關(guān)于速度合成定理兩種推導(dǎo)法的統(tǒng)一性分析

1、關(guān)于速度合成定理兩種推導(dǎo)法的統(tǒng)一性分析摘要：理論力學(xué)中，關(guān)于點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理的幾何法推導(dǎo)長(zhǎng)期存在爭(zhēng)議，嚴(yán)重影響該 部分內(nèi)容的教學(xué)。文章基于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)描述的矢量法，剖析了推證速度合成定理的解析法與幾何法, 根據(jù)運(yùn)動(dòng)分解的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，論證了幾何法的合理性與嚴(yán)謹(jǐn)性，同時(shí)闡明了兩種推導(dǎo)法在物理概念和 數(shù)學(xué)推導(dǎo)方面的統(tǒng)一性。為了便于教與學(xué)，將兩種方法分別歸納為運(yùn)動(dòng)耦合求導(dǎo)法和運(yùn)動(dòng)解耦分 析法。關(guān)鍵詞：復(fù)合運(yùn)動(dòng)；速度合成定理；理論力學(xué)On the Unity of Two Deductive Methods of Velocity Synthesis TheoremAbstract: In theor

2、etical mechanics, the derivation of velocity synthesis theorem of a particle by the geometric method has been controversial for a long time, which seriously affects the associated teaching. In this paper, two deductive methods, i. e. , the analytical method and geometric method, for velocity synthes

3、is theorem are analyzed based on the vector method of kinematics of a particle. In the light of mathematical connotation of motion decomposition，the reasonability and strictness of the geometric method are illustrated. Meanwhile, the unity of the two deductive methods in physical conceptions and mat

4、hematical deductions is demonstrated. In order to facilitate teaching and learning, the two methods are respectively referred to as differentiation of coupled motion and analysis of decoupled motion.Key words： composite motion; theorem of velocity synthesis; theoretical mechanics0引言速度合成定理是理論力學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)

5、和難 點(diǎn)，涉及的諸多概念不僅抽象，而且相互關(guān)系錯(cuò)綜 復(fù)雜，教師講授與學(xué)生學(xué)習(xí)都有不少困惑。關(guān)于 速度合成定理的推導(dǎo)，文獻(xiàn)中有兩種方法，所謂的 解析法UT與幾何法卜刃。必須指出：長(zhǎng)期以來(lái), 關(guān)于速度合成定理的幾何法推導(dǎo)，爭(zhēng)議頗多。然 而，大多數(shù)理論力學(xué)教材正是采用幾何法，因此這 種爭(zhēng)議會(huì)直接影響到理論力學(xué)的課堂教學(xué)。質(zhì)疑幾何法的教師認(rèn)為:幾何法中牽連位移 的概念模糊，相對(duì)速度的數(shù)學(xué)推導(dǎo)有誤*%。而 支持幾何法的教師則認(rèn)為:幾何法證明速度合成 定理同樣具有普遍性，而且直觀、簡(jiǎn)明、易懂4皿。 孰是孰非，問(wèn)題擺在了廣大教師面前。我們有理 由相信這種爭(zhēng)議會(huì)促使廣大教師對(duì)速度合成定理的推證過(guò)程進(jìn)行深入思考

6、,進(jìn)而改善教學(xué)本文將基于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)描述的矢量法，深入剖 析三種運(yùn)動(dòng)(速度)的物理和數(shù)學(xué)內(nèi)涵;給出速度 合成定理的解析法與幾何法推導(dǎo)過(guò)程，并闡明其 求解思路的差異、模型構(gòu)建的異同,以及數(shù)學(xué)表征 的特殊性;根據(jù)差異性分析,論證相關(guān)概念的準(zhǔn)確 性,以及兩種推證的合理性與統(tǒng)一性。1描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢量法1.1絕對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于定系的運(yùn)動(dòng)稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) 相對(duì)于定系的運(yùn)動(dòng)軌跡則稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。先 回顧一下點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)描述的矢量法。設(shè)點(diǎn)P沿圖1 所示軌跡運(yùn)動(dòng)，從瞬時(shí)=到=+(=,動(dòng)點(diǎn)由M運(yùn)動(dòng)到M，相對(duì)定系的矢徑分別為$和r。#MM = $ - $ = $(1)(2)它在=瞬時(shí)的絕對(duì)速度可描述為$ dr dx.

7、 蚣=d=(1)(2)它在=瞬時(shí)的絕對(duì)速度可描述為$ dr dx. 蚣=d=d=#dv d=1.2相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)為相對(duì)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)相 對(duì)于動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)軌跡則為相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。設(shè)動(dòng)點(diǎn) P沿圖2所示軌跡運(yùn)動(dòng)，從瞬時(shí)=到=+ =,動(dòng)點(diǎn)由 M運(yùn)動(dòng)至M2，相對(duì)于動(dòng)系C，xDz的矢徑分別為 p和則動(dòng)點(diǎn)P在=內(nèi)的相對(duì)位移為$#= - p = ( 3)必須指出，該位移須在動(dòng)系中觀測(cè)山。同時(shí)，給 出動(dòng)點(diǎn)在=瞬時(shí)的相對(duì)速度為p clp dx., dy., &,= lim =# +.J + T(d = d= d= d= d=方向沿相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡在M點(diǎn)的切線。注意，動(dòng)點(diǎn) 相對(duì)于動(dòng)系之矢徑p稱為相對(duì)矢徑，該矢量在

8、動(dòng) 系中對(duì)時(shí)間=的導(dǎo)數(shù)稱為相對(duì)導(dǎo)數(shù)。相對(duì)導(dǎo)數(shù)并 不能反映動(dòng)系相對(duì)于定系的運(yùn)動(dòng)情況。圖2動(dòng)系中點(diǎn)的速度描述2速度合成定理的兩種推證2.1解析法(運(yùn)動(dòng)耦合求導(dǎo)法)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P,定系原點(diǎn)為C;動(dòng)系固連于某剛 體;動(dòng)系原點(diǎn)為。,其絕對(duì)矢徑為$0；動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì) 矢徑為$,相對(duì)矢徑為P解析法的總體思路就是 基于圖3所示的矢量關(guān)系，直接求矢導(dǎo)數(shù),然后根 據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)描述的矢量法，尋求三種速度之間的 關(guān)系。圖3矢量關(guān)系圖圖示矢量滿足圖3矢量關(guān)系圖$ = $c + p = $c + xi + yf + zk( 5)上式在定系中對(duì)時(shí)間=求導(dǎo)，有d$ dp d$ C d= d= d=式中，節(jié)=d$C -d=業(yè)= dxTi

9、 +、 + Mk + x也 + d=d=d=式中，節(jié)=d$C -d=d=,d(、V IT,考慮到式d=,d(、V IT,=&*+ # x ( 4#+ D0+ z() = &*+ # xp ( 8) d=式中#為動(dòng)系繞。點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。從而得到= &* + v0- + # xp( 9)式中&0 + # xp是動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)P重合的點(diǎn)相對(duì) 于定系的速度，即牽連速度于是，可得速度合 成定理的表達(dá)式= &* +( 10)因?yàn)闋窟B運(yùn)動(dòng)為動(dòng)系相對(duì)于定系的運(yùn)動(dòng)，所以，當(dāng) 動(dòng)系平移時(shí)，+ =0，ve = &0；當(dāng)動(dòng)系繞0作定軸轉(zhuǎn) 動(dòng)時(shí)，= # xpa2.2幾何法(運(yùn)動(dòng)解耦分析法)設(shè)在=瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)處在S位置,與動(dòng)

10、系重合的 點(diǎn)為假定動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系04dv沿某一曲線(即相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡)運(yùn)動(dòng)的同時(shí),動(dòng)系本身相對(duì) 于定系作某種運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)微小時(shí)間間隔(=，動(dòng)點(diǎn) 相對(duì)于定系由S點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至S點(diǎn)。該絕對(duì)運(yùn)動(dòng)可 視為兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)，通常分解為:動(dòng)點(diǎn)先隨 動(dòng)系從S點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至S1點(diǎn),該過(guò)程無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng);后 沿相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡從S1點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至S點(diǎn)，該過(guò)程無(wú) 牽連運(yùn)動(dòng)。相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡見(jiàn)圖4其矢端圖即為動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡(圖4)，則動(dòng)點(diǎn)絕對(duì)速度可描述為#$S 一$S MS $ d$= limA= limA = hm 丁 = ( 12)#o =-#o =_#o = d=方向沿著絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡在M點(diǎn)的切線，指向運(yùn)動(dòng) 前進(jìn)的方向2. 2. 2 牽

11、連速度牽連速度即牽連點(diǎn)相對(duì)于定系的速度雖然 牽連點(diǎn)具有瞬時(shí)性，但是在所關(guān)注的=瞬時(shí)，只需 研究牽連點(diǎn) 的絕對(duì)速度此時(shí)，點(diǎn) 就是動(dòng)系 上一個(gè)既定的點(diǎn)要求出點(diǎn) 的絕對(duì)速度，需要 知道它的運(yùn)動(dòng)方程為此,引入點(diǎn) 相對(duì)于定系的矢徑$，如圖4所示，進(jìn)而給出=時(shí)刻 的絕對(duì) 速度:#-rMM1$d$& = lim = lim- = #-rMM1$d$& = lim = lim- = lim=, =-# =-# =-# =d=進(jìn)一步用解析法進(jìn)行深入分析牽連點(diǎn)的絕 對(duì)矢徑表示為$ = $o- + p ,0,為動(dòng)系原點(diǎn)，對(duì)該 矢量關(guān)系式在定系中求導(dǎo)，有d$ 虹*業(yè)(14)d= d=(14)d#(dd#(d= +d=

12、d=d=導(dǎo)數(shù)式中土 = * = K，t = O，而相對(duì)矢徑的絕對(duì)導(dǎo)數(shù)dp d4M,也也*d=d= + d= + d= *(15)運(yùn)動(dòng)分解后,動(dòng)點(diǎn)隨動(dòng)系從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至M1點(diǎn)的過(guò) 程中無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng),牽連點(diǎn) 相對(duì)于動(dòng)系靜止，即(16)下文將基于運(yùn)動(dòng)分解的數(shù)學(xué)內(nèi)涵尋求=瞬時(shí) 動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度與相對(duì)速度、牽連速度之間 的關(guān)系2.2.1絕對(duì)速度根據(jù)點(diǎn)的速度的矢量描述方法，若絕對(duì)矢徑 隨時(shí)間的變化規(guī)律已知，即$ = $( =)(11)由于動(dòng)點(diǎn)與牽連點(diǎn)重合，有Pm =們且&* =0,&7 = &-& * z 子=lim = limA= limA d= =-*o = =-#o=-#o =(20) 不難理解，相對(duì)于動(dòng)系

13、而言，式(19)和式(20)所 描述的相對(duì)速度是完全相同的。進(jìn)一步用解析法對(duì)式(20)進(jìn)行深入分析。 注意到，運(yùn)動(dòng)分解后，動(dòng)點(diǎn)沿相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí) 無(wú)牽連運(yùn)動(dòng)影響，即動(dòng)系相對(duì)于定系的位置處于 設(shè)想中的凍結(jié)狀態(tài)，在任意=時(shí)刻，有d#- d/- d(- n&c- =017 = K = 17 =0此條件下，對(duì)式(5)求絕對(duì)導(dǎo)數(shù)，得絕對(duì)速度與相 對(duì)速度&*相等;且相對(duì)矢徑p的絕對(duì)導(dǎo)數(shù)與相對(duì) 導(dǎo)數(shù)相等，為=瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)之相對(duì)速度，即坐_ p_ 也 dD-,(，一 &d= d= d= d=d=式(22)具有很強(qiáng)的實(shí)際指導(dǎo)意義，即在定系中畫(huà) 任意=瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)之相對(duì)速度矢量時(shí)，其方向沿相 對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡在M點(diǎn)的切線。2

14、.2.4速度合成上述分析中,$為動(dòng)點(diǎn)P的絕對(duì)位移,為 動(dòng)點(diǎn)P的相對(duì)位移，而$為動(dòng)系上 點(diǎn)的絕對(duì) 位移，見(jiàn)圖5圖5速度合成圖$ = + $ MM- = MM$ + M$ M- 式(23)兩邊同時(shí)除以=，在定系中令=-0， 取極限，有$ MM MMiM $ M-limA = limA + limA=-0 = =-0 = =-0 =， 對(duì)式(24)逐項(xiàng)進(jìn)行分析，注意到式(12)和 (13)，有 TOC o 1-5 h z ,MM$lim； = lim = &, =-0 = =-0 = aMM.$limA = lim= &7=-0 =-0 =最后一個(gè)極限包含兩層含義，即動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系 均無(wú)限趨近于其=時(shí)刻在定系中所處的位置，同 時(shí)考慮到式(22)，有 TOC o 1-5 h z .M,M- . MM2limA = limA = &*( 26)=-0 =-0 =*從定系中看,相對(duì)速度沿相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡在M點(diǎn)的 切線，而絕非沿圖5中的M$點(diǎn)之切線，因?yàn)?趨 于零時(shí),Mi點(diǎn)無(wú)限趨近于M點(diǎn)至此，相對(duì)速度相對(duì)于定系和動(dòng)系的大小和 方向也唯一確定，從而可得點(diǎn)的速度合成定理 特別指出:幾何法本質(zhì)上是運(yùn)動(dòng)解偶分析法，我們 認(rèn)為其求解思