以及直線方程的形式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.8已知圓，直線（1）若直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值；（2）若，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，探究：直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)【答案】（1）；（2）過定點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)可確定點(diǎn)到的距離；利用點(diǎn)到直線距離公式表示出點(diǎn)到的距離，由此構(gòu)造方程求得的值；（2）由四點(diǎn)共圓可確定為圓與四點(diǎn)所共圓的公共弦；設(shè)，求得圓的方程后，兩圓方程作差可求得方程，根據(jù)直線過定點(diǎn)的求法可確定所求定點(diǎn).【詳解】（1）由圓的方程知：圓心，半徑，直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，若，則點(diǎn)到的距離，又直線方程為，則有，解得：

15、； （2）由題意可知：，四點(diǎn)共圓且在以為直徑的圓上，設(shè)，以為直徑的圓的方程為：，即， 又在圓上，即為兩個(gè)圓的公共弦所在的直線，則的方程為：，即，令，解得：，直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與圓問題中的定點(diǎn)問題的求解，解題關(guān)鍵是確定直線為兩圓公共弦所在直線，通過兩圓方程作差即可求得公共弦所在直線方程.9已知兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足.設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線.（1）求曲線的軌跡方程；（2）若， 是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，探究：直線是否過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）直線是過定點(diǎn)【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)得到答案.（2）判斷都在以為直徑的圓上，圓方程為，聯(lián)立得

16、到，解得直線方程為得到答案.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由可得，整理可得，所以曲線的軌跡方程為. （2）依題意，則都在以為直徑的圓上是直線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)則圓的圓心為，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)即圓的方程為 又因?yàn)樵谇€上由，可得即直線的方程為由且可得，解得所以直線是過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程，定點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想.10已知拋物線，直線，設(shè)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.（1）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）求證：直線恒過定點(diǎn).【答案】（1）4（2）直線過定點(diǎn)(1，2)【解析】分析：（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別寫出過兩點(diǎn)的切線方程，再利用點(diǎn)是兩

17、切線交點(diǎn)進(jìn)行求解；（2）由（1）寫出直線的斜率，聯(lián)立直線和拋物線方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，再利用直線的點(diǎn)斜式方程進(jìn)行證明詳解：（1）設(shè)，的導(dǎo)數(shù)為，以為切點(diǎn)的切線方程為，即，同理以為切點(diǎn)的切線方程為，在切線方程上，軸，（2）證明：設(shè)，由（1）得，由已知直線的斜率必存在，設(shè)的方程為，由得，由在直線上可得，則方程為，即，直線過定點(diǎn)(1,2)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線和拋物線的位置關(guān)系、直線恒過定點(diǎn)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力和基本計(jì)算能力11已知拋物線，設(shè)為直線上一點(diǎn)，過作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為、.（1）證明：動(dòng)直線恒過定點(diǎn)；（2）設(shè)與（1）中的定點(diǎn)的

18、連線交拋物線與、兩點(diǎn)，證明.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)、，利用導(dǎo)數(shù)求出直線、的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩切線方程，觀察等式的結(jié)構(gòu)，可求得直線的方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）分析出，設(shè)點(diǎn)、，寫出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，分析出證明等價(jià)于證明，代入韋達(dá)定理計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)、，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線、的方程得，所以，點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足方程，所以，直線的方程為，由，解得，因此，直線恒過定點(diǎn)；（2）設(shè)點(diǎn)、，若，則軸，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn).所以，直線的斜率為，則直線的

19、方程為，即.聯(lián)立，消去可得，則，由韋達(dá)定理可得，要證，即證，即證，事實(shí)上，.因此，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求切點(diǎn)弦所在直線方程方法如下：寫出曲線在切點(diǎn)處的切線方程，將兩切點(diǎn)的公共點(diǎn)代入兩切線方程，通過說明兩切點(diǎn)的坐標(biāo)滿足某直線方程，可得出切點(diǎn)弦方程.第14講 極點(diǎn)極線問題一、解答題 1已知橢圓M：（ab0）過A（2，0），B（0，1）兩點(diǎn)（1）求橢圓M的離心率；（2）設(shè)橢圓M的右頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在橢圓M上（P不與橢圓M的頂點(diǎn)重合），直線AB與直線CP交于點(diǎn)Q，直線BP交x軸于點(diǎn)S，求證：直線SQ過定點(diǎn)2若雙曲線與橢圓共頂點(diǎn)，且它們的離心率之積為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別

20、為，直線l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)直線與的斜率分別為，且試問，直線l是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由3如圖，橢圓E：的離心率是，過點(diǎn)P（0,1）的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行與軸時(shí)，直線被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為.（1）求橢圓E的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.4在平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為.設(shè)過點(diǎn)的直線，與此橢圓分別交于點(diǎn)，其中，（）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足：，求點(diǎn)的軌跡；（）設(shè)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（）設(shè)，求證：直線必過軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無關(guān)），并求出該定

21、點(diǎn)的坐標(biāo)5已知A、B分別為橢圓E：（a1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn).6已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，直線，分別交橢圓于不同的兩點(diǎn)，.求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).7設(shè)橢圓過點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩不同點(diǎn)，時(shí)，在線段上取點(diǎn)，且滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上8設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)滿足，經(jīng)過點(diǎn)與軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)滿足,求點(diǎn)

22、的軌跡方程9已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上.10如圖，B，A是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P，Q是橢圓C上都不與A，B重合的兩點(diǎn)，記直線BQ，AQ，AP的斜率分別是，.（1）求證：；（2）若直線PQ過定點(diǎn)，求證：.11已知橢圓的焦距為分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上的兩點(diǎn)(異于)，連結(jié)，且斜率是斜率的倍.（1）求橢圓的方程；（2）證明:直線恒過定點(diǎn).12橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)，線的傾斜角為.（1）求橢圓的方程；（2）過且斜率存在的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線與交于，求證

23、：在定直線上.13已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N是橢圓上異于A，B的不同兩點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：直線過定點(diǎn)14設(shè)分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn).（1）若，求橢圓的方程；（2）設(shè)，是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓第二象限部分上一點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在軸上，求的面積.（3）設(shè)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)和是橢圓上異于左右頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，分別在直線和上，求證：直線恒過一定點(diǎn).15已知曲線.（1）若曲線C表示雙曲線，求的范圍；（2）若曲線C是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的范圍；（3）設(shè)，曲線C與軸交點(diǎn)為A，B（A在B上方），

24、與曲線C交于不同兩點(diǎn)M，N，與BM交于G，求證：A，G，N三點(diǎn)共線.16已知橢圓過點(diǎn)，且橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，（，不同于點(diǎn)），直線與直線：交于點(diǎn)連接，過點(diǎn)作的垂線與直線交于點(diǎn)（1）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求證：，三點(diǎn)共線17已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A和B，離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)M（1，0）作一條斜率不為0的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，連接AP、BQ，直線AP與BQ交于點(diǎn)N，探求點(diǎn)N是否在一條定直線上，若在，求出該直線方程；若不在，請(qǐng)說明理由.18已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，為原點(diǎn).以為對(duì)角線的正方形的頂點(diǎn)，在上.（

25、1）求的離心率；（2）當(dāng)時(shí)，過作與軸不重合的直線與交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，試判斷是否為定值？若是，求出定值，并加以證明；若不是，請(qǐng)說明理由.19已知F為拋物線的焦點(diǎn)，直線與C交于A，B兩點(diǎn)且.（1）求C的方程.（2）若直線與C交于M，N兩點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)T，證明：點(diǎn)T在定直線上.第14講 極點(diǎn)極線問題一、解答題 1已知橢圓M：（ab0）過A（2，0），B（0，1）兩點(diǎn)（1）求橢圓M的離心率；（2）設(shè)橢圓M的右頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在橢圓M上（P不與橢圓M的頂點(diǎn)重合），直線AB與直線CP交于點(diǎn)Q，直線BP交x軸于點(diǎn)S，求證：直線SQ過定點(diǎn)【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）由已知兩點(diǎn)坐

26、標(biāo)得，求得后可得離心率；（2）直線方程為，設(shè)（，），由三點(diǎn)共線求得點(diǎn)坐標(biāo)（用點(diǎn)坐標(biāo)表示），由共線求得點(diǎn)坐標(biāo)（用點(diǎn)坐標(biāo)表示），寫出直線的方程，把代入化簡(jiǎn)對(duì)方程變形可得定點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)，都在橢圓上，所以，所以所以橢圓的離心率（2）由（1）知橢圓的方程為，由題意知：直線的方程為設(shè)（，），因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以有，所以所以所以因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即所以所以直線的方程為，即又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以所以直線的方程為所以直線過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的離心率，考查橢圓的直線過定點(diǎn)問題，解題方法是設(shè)橢圓上的點(diǎn)坐標(biāo)，利用三點(diǎn)共線變?yōu)橄蛄科叫校蟮弥本€交點(diǎn)的坐標(biāo)，得出直線方程，再由在橢圓上

27、，代入化簡(jiǎn)湊配出定點(diǎn)坐標(biāo)2若雙曲線與橢圓共頂點(diǎn)，且它們的離心率之積為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為，直線l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)直線與的斜率分別為，且試問，直線l是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由【答案】（1）；（2）直線l恒過定點(diǎn).【分析】（1）待定系數(shù)法橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）用“設(shè)而不求法”把直線和橢圓聯(lián)立方程組，表示出，整理出直線過定點(diǎn).【詳解】（1）由已知得雙曲線的離心率為，又兩曲線離心率之積為，所以橢圓的離心率為；由題意知，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)萬程為（2）當(dāng)直線l的斜率為零時(shí)，由對(duì)稱性可知：，不滿足，故直線l的斜率不為零設(shè)直線l的方程

28、為，由，得：，因?yàn)橹本€l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，所以，整理得：，設(shè)、，則，因?yàn)椋?，整理得：，將，代入整理得：要使上式恒成立，只需，此時(shí)滿足，因此，直線l恒過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)而不求是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題；（3）證明直線過定點(diǎn)，通常有兩類：直線方程整理為斜截式y(tǒng)=kx+b，過定點(diǎn)(0,b)；直線方程整理為點(diǎn)斜式y(tǒng) - yo=k(x- x0)，過定點(diǎn)(x0,y0) 3如圖，橢圓E：的離心率是，過點(diǎn)P（0,1）的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行與軸時(shí)，直線被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為.（1）求橢圓E的方程；

29、（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.【詳解】（1）由已知，點(diǎn)在橢圓E上.因此，解得.所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線與軸平行時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).如果存在定點(diǎn)Q滿足條件，則，即.所以Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于M、N兩點(diǎn).則，由，有，解得或.所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為.下面證明：對(duì)任意的直線，均有.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，A、B的坐標(biāo)分別為

30、.聯(lián)立得.其判別式，所以，.因此.易知，點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.又，所以，即三點(diǎn)共線.所以.故存在與P不同的定點(diǎn)，使得恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、分類與整合等數(shù)學(xué)思想.4在平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為.設(shè)過點(diǎn)的直線，與此橢圓分別交于點(diǎn)，其中，（）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足：，求點(diǎn)的軌跡；（）設(shè)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（）設(shè)，求證：直線必過軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無關(guān)），并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（I）；（II）；（III）.【解析】試題分析：（I）

31、設(shè)出點(diǎn)，利用坐標(biāo)化簡(jiǎn)，得到點(diǎn)的軌跡；（II）由分別得出直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組即可求解點(diǎn)的坐標(biāo)；（III）直線的方程為：，直線的方程為：，分別與橢圓的方程聯(lián)立，由，求得，此時(shí)直線的方程為，過點(diǎn)，若，由，所以直線過點(diǎn).試題解析：（）由題設(shè)得，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由，代入化簡(jiǎn)得，.故點(diǎn)的軌跡為直線. （）由，得，則點(diǎn)，直線的方程為，由，得，則點(diǎn)，直線的方程為，由 （）由題設(shè)知，直線的方程為：，直線的方程為：，點(diǎn)滿足；點(diǎn)滿足；若，且，得，此時(shí)直線的方程為，過點(diǎn)；若，則，直線的斜率，直線的斜率，所以，所以直線過點(diǎn).因此直線必過軸上一定點(diǎn). 考點(diǎn)：軌跡方程的求解；直線的交點(diǎn)；直線過定點(diǎn)的判斷【方法點(diǎn)晴

32、】本題主要考查了曲線軌跡方程的求解和兩直線的交點(diǎn)的計(jì)算、直線過定點(diǎn)問題的判定，著重考查了分類討論的思想方法及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，屬于中檔試題，本題的第三問題的解答中，由直線的方程，直線的方程，分別與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得，再由和，由，兩種情況分別判定直線過定點(diǎn).5已知A、B分別為橢圓E：（a1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明詳見解析.【分析】（1）由已知可得：， ，即可求得，結(jié)合已知即可求得：，問題得解.（2）設(shè)，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線

33、的方程與橢圓方程即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線：，直線過點(diǎn)，命題得證.【詳解】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：由橢圓方程可得：， ，橢圓方程為：（2）證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，直線：，直線過點(diǎn)故直線CD過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及方程思想，還考查了計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難題.6已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，且過點(diǎn).（1）求橢圓

34、的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，直線，分別交橢圓于不同的兩點(diǎn)，.求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓定義確定a，再根據(jù)c求b（2）設(shè)根據(jù)直線與橢圓方程聯(lián)立方程組解得，N坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)式求MN直線方程，化成點(diǎn)斜式，求出定點(diǎn)試題解析：(1)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則另一個(gè)焦點(diǎn)為, 由橢圓的定義知:，代入計(jì)算得 又, 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (2)設(shè)， 則直線，與聯(lián)立，解得 同理 所以直線的斜率為= 所以直線 所以直線恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值

35、”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).7設(shè)橢圓過點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩不同點(diǎn)，時(shí)，在線段上取點(diǎn)，且滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上【答案】（1）（2）見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的左焦點(diǎn)為，得到，再根據(jù)橢圓過點(diǎn)，代入橢圓方程求解.（2）設(shè)直線的參數(shù)方程是，（為參數(shù)），代入橢圓方程，由，化簡(jiǎn)得到，即，再代入直線參數(shù)方程求解.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，所以，設(shè)橢圓方程為，又因?yàn)闄E圓

36、過點(diǎn)，所以，解得所以橢圓方程為：；（2）設(shè)直線的參數(shù)方程是，（為參數(shù)），代入橢圓方程，得：由，得，即，則，點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程是，則，所以點(diǎn)在定直線上【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系以及直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.8設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)滿足，經(jīng)過點(diǎn)與軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)滿足,求點(diǎn)的軌跡方程【答案】略【解析】略9已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由

37、題知，解方程即可得，故橢圓的方程是.（2）先討論斜率不存在時(shí)的情況易知直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)是.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，進(jìn)而聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理得，直線的方程是，直線的方程是，進(jìn)而計(jì)算得時(shí)的縱坐標(biāo)，并證明其相等即可.【詳解】解：（1）因?yàn)?，橢圓離心率為，所以，解得，.所以橢圓的方程是.（2）若直線的斜率不存在時(shí)，如圖，因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，所以直線的方程是.所以點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是.所以直線的方程是，直線的方程是.所以直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)是.所以點(diǎn)在直線上.若直線的斜率存在時(shí)，如圖.設(shè)斜率為.所以直線的方程為.聯(lián)立方程組消去，整理得.顯然.不妨設(shè)，所以，.所以直線的方程是.令，得.直線的方程

38、是.令，得.所以分子.所以點(diǎn)在直線上.【點(diǎn)睛】本題第二問解題的關(guān)鍵在于分類討論直線斜率不存在和存在兩種情況，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，寫出直線的方程是和直線的方程是，進(jìn)而計(jì)算得時(shí)的縱坐標(biāo)相等即可.考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.10如圖，B，A是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P，Q是橢圓C上都不與A，B重合的兩點(diǎn)，記直線BQ，AQ，AP的斜率分別是，.（1）求證：；（2）若直線PQ過定點(diǎn)，求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)，代入斜率公式求；（2）設(shè)直線的方程是，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示，再根據(jù)（1）的結(jié)論證明.【詳解】（1）設(shè) ；（2）設(shè)直線的方程是，設(shè) 與橢圓方程

39、聯(lián)立， 得： ， ， ， ， ,由（1）可知，兩式消去，解得：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，定值和定點(diǎn)，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想和計(jì)算能力，屬于中檔題型，第二問中設(shè)而不求的基本方法也使得求解過程變得簡(jiǎn)單，在解決圓錐曲線與動(dòng)直線問題中，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式都是解題的基本工具.11已知橢圓的焦距為分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上的兩點(diǎn)(異于)，連結(jié)，且斜率是斜率的倍.（1）求橢圓的方程；（2）證明:直線恒過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，解出方程組即可得橢圓方程；（2）連結(jié)設(shè)，由橢圓的性質(zhì)可得出，故而可得，當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)，解出，當(dāng)直線

40、斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可得出，得出與的關(guān)系，代入直線方程即可得定點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即橢圓的方程為（2）連結(jié)設(shè)則因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以因?yàn)?，所以?dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)，不妨設(shè)在軸上方，因?yàn)?，所以（ii）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，即，所以因?yàn)樗?，即或?dāng)時(shí)，恒過定點(diǎn)，當(dāng)斜率不存在亦符合:當(dāng)，過點(diǎn)與點(diǎn)重合，舍去.所以直線恒過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題12橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)，線的傾斜角為.（1）求橢圓的方程；（2）過且斜率存在的動(dòng)直線與橢圓交

41、于、兩點(diǎn)，直線與交于，求證：在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題意和過兩點(diǎn)的直線的斜率公式可求得b，可得橢圓的方程.（2）設(shè)，設(shè)過的動(dòng)直線：，代入橢圓的方程得： ，由韋達(dá)定理得：，再由，及，三點(diǎn)共線，化簡(jiǎn)可得證明點(diǎn)在定直線上.【詳解】（1），由題意，所以橢圓的方程.（2）設(shè)，過的動(dòng)直線：，代入橢圓的方程得：，得：，分別由，及，三點(diǎn)共線，得：，兩式相除得：，得：，即在直線上.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系之交點(diǎn)問題之動(dòng)點(diǎn)在定直線上，屬于較難題.13已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，

42、B，點(diǎn)M，N是橢圓上異于A，B的不同兩點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：直線過定點(diǎn)【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）由，得到，再由點(diǎn)在該橢圓上，求得的值，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組求得，再由的的方程，聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合斜率公式，進(jìn)而得到直線過定點(diǎn).【詳解】（1）由橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上，可得，所以，又點(diǎn)在該橢圓上，所以，所以， 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由于的斜率為，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，所以，所以，從而，即，同理可得：由于的斜率為，則，聯(lián)立方程組，可得，即，所以，所以，從而，即，當(dāng)時(shí)即；時(shí)，過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，即，所以直線過點(diǎn)，綜上可得，直

43、線過點(diǎn).【點(diǎn)睛】解答圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問題的思路：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；利用條件找到過定點(diǎn)的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問題時(shí)，常根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).14設(shè)分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn).（1）若，求橢圓的方程；（2）設(shè)，是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓第二象限部分上一點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在軸上，求的面積.（3）設(shè)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)和是橢圓上異于左右頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，

44、分別在直線和上，求證：直線恒過一定點(diǎn).【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）計(jì)算得，代入解方程即可得，故可得橢圓的方程；（2）設(shè)另一焦點(diǎn)為，則軸，計(jì)算出點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算即可；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線：，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理計(jì)算得出，同理可得，分，兩種情況表示出直線方程，從而確定出定點(diǎn).【詳解】（1），解得即橢圓的方程為.（2）橢圓的方程為，由題意，設(shè)另一焦點(diǎn)為，設(shè)，由線段的中點(diǎn)在y軸上，得軸，所以，代入橢圓方程得，即；（3）證明：由題意，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線：，與橢圓方程聯(lián)立消去得：由韋達(dá)定理得即；同理；當(dāng)，即即時(shí)，直線的方程為；當(dāng)時(shí)，直線：化簡(jiǎn)得，恒過點(diǎn)；綜上所述，直線

45、恒過點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決第（3）的關(guān)鍵是能夠運(yùn)用韋達(dá)定理表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而表示出直線，并能通過運(yùn)算整理成關(guān)于的方程，從而確定出定點(diǎn)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，有一定的難度.15已知曲線.（1）若曲線C表示雙曲線，求的范圍；（2）若曲線C是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的范圍；（3）設(shè)，曲線C與軸交點(diǎn)為A，B（A在B上方），與曲線C交于不同兩點(diǎn)M，N，與BM交于G，求證：A，G，N三點(diǎn)共線.【答案】（1）；（2）；（3）見解析【分析】（1）若曲線表示雙曲線，則：，解得的范圍；（2）若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得的取值范圍；（3）聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合，解得，設(shè)，求出的方程，可得，從而可得，欲證，

46、三點(diǎn)共線，只需證，共線，利用韋達(dá)定理，可以證明【詳解】（1）若曲線表示雙曲線，則：，解得：.（2）若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則：，解得：（3）當(dāng)，曲線可化為：，當(dāng)時(shí)，故點(diǎn)坐標(biāo)為：，將直線代入橢圓方程得：，若與曲線交于不同兩點(diǎn)，則，解得，由韋達(dá)定理得：，設(shè)，方程為：，則，欲證，三點(diǎn)共線，只需證，共線，即，將代入可得等式成立，則，三點(diǎn)共線得證【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三點(diǎn)共線，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解，屬于中檔題.16已知橢圓過點(diǎn)，且橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，（，不同于點(diǎn)），直線與直線：交

47、于點(diǎn)連接，過點(diǎn)作的垂線與直線交于點(diǎn)（1）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求證：，三點(diǎn)共線【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意列方程組，即可得到橢圓的方程，進(jìn)而得到焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）討論直線的斜率，利用是平行的證明，三點(diǎn)共線【詳解】（1） 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，且橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以解得所以橢圓的方程為所以橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 （2） 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為顯然，或，當(dāng)，時(shí)，直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為 所以直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為則，所以，所以，三點(diǎn)共線同理，當(dāng)，時(shí)，三點(diǎn)共線 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為由得且設(shè)，則，直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為所以直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為則，所以， 所以與共線，所以，三點(diǎn)共線綜上所述，三點(diǎn)共線【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題17已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A和B，離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)M（1，0）作一條斜率不為0的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，連接