實(shí)變函數(shù)論南輔導(dǎo)課程十至十四課件

1、實(shí)變函數(shù)主講教師 ：吳行平輔導(dǎo)課程十實(shí)變函數(shù)主講教師 ：吳行平輔導(dǎo)課程十例1 設(shè) 為可測(cè)集，試證 證明 若 或 ， 則結(jié)論顯然若 且 ，則由 可測(cè)，取例1 設(shè) 為可測(cè)集，試證 證明 若 實(shí)變函數(shù)論南輔導(dǎo)課程十至十四課件例2 考察康脫閉集 與相應(yīng)的開集 由上面定義知， =1- =0注意：這里我們得到了一個(gè)測(cè)度為0 的不可數(shù)集的例子例2 考察康脫閉集 與相應(yīng)的開集 注意：這里我們得到了一第三節(jié) 可 測(cè) 集（續(xù)）定理1 （1） 凡外測(cè)度為零的集合是可測(cè)集， 我們稱為零測(cè)集。（2） 零測(cè)集之任何子集仍為零測(cè)集。（3） 有限個(gè)或可數(shù)個(gè)零測(cè)集之并仍為 零測(cè)集。證明：設(shè) ，則對(duì)任何集合 ，有第三節(jié) 可 測(cè)

2、集（續(xù)）定理1 證明：設(shè) ，定理 2 區(qū)間都是可測(cè)集，且 定理 3 開集、閉集都是可測(cè)集。證明 因?yàn)槿魏畏强臻_集可表示為可數(shù)多個(gè)互不相交的左開右閉區(qū)間之并，而區(qū)間是可測(cè)的，故開集可測(cè)。閉集作為開集之余集也是可測(cè)的 。定理 2 區(qū)間都是可測(cè)集，且 證明 因?yàn)槿魏畏?我們指出重要的一類集，它從開集出發(fā)，通過取余集，作至多可列次或并或交的運(yùn)算，所得到的集統(tǒng)稱為波雷爾集。這樣，一切波雷爾集是可測(cè)的。特別，波雷爾集中有這樣的集值得注意，一種是可表為可列個(gè)開集的交，稱為 集；另一種是可表為可列個(gè)閉集的并，稱為 集。它們可用來構(gòu)造任意可測(cè)集的測(cè)度。定理 5 凡波雷爾集都是可測(cè)集。 我們指出重要的一類集，它從

3、開集出發(fā)，通過取余集，作至多可定理6 設(shè)E是可測(cè)集，則存在 型集 使 且 證明 （1）先證 任意給的 ， 存在開集G, 使 ，且 。為此，先設(shè) ，則由測(cè)度的定義，有一列開區(qū)間 使定理6 設(shè)E是可測(cè)集，則存在 型集 使證明 （1）先令 ，則 為開集， ， 令 ，則 為開集， ， 其次，設(shè) ，這時(shí) 必為無界集，但它總可表示成可數(shù)多個(gè)互不相交的有界可測(cè)集的并 則 為開集，且其次，設(shè) ，這時(shí) 必為無界集，但它總可表示成實(shí)變函數(shù)論南輔導(dǎo)課程十至十四課件（2）依次取 ， 由證明中的（1）存在開集 ，使 ，則 為 型集且 （2）依次取 ， 由則 定理7 設(shè)E是可測(cè)集，則存在 型集 使 且 證明 因 可測(cè)，由

4、定理6存在 型集 G使 ， 。令 ，則 為 型集且定理7 設(shè)E是可測(cè)集，則存在 型集 證明 因 可測(cè)，注意1 定理 6和定理7表明，可測(cè)集E是與某個(gè) 集或某個(gè) 集僅相差一個(gè)零測(cè)集。由于其逆也成立，這樣我們就獲得了一切可測(cè)集的構(gòu)造。注意2 不可測(cè)集是存在的。 注意1 定理 6和定理7表明，可測(cè)集E是與某個(gè) 集或某個(gè)實(shí)變函數(shù)主講教師 ：吳行平輔導(dǎo)課程十一實(shí)變函數(shù)主講教師 ：吳行平輔導(dǎo)課程十一第四章 可測(cè)函數(shù) 本章引進(jìn)一個(gè)新的函數(shù)類可測(cè)函數(shù)類，并討論它的性質(zhì)，為下一章的勒貝格積分作準(zhǔn)備。我們將看到，可測(cè)函數(shù)與我們熟悉的連續(xù)函數(shù)有密切的聯(lián)系，在可測(cè)函數(shù)類中進(jìn)行運(yùn)算，如代數(shù)運(yùn)算、取極限運(yùn)算等是相當(dāng)方便的

5、，所得結(jié)果仍是可測(cè)函數(shù)。 第四章 可測(cè)函數(shù) 本章引進(jìn)一個(gè)新的函數(shù)類第一節(jié)可測(cè)函數(shù)及其基本性質(zhì) 本節(jié)主要介紹可測(cè)函數(shù)的概念及其性質(zhì)，通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，我們要掌握可測(cè)函數(shù)的概念，可測(cè)函數(shù)的基本性質(zhì)，即可測(cè)函數(shù)的四則運(yùn)算和極限運(yùn)算仍為可測(cè)函數(shù)，同時(shí)我們要知道可測(cè)集上的連續(xù)函數(shù)，簡(jiǎn)單函數(shù)，區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)均為可測(cè)函數(shù)。另外，本節(jié)最后給出的“幾乎處處”概念是一個(gè)很重要的概念 第一節(jié)可測(cè)函數(shù)及其基本性質(zhì) 本節(jié)主要介紹可測(cè)函 設(shè)E是 一個(gè)可測(cè)子集（有界或無界）， 是定義在E上的實(shí)函數(shù)（其值可以為無窮大）。關(guān)于包含 在內(nèi)的實(shí)數(shù)運(yùn)算作如下規(guī)定： 是全體有限實(shí)數(shù)的上確界， 是全體有限實(shí)數(shù)的下確界： 上（下）方無界的

6、遞增（減）數(shù)列 設(shè)E是 一個(gè)可測(cè)子集（有界或無界）， 是定義在E上的對(duì)于任何有限實(shí)數(shù) 對(duì)于任何有限實(shí)數(shù) 無意義設(shè) 是任一實(shí)數(shù)，記 =無意義設(shè) 是任一實(shí)數(shù)，記 =定義1 設(shè) 是定義在可測(cè) 集 E上的實(shí)函數(shù)。如果對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù) 集 恒可測(cè)（勒貝格可測(cè)），則稱 是定義在 E上的（勒貝格）可測(cè)函數(shù)。定義1 設(shè) 是定義在可測(cè) 集 E上的實(shí)函數(shù)。如果對(duì)每 定理1 設(shè) 是定義在可測(cè) 集 E上的實(shí)函數(shù)，下列任一個(gè)條件都是 在 E上（勒貝格）可測(cè)的充要條件：（1） 對(duì)任何有限實(shí)數(shù) ， 都可測(cè)；（2） 對(duì)任何有限實(shí)數(shù) ， 都可測(cè)；（3） 對(duì)任何有限實(shí)數(shù) ， 都可測(cè)；（4） 對(duì)任何有限實(shí)數(shù) ， 都可測(cè) 定理1 設(shè) 是

7、定義在可測(cè) 集 E上的實(shí)函數(shù)，下列任一個(gè)證明 與 對(duì)于E是互余的，同樣 與 對(duì)于E也是互余的。故在前三個(gè)條件中，只須證明（1）的充要性。事實(shí)上，易知=證明 與 對(duì)于E是互余的，同關(guān)于（4）的充要性，只需注意表示式 = 時(shí) = 關(guān)于（4）的充要性，只需注意表示式推論 1 設(shè) 在E上可測(cè)，則 總可測(cè)，不論 是有限實(shí)數(shù)或 ， 。 證 只需注意-=推論 1 設(shè) 在E上可測(cè)，則 總可測(cè)，不論 例1 定義在零測(cè)集上的任意實(shí)函數(shù)均 為可測(cè)函數(shù)。事實(shí)上，零測(cè)集的子集總是可測(cè)集。每一個(gè)實(shí)數(shù) ，集 恒可測(cè) 例2 區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)及 單調(diào)函數(shù)都是可測(cè)函數(shù)。 例1 定義在零測(cè)集上的任意實(shí)例1設(shè) = ，在 上定義狄里

8、克雷 函數(shù)如下： =由于對(duì)任意實(shí)數(shù) ，集 為 （當(dāng) ）， 中有理點(diǎn)集 空集 。 它們都是可測(cè)集。故 是E上的可測(cè)函數(shù)。例1設(shè) = ，在 上定義狄定義2 定義在 的實(shí)函數(shù) 稱為在 連續(xù)，如果 有限，而且對(duì)于 的任鄰域 ，存在 的某鄰域 ，使得 ，即只要 且 時(shí)，便有 。如果 在E中每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱 在E上連續(xù)。定義2 定義在 的實(shí)函數(shù) 稱為在 定義 3 設(shè) 的定義域E可分為有限個(gè)互不相交的可測(cè)集 ， = ，使 在每個(gè) 上都等于某個(gè)常數(shù) 則稱 為簡(jiǎn)單函數(shù)。定義 3 設(shè) 的定義域E可分為有限個(gè)互不相交的可測(cè)集例4 可測(cè)集E上的連續(xù)函數(shù)是可測(cè)函數(shù)。 事實(shí)上，設(shè) ，則由連續(xù)性假設(shè)，存在x的某鄰域 ，使

9、令 = =例4 可測(cè)集E上的連續(xù)函數(shù)是可測(cè)函數(shù)。 事實(shí)上，設(shè) 定理2 （1）設(shè) 是可測(cè)集E上的可測(cè)函數(shù)，而 為可測(cè)子集，則 看作定義在 上的函數(shù)時(shí)，它是 上的可測(cè)函數(shù)； （2） 設(shè) 是定義在有限可測(cè)集 的并集 上，且在每個(gè) 上 都可測(cè)，則 在E上也可測(cè)。定理2 （1）設(shè) 是可測(cè)集E上的可測(cè)（2） 設(shè) 證 （1）對(duì)于任何有限數(shù) ， = ，由假設(shè)等式右邊是可測(cè)集。（2） E是可測(cè)集而且對(duì)于任何有限數(shù) ，有 =由假設(shè)等式右邊是可測(cè)集。證 （1）對(duì)于任何有限數(shù) ， 例1任何簡(jiǎn)單函數(shù)都是可測(cè)函數(shù)。 事實(shí)上，定義在可測(cè)集上的常值函數(shù)顯然是可測(cè) 的，由定理2便知任何 簡(jiǎn)單函數(shù)都是可測(cè)函數(shù)。例1任何簡(jiǎn)單函數(shù)都

10、是可測(cè)函數(shù)。定理3 設(shè) 是 上一列（或有限個(gè)）可測(cè)函數(shù)，則 = 與 都是可測(cè)函數(shù)。證 由于 = ， =而得證。 定理3 設(shè) 是 上一列（或有限個(gè)）可測(cè)函數(shù)，則定理4 設(shè) 是 上一列可測(cè)函數(shù)，則= ，也在E上可測(cè)，特別當(dāng) = 存在時(shí)，它也在E上可測(cè)。 定理4 設(shè) 是 上一列可測(cè)函數(shù)，則也在E上可測(cè)，證 由于 = ， =重復(fù)應(yīng)用定理3即得證。證 由于實(shí)變函數(shù)主講教師 ：吳行平輔導(dǎo)課程十二實(shí)變函數(shù)主講教師 ：吳行平輔導(dǎo)課程十二定理5 設(shè) 是可測(cè)集E上的可測(cè)函數(shù)，則 總可以表示成一列簡(jiǎn)單函數(shù) 的極限函數(shù)，而且還可辦到證 （1） 情形。對(duì)每個(gè)自然數(shù)n, 定義定理5 設(shè) 是可測(cè)集E上的可測(cè)函數(shù)，則 總可以

11、表則 為E上的簡(jiǎn)單函數(shù)，且不難證明 我們證明 = 。則 為E上的簡(jiǎn)單函數(shù)，且不難證明 我們證明 如果 = + ，則 = + 。 如果 + ，則有自然數(shù)N，使 從而當(dāng) 時(shí) 如果 = + ，則 如果 + （2）一般情形令 =sup , =sup 則 ， 都是非負(fù)可測(cè)函數(shù)， （2）一般情形 =sup 對(duì) ， 作出相應(yīng)的簡(jiǎn)單函數(shù)列 ， 則 = - ，即為所求。 由此得到：函數(shù) 在 E上可測(cè) 的充要 條件是 總可以表示成一列簡(jiǎn)單函數(shù) 的極限函數(shù)，其中對(duì) ， 作出相應(yīng)的簡(jiǎn)單函數(shù)列 由此得到：函定理6 在可測(cè)集E上定義的兩個(gè)可測(cè)函數(shù)的和、差、積、商（假定運(yùn)算有意義）都是可測(cè)的。證 設(shè) ， 是E上可測(cè)函數(shù)。故

12、存在兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)列 ， , 使得 lim , lim = . 定理6 在可測(cè)集E上定義的兩個(gè)可測(cè)函數(shù)的和、差、積、商（假Lim = limlim顯然兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算仍是簡(jiǎn)單函數(shù)，據(jù)定理5知結(jié)論成立。Lim 定義 4 如果命題S在集E上除了某個(gè)零測(cè)度子集外處處成立，則說命題S在集E上幾乎處處成立，記為S,a.e. 命題S也指某一性質(zhì)而言。 例1，兩函數(shù)f與g幾乎處處相等指的是f與g不相等的點(diǎn)集 的測(cè)度為零，而在 上處處有容易證明， 兩個(gè)幾乎處處相等的函數(shù)具有相同的可測(cè)性。即改變函數(shù)在一個(gè)零測(cè)集上的函數(shù)值不改變其可測(cè)性。定義 4 如果命題S在集E上除了某個(gè)零測(cè)度子集外處處成立，例2 幾乎處處

13、有限 取值為無窮大的點(diǎn)集為零測(cè)集。例3 幾乎處處收斂 不收斂的點(diǎn)集為零測(cè)集。例4 幾乎處處為正 函數(shù)值不是正數(shù)的點(diǎn)集為零測(cè)集例2 幾乎處處有限第 二 節(jié) 葉果洛夫定理 本節(jié)主要介紹一個(gè)重要定理葉果洛夫定理。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，我們要知道，對(duì)于定義在測(cè)度有限的可測(cè)集上的幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列，幾乎處處收斂與“基本上”一致收斂是等價(jià)的，同時(shí)我們要知道，葉果洛夫定理的逆定理總是成立的。 第 二 節(jié) 葉果洛夫定理 本節(jié)主要介紹一個(gè)重要 在數(shù)學(xué)分析中知道一致收斂是函數(shù)列非常重要的性質(zhì)，它能保證極限過程和一些運(yùn)算的可交換性。但一般而論，一個(gè)收斂的函數(shù)列在其收斂域上是不一定一致收斂的。 例如 在 上不一致收斂

14、。但是只要從 的右端點(diǎn)去掉任意小的一段成為 ，則 在其上就一致收斂了。其實(shí)這一現(xiàn)象在某種意義下是帶有普遍意義的。 在數(shù)學(xué)分析中知道一致收斂是函數(shù)列非常重要的性質(zhì)，它 引理 設(shè) ， 是E上一列幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列， 是E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)， 在E上幾乎處處收斂于 ，則對(duì)任意 和任意自然數(shù)n，作我們有 引理 設(shè) ， 是E上一列幾乎處處有限證明 首先， 作為可測(cè)函數(shù)列的極限 函數(shù)是可測(cè)的 可測(cè)其次，根據(jù)關(guān)于 與 的假設(shè)， 證明 首先， 作為可測(cè)函數(shù)列的極限可測(cè)其次，根據(jù)關(guān)于實(shí)變函數(shù)論南輔導(dǎo)課程十至十四課件實(shí)變函數(shù)論南輔導(dǎo)課程十至十四課件推論 1 設(shè) ， 是E上一列幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列，

15、 是E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)， 在E上幾乎處處收斂于 ，則對(duì)任意 有證明 由于 所以再由引理即得證 推論 1 設(shè) ， 是E上一列幾乎處處有定理（葉果洛夫定理） 設(shè) ， 是E上一列幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列， 是E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)， 在E上幾乎處處收斂于 ，則對(duì)任意 ，存在子集， 使在 上 一致收斂，且 。定理（葉果洛夫定理）證明 任選一列自然數(shù) ，與此相應(yīng) 作 的子集則 必在 上一致收斂于 事實(shí)上，對(duì)任給 ， 選 使 則當(dāng) 時(shí)，對(duì)一切 ，都有 證明 任選一列自然數(shù) ，與此相應(yīng)則 必在 所以當(dāng)給定了任一個(gè) 之后， 如果能適當(dāng)?shù)倪x取 ，使 則 令 ，它就滿足定理的要求。 但由引理，對(duì)于 分

16、別存在充分大的 ，使 所以當(dāng)給定了任一個(gè) 之后， 如果能適當(dāng)?shù)倪x取 故只要選取滿足這條件的 ，就有故只要選取滿足這條件的 ，就有 這個(gè)定理告訴我們，凡是滿足定理假設(shè)的幾乎處處收斂的可測(cè)函數(shù)列，即使不一致收斂，也是“基本上”（指去掉一個(gè)測(cè)度可任意小的某點(diǎn)集外）一致收斂，因此在許多場(chǎng)合它提供了處理極限交換問題的有力工具。 這個(gè)定理告訴我們，凡是滿足定理假設(shè)的幾乎處處收斂的注意1：當(dāng) 時(shí)，定理不成立 例：設(shè) 則令則 可測(cè)，且但對(duì) ，結(jié)論不成立注意1：當(dāng) 時(shí)，定理不成立 例：設(shè) 注意 2 逆定理當(dāng) 和 時(shí)都成立證明 對(duì) ，存在在 上， 一致收斂于注意 2 逆定理當(dāng) 另一方面，當(dāng) 時(shí)，存在某使由于在 上

17、， 一致收斂于故一致收斂于另一方面，當(dāng) 時(shí)，存在某由于在 實(shí)變函數(shù)主講教師 ：吳行平輔導(dǎo)課程十三實(shí)變函數(shù)主講教師 ：吳行平輔導(dǎo)課程十三第 三 節(jié) 可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造 前面我們已經(jīng)知道，可測(cè)集上的連續(xù)函數(shù)一定是可測(cè)函數(shù)。反之，一般的可測(cè)函數(shù)可以說是“基本上連續(xù)”的函數(shù)。這就是下面的定理：第 三 節(jié) 可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造 前面我們已經(jīng)知道，可測(cè)集定理 1 （魯津定理）設(shè) 是使在上是連續(xù)函數(shù)，且簡(jiǎn)言之， 上幾乎處，存在閉子集上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任意 處有限的可測(cè)函數(shù)是“基本上連續(xù)”的函數(shù)。定理 1 （魯津定理）設(shè) 是使在上是連續(xù)函證明 我們從特殊到一般分三種情形來討論。簡(jiǎn)單函數(shù)情形?？蓽y(cè)互不相交，且

18、=，當(dāng) 證明 我們從特殊到一般分三種情形來討論。簡(jiǎn)單函數(shù)情形。實(shí)變函數(shù)論南輔導(dǎo)課程十至十四課件實(shí)變函數(shù)論南輔導(dǎo)課程十至十四課件實(shí)變函數(shù)論南輔導(dǎo)課程十至十四課件由（1）知，存在閉集 。使 在 上是連續(xù)的，且 令 ，顯然 且 在閉集 上是 一致收斂于 的連續(xù)函數(shù)列，從而 是 上的連續(xù)函數(shù)，且 。實(shí)際上由（1）知，存在閉集 。使 （3） 情形。 令 為球 。 由（2）知， 在 上是基本上連續(xù)。即存在閉子集 ，使 在 上是連續(xù)的且（3） 情形。 令由（2）知， 在 上是令 ，由 的特殊作法，我們?nèi)菀鬃C明， 在 上是連續(xù)且 而 仍為閉集。注1 該定理的證明方法值得注意，先考慮簡(jiǎn)單函數(shù)，再往一般的可測(cè)函數(shù)過渡。令 ，由 的特殊作法注2 該定理使我們對(duì)可測(cè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)有了進(jìn)一步的了解 ，它揭示了可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系。在應(yīng)用上通過它常?？梢园延嘘P(guān)的可測(cè)函數(shù)問題歸結(jié)為連續(xù)函數(shù)的問題，從而得以簡(jiǎn)化。注3 該定理的逆定理也是成立的。 注2 該定理使我們對(duì)可測(cè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)有了進(jìn)一步的了解 ，它揭實(shí)變函數(shù)論南輔導(dǎo)課程十至十四課件實(shí)變函數(shù)論南輔導(dǎo)課程十至十四課件實(shí)變函數(shù)論南輔導(dǎo)課程十至十四課件實(shí)變函數(shù)論南輔導(dǎo)課程十至十四課件實(shí)變函數(shù)論南輔導(dǎo)課程十至十四課件實(shí)變函數(shù)論南輔導(dǎo)課