第13課時51數(shù)學(xué)證明概說

1、 第13課時第5章 數(shù)學(xué)證明第一節(jié) 數(shù)學(xué)證明概說引子：胸中有圣人 有一天王守仁先生對大家說：“每個人心中都有個圣人，只是因為自信心不足，圣人就給埋沒了.”然后，他回過頭告訴于中說：“你胸中原來就有個圣人.”于中慌忙起來推辭.王守仁說：“這是你自家有的，為什么要推辭掉？”于中還是回答說：“不敢當(dāng).”王守仁說：“眾人胸中都有個圣人，何況你于中？為什么要謙虛起來呢？靠謙虛是得不到的.”于中便笑著接受了.于是王守仁便笑著對大家說：“你們看，于中心中有圣人了吧，可見每個人心中都有圣人.哈哈哈！” 評注：在這里，王守仁以“每個人心中都有圣人”來證明“于中心中有圣人”；然后又以“于中心中有圣人”來證明“每個

2、人心中都有圣人”.按照邏輯的術(shù)語，就是論題和論據(jù)互換著使用，因此，什么結(jié)論都沒有得到.在日常生活中，人們經(jīng)常不知不覺地犯這種“循環(huán)論證”的邏輯錯誤.在數(shù)學(xué)與邏輯中，談?wù)撟C明是一件很困難的工作數(shù)學(xué)證明概述 數(shù)學(xué)證明界定 指根據(jù)某些已知真實的命題來斷定某一新命題真實性的思維過程（或思維形式） 指根據(jù)已經(jīng)確實其真實性的公理、定理、定義、公式、性質(zhì)等真實性數(shù)學(xué)命題（判斷）來論證某一數(shù)學(xué)命題（判斷）的真實性的推理過程 邏輯學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)證明概述 證明與推理的關(guān)系 （i）它們都是以判斷為其組成要素的思維形式 （ii）一個命題的證明往往包含一個或一連串的推理 （iii）它們的組成部分有相關(guān)性.論題相當(dāng)于推理的結(jié)

3、論，論據(jù)相當(dāng)于推理的前提，論證相當(dāng)于推理方式.（iv）證明與推理的結(jié)構(gòu)不同:證明必然包含推理，而且往往是多種推理的復(fù)雜組合；推理不必然包含證明.（ii）證明與推理的進程不同：推理的進程是由前提出發(fā)得出結(jié)論，證明則是由論題出發(fā)，進而找出證明該論題的論據(jù)，然后論證論題的真實性 （iii）證明與推理對各自組成部分之間的邏輯聯(lián)系的要求不同：推理對前提與結(jié)論之間的聯(lián)系沒有特殊要求，可以是必然的，也可以是或然的；證明則不然，論證具有必然聯(lián)系 （i）證明與推理的任務(wù)不同：推理的任務(wù)是由已知判斷推出一個新判斷，證明的任務(wù)是用已知為真的判斷去確定某一判斷的真實性 關(guān)系差別數(shù)學(xué)證明概述 數(shù)學(xué)證明源頭 數(shù)學(xué)證明最早

4、可追溯到公元前6世紀(jì).傳說，幾何學(xué)的證明是從來自米利都的古希臘哲學(xué)家泰勒斯開創(chuàng)的 。 （i）圓被任一直徑等分；（ii）等腰三角形的兩底角相等；（iii）兩條直線相交，對頂角相等；（iv）兩個三角形，有兩個角和一條邊對應(yīng)相等，則兩個三角形全等；（v）內(nèi)接于半圓的角必為直角.數(shù)學(xué)證明規(guī)則 （1）論題要明確 （2）論題應(yīng)始終如一（3）論據(jù)要真實、可靠要明確 （4）論據(jù)的真實性不能依靠論題來證明，論題的真 實性是靠論據(jù)來證明的 （5）論據(jù)必須能推出論題數(shù)學(xué)證明與其他學(xué)科的關(guān)系 一般說來，每門科學(xué)（特別是與數(shù)學(xué)很接近的物理學(xué)）都強調(diào)證明的重要性（有據(jù)可依），而且每門學(xué)科都有自己獨特的證明方法. 但數(shù)學(xué)上

5、的證明與科學(xué)上的證明是有差異的.科學(xué)的證明遠不能達到數(shù)學(xué)證明所具有的“可靠程度”。 從本質(zhì)上科學(xué)的證明只能說，基于已得到的證據(jù)，所作的結(jié)論是正確的.科學(xué)的證明依賴于科學(xué)家的觀察、實驗和理解力，由于這兩者都是容易出錯的，從而它只能提供近似真理的概念. 而對數(shù)學(xué)理論來說，它不依賴于來自容易出錯的實驗的證據(jù)，數(shù)學(xué)結(jié)論的嚴(yán)密性立足于不會出錯的邏輯.光憑試驗是不行的，另一方面，數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性，對其它以嚴(yán)格著稱的科學(xué)或多或少是有影響的. 四色定理與數(shù)學(xué)證明的發(fā)展 1852年，畢業(yè)于英國倫敦大學(xué)并從事地圖著色工作的佛朗西斯格里斯，發(fā)現(xiàn)了一個奇怪的現(xiàn)象：無論多么復(fù)雜的地圖，只要用四種顏色，就可以區(qū)分有公共邊

6、界的國家和地區(qū).佛朗西斯覺得這中間一定有著什么奧妙，于是寫信向其胞兄佛德雷克詢問.佛德雷克對數(shù)學(xué)造詣頗深，但絞盡腦汁依然不得要領(lǐng)，只好求教于自己的老師，著名的英國數(shù)學(xué)家摩根.摩根教授懷著濃厚的興趣，對此苦苦思索了幾個晝夜，覺得無法判定佛德雷克所提的問題是對還是錯.于是便寫信給摯友，著名的數(shù)學(xué)家哈密爾頓（Hamilton，1805-1865）探討.哈密爾頓才華橫溢，當(dāng)時以發(fā)現(xiàn)“四元數(shù)”（一種在復(fù)數(shù)基礎(chǔ)上擴展的新數(shù)）而飲譽歐洲. 然而，智慧超人的哈密爾頓兩者都沒能做到.他耗費了整整年心血，終于一籌莫展，抱恨逝去！哈密爾頓死后，又過了年，一位頗有名望的英國數(shù)學(xué)家凱萊（Cayley，1821-1895

7、）在一次數(shù)學(xué)年會上把這個問題歸納為“四色猜想”.并于次年，即公元1879年，在英國皇家地理會刊的創(chuàng)刊號上，公開征求對“四色猜想”的解答.從此，“四色問題”不脛而走，成為街談巷議的熱題.四色定理與數(shù)學(xué)證明的發(fā)展 但上述狀態(tài)并沒有持續(xù)很久.在征解消息發(fā)出的同年，一位半路出家的數(shù)學(xué)家肯普，發(fā)表了一個關(guān)于四色定理的證明.這使曾經(jīng)出現(xiàn)的一時轟動很快平息下來.人們普遍以為“四色猜想”已經(jīng)成為歷史.不料過了年，即公元1890年，一個名叫赫伍德的青年，指出了肯普在證明中的錯誤.從而使這一沉熄了十年之久的問題，又重新燃起了熊熊烈火！與此同時，赫伍德匠心獨運，利用肯普提供的方法，成功地證明了用五種顏色能夠區(qū)分地圖

8、上相鄰的國家.這算是在向“四色猜想”進軍中第一個重大的突破！赫伍德關(guān)于“五色定理”的證明其實并不難，赫伍德正是運用數(shù)學(xué)歸納法證明“五色定理”的，其證明不是很難（這里略）. 正因為五色定理的證明不很難，所以與費爾馬猜想及哥德巴赫猜想不同，有不少數(shù)學(xué)家小看了四色猜想.相對論的創(chuàng)始人，偉大物理學(xué)家愛因斯坦的數(shù)學(xué)導(dǎo)師閔可夫斯基（Minkowski，1864-1909）教授，就是其中最為典型的一個.他認為四色猜想之所以沒有解決，是因為世界上第一流的數(shù)學(xué)家還沒有空去研究它.四色定理與數(shù)學(xué)證明的發(fā)展 有一次，教授給學(xué)生上課，他偶然間提到這個問題隨之即興推演，似乎成竹在胸，寫了滿滿一個黑板，但命題仍未得證.第

9、二次上課，閔可夫斯基又繼續(xù)推演，結(jié)果仍舊是滿懷信心進教室，垂頭喪氣下講臺.如此這般折騰了幾個星期之后，教授終于精疲力竭.一天，他走進教室，疲憊地注視著依舊掛著“證明”的黑板.此時適逢雷電交加，他終于醒悟，并愧疚地承認：“上帝在責(zé)備我，四色問題我無能為力！”這以后，全世界數(shù)學(xué)家都掂出了“四色猜想”的沉重份量. 人類智慧面對著又一個世界難題的挑戰(zhàn).在正面失利之后，數(shù)學(xué)家們決定從側(cè)面進軍！ 1922年，有人證明了國家數(shù)時四色猜想成立；1938年，國家數(shù)推進到；1969年又推進到.個春秋，僅僅使國家數(shù)推進了.這確是一條布滿荊棘、令人生畏的路！主要困難是構(gòu)形的可能性太多，需要做兩百億次的邏輯判定，這遠不

10、是一個人的力量所能做到的！人們對此望而生畏了！四色定理與數(shù)學(xué)證明的發(fā)展 就在這時，科學(xué)的地平線上出現(xiàn)了一道曙光！電子計算機的運用，使四色猜想的證實有了希望.然而在七十年代初，即使是電子計算機，也要連續(xù)算上十一年半！這是何等艱難的目標(biāo)，但人類并沒有放棄這種機會，進軍的號角吹響了！科學(xué)家們能力合作，一面不斷改進方法減少判斷次數(shù)，一面繼續(xù)提高計算機的計算速度，使問題的解決終于有了眉目.公元1976年9月，美國伊利諾斯大學(xué)的數(shù)學(xué)家阿沛爾和哈肯教授，運用每秒計算萬次的電子計算機，在運轉(zhuǎn)小時后，終于成功地完成了“四色定理”的證明工作. 電波傳來，寰宇震動！數(shù)學(xué)史上的三大難題之一，在人與計算機的“合作”下，

11、終于被征服了！這是亙古未有的奇跡！為紀(jì)念這一歷史性的時刻與史詩般的功績，在宣布四色定理得證的當(dāng)天，伊利諾斯大學(xué)郵局加蓋了以下郵戳： “Four colors suffice!”（四種顏色足夠了?。?故事趣說證明 歐拉用數(shù)學(xué)證明神存在 數(shù)學(xué)家歐拉熱衷于哲學(xué)辯論，但是由于失誤，常常成為哲學(xué)家的笑柄。相反，法國哲學(xué)家狄德羅對于數(shù)學(xué)知之甚少。俄羅斯凱瑟琳女王非常討厭狄德羅的無神論，她吩咐歐拉教訓(xùn)一下狄德羅，于是歐拉對狄德羅說，有人用數(shù)學(xué)證明神的存在，要狄德羅和自己公開討論。歐拉向狄德羅走去，給他看了一個式子，然后說道：“所以神是存在的，不是嗎？”狄德羅無法理解式子而惶恐不堪，于是眾人一陣哄笑. 原來歐

12、拉列出的那個式子是什么意義都沒有的，不懂?dāng)?shù)學(xué)的狄德羅在那里只能是呆若木雞了.故事趣說證明 數(shù)學(xué)證明會讓人餓肚子 有一名古怪的科學(xué)家扣押了他的同事，他們分別是工程師、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他把這三個人分別關(guān)在不同的房間里，并在房間里留下充足的不同種類的罐頭，然而沒有提供開啟罐頭的工具。這樣關(guān)押了1年后，這名古怪的科學(xué)家來到了關(guān)押三名同事的房子. 首先，他來到了關(guān)押工程師的房間，可是工程師已不在房間.工程師利用房間內(nèi)已有的東西制作了罐頭起子，利用罐頭盒和食物做成炸彈，逃出了房間. 然后，他去了關(guān)押物理學(xué)家的房間，看到物理學(xué)家用把罐頭拋向墻壁的方法打開罐頭，正在吃罐頭。再仔細觀察，發(fā)現(xiàn)物理學(xué)家正在通過計

13、算把罐頭拋向墻壁時最容易打開罐頭的角度和速度，研究新的力學(xué)。 最后，他去了關(guān)押數(shù)學(xué)家的房間，看到數(shù)學(xué)家一個罐頭都沒打開，已經(jīng)餓死了.但是數(shù)學(xué)家已經(jīng)解決了如何排列罐頭能看起來舒服而且便于拿取的問題，還算出了罐頭的體積、表面積等等。另外，他在證明下面的理論過程中死去. 定理：如果打不開罐頭，我就會死去. 證明：如果我能打開任一罐頭故事趣說證明 一個雞蛋的家當(dāng) 有一戶貧民，窮得叮當(dāng)響.一天，丈夫突然把他妻子送到官府，向官府告狀說：“我的全部家當(dāng)都給這個惡婦敗壞了，請老爺狠狠治她的罪！”縣官問：“你的家當(dāng)在哪里？怎么給她敗壞的？” 丈夫就有板有眼地說了起來： 今天早上，他在路上撿到一只雞蛋，趕快跑回家

14、，高興地對妻子說：“我有家當(dāng)了！我有家當(dāng)了！” 妻子忙問家當(dāng)在哪里？他拿出雞蛋一晃說：“這就是！” 于是他就扳起手指頭給妻子細細計算起來：“我拿這個雞蛋，放到鄰居家的雞窩里去卵小雞.等小雞卵出來，我就把它抱回來下蛋.兩天一個雞蛋，一個月就可以得到個雞蛋.然后再卵成小雞.兩年內(nèi)，雞再生雞，就可以發(fā)展到只，能賣兩金子.用這兩金子，買頭母牛，母牛生母牛，年可得頭牛.牛生牛，又過年，就能發(fā)展到頭，可以賣兩金子.我用這些金子放債，年之間，連本帶利，可以得到兩金子.這時拿出三分之二來買房置地，三分之一用來買奴婢，娶小老婆.我和你就可以過上神仙一樣的日子.” 起初，妻子聽他的打算，倒也樂得眉飛色舞，后來聽到他要娶小老婆，氣就不打一處來，伸手一巴掌，把雞蛋打在地上摔碎了.故事趣說證明 一個雞蛋的家當(dāng) 丈夫一看雞蛋摔碎了，美妙的打算霎時成了泡影，就揪住妻子痛打一頓，然后把她送到官府. 縣官聽了十分好笑，叫了起來：“哎呀！這么大的一份家當(dāng)，全壞在她