新人教版-八年級數(shù)學(xué)上-全等三角形-全章課件超

1、第十二章 全等三角形八年級數(shù)學(xué)上12.1全等三角形能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。像上面能夠完全重合的三角形叫ABCABCABCABCABCABCABCABCBACABC全等三角形互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。記做：ABCABC 讀做：ABC全等于ABC根據(jù)上圖指出對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊和對應(yīng)角。1、觀察上圖中的全等三角形應(yīng)表示為: 。ABCDEF注意：記兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。2、根椐全等三角形的定義試想它們的對應(yīng)邊、對應(yīng)角有什么關(guān)系？ 請完成下面填空： ABC DEF（已知） AB DE，BC EF，AC DF

2、A D，B E，C F。3、由此可得全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等全等三角形的對應(yīng)角相等思考一： 若你手上有一張長方形紙片，如何是長方形變成兩個最大的全等三角形，而總面積又沒有 變化？思考二：拓展與延伸 下圖是一個等邊三角形，你能把它分成兩個全等三角形嗎？你能把它分成三個全等三角形嗎？四個呢？例 如圖已知 AOC BOD求證：ACBDABCD2 如圖ABCCDA，AB=CD，用等式寫出兩個三角形其它的對應(yīng)邊和對應(yīng)角。3 如圖：已知ABDACE，且AB=AC，用等式寫出兩個三角形的其它對應(yīng)邊和對應(yīng)角。CEBAD公共角為對應(yīng)角ABDEC4 如圖ABCEDC，A=E，用等式寫出兩個三角形其

3、它的對應(yīng)角和對應(yīng)邊。對頂角為對應(yīng)角5 如圖：ABCABD，且AC=AD，用等式寫出這兩個三角形的其它對應(yīng)邊和對應(yīng)角。 公共邊為對應(yīng)邊ABCD三、請指出下列全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角1、 ABE ACF對應(yīng)角是： A和A、 ABE和ACF、 AEB和AFC；對應(yīng)邊是AB和AC、AE和AF、BE和CF。2、 BCE CBF對應(yīng)角是： BCE和 CBF、 BEC和CFB、 CBE和 BCF。對應(yīng)邊是：CB和BC、CE和BF、CF和BE。3、 BOF COE對應(yīng)角是: BOF和COE、 BFO 和CEO、 FOB和EOC。對應(yīng)邊是：OF和OE、OB和OC、BF和CE。3、如圖 ABD CDB，若AB=

4、4，AD=5，BD=6，則BC= ，CD= 。4、如圖ABD EBC，AB=3cm,BC=5cm,求DE的長課堂小結(jié)1、能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形2、全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等3、全等三角形用符號“”表示，且一般對應(yīng)頂點寫在對應(yīng)位置上4 、找全等三角形對應(yīng)邊和對應(yīng)角的方法：達標測試1、能夠 的兩個圖形叫做全等形。兩個三角形重合時，互相 的頂點叫做對應(yīng)頂點。記兩個全等三角形時，通常把表示 頂點的字母寫在 的位置上。ABCDE2、如圖ABC ADE若D= B， C= AED，則DAE= ； DAB= 。 全等三角形的運用舉例例1 已知如圖ABCDFE，A=96，B=25，DF=

5、10cm。求 E的度數(shù)及AB的長。BACEDF例2 已知如圖 CDAB于D，BEAC于E，ABEACD，C=20，AB=10，AD=4，G為AB延長線上的一點。求 EBG的度數(shù)及CE的長。ECADBGF例3如圖：已知ABCADE，BC的延長線交DA于F，交DE于G，ACB=105，CAD=10，D=25。求 EAC，DFB，DGB的度數(shù)。DGEACFB2. 叫做全等三角形。1. 能夠完全重合的兩個圖形叫做 。全等形4.全等三角形的 和 相等對應(yīng)邊對應(yīng)角對應(yīng)頂點全等三角形知識回顧 能夠完全重合的兩個三角形3.“全等”用符號“ ”來表示，讀作“ ”對應(yīng)邊對應(yīng)角全等于 其中：互相重合的頂點叫做 互相

6、重合的邊叫做互相重合的角叫做 1.與圖1所示圖形全等的圖形是2.將圖2所示繞A點順時針轉(zhuǎn)90所得到的圖形是圖1AABCBACDBCD圖2DB 3. ABCFED寫出圖中所有相等的線段，相等的角； 圖中線段、角除相等外，還有什么關(guān)系嗎？ A B C D E F 隨堂練習(xí)百 “練” 成 鋼不要漏掉BD=ECABFE ACFD4.如圖,矩形ABCD沿AM折疊,使D點落在BC上的N點處,如果AD=4cm,DM=3cm, DAM=39,則AN=_cm, NM=_cm, NAB=_ _.MDANBC4cm3cm）3943 3912.2全等三角形的判定學(xué)習(xí) 目標1掌握三角形全等的“邊邊邊”定理2了解三角形的

7、穩(wěn)定性3經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程 預(yù)習(xí) 探路1你能用尺規(guī)作兩個三角形全等嗎？2什么是”邊邊邊”定理.你能說說它的作用嗎?AB=DE BC=EF CA=FD A= D B=E C= FABCDEF 1、 什么叫全等三角形？能夠重合的兩個三角形叫 全等三角形。2、 全等三角形有什么性質(zhì)？ 創(chuàng)設(shè)情境ABCDEFAB=DE CA=FD BC=EF A= D B=E C= F1.滿足這六個條件可以保證ABC DEF嗎？2.如果只滿足這些條件中的一部分,那么能保證ABC DEF嗎?思考：1.只給一條邊時；331.只給一個條件452.只給一個角時；45結(jié)論:只有一條

8、邊或一個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.探究一兩邊；兩角。一邊一角； 2.如果滿足兩個條件，你能說出有哪幾種可能的情況？如果三角形的兩邊分別為4cm，6cm 時6cm6cm4cm4cm結(jié)論:兩條邊對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.三角形的一條邊為4cm,一個內(nèi)角為30時:4cm4cm3030結(jié)論:一條邊一個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.45304530如果三角形的兩個內(nèi)角分別是30，45時結(jié)論:兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180度，則第三角一定確定，所以當三內(nèi)角對應(yīng)相等時，兩個三角形不一定全等兩個條件兩角；兩邊；一邊一角。結(jié)論：只給出一個或兩個條件時，都不能保

9、證所畫的三角形一定全等。一個條件一角；一邊；你能得到什么結(jié)論嗎？三角；三邊；兩邊一角；兩角一邊。 3.如果滿足三個條件，你能說出有哪幾種可能的情況？探索三角形全等的條件已知兩個三角形的三個內(nèi)角分別為30，60 ，90 它們一定全等嗎？這說明有三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等三個角已知兩個三角形的三條邊都分別為3cm、4cm、6cm 。它們一定全等嗎？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm三條邊先任意畫出一個ABC，再畫出一個ABC ,使AB= AB ,BC =BC, A C =AC.把畫好ABC的剪下，放到ABC上，他們?nèi)葐?？畫? 1.畫線段 BC =BC;2.分別以

10、B ， C為圓心,BA,BC為半徑畫弧,兩弧交于點A;3. 連接線段 AB ， AC .探究二上述結(jié)論反映了什么規(guī)律？三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。簡寫為“邊邊邊”或“SSS”邊邊邊公理 注： 這個定理說明，只要三角形的三邊的長度確定了，這個三角形的形狀和大小就完全確定了，這也是三角形具有穩(wěn)定性的原理。如何用符號語言來表達呢?在ABC與DEF中ABCDEFAB=DEAC=DFBC=EFABCDEF（SSS）判斷兩個三角形全等的推理過程，叫做證明三角形全等。全等三角形的判定定理1：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。 理性提升ABCDEF在ABC和 DEF中 ABC DE

11、F（SSS） AB=DE BC=EF CA=FD思考：你能用“邊邊邊”解釋三角形具有穩(wěn)定性嗎？ 判斷兩個三角形全等的推理過程，叫做證明三角形全等。例11. 如下圖，ABC是一個剛架，AB=AC，AD是連接A與BC中點D的支架。 求證： ABD ACD 要證明 ABD ACD，首先看這兩個三角形的三條邊是否對應(yīng)相等。 理性提升 方法構(gòu)想例11. 如下圖，ABC是一個剛架，AB=AC，AD是連接A與BC中點D的支架。 求證： ABD ACD 理性提升證明：D是BC的中點BD=CD在ABD與ACD中AB=AC（已知）BD=CD（已證）AD=AD（公共邊）ABDACD（SSS） 例2:如圖，AB=AC

12、，AE=AD，BD=CE，求證：AEB ADC。CABDE 方法構(gòu)想兩個三角形中已經(jīng)的兩組邊對應(yīng)相等,只需要再證第三條邊對應(yīng)相等就行了.證明：BD=CE BD-ED=CE-ED， 即BE=CD。CABDE在AEB和ADC中，AB=ACAE=ADBE=CD AEB ADC (sss) 例2:如圖，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求證：AEB ADC。我們利用前面的結(jié)論，還可以得到作一個角等于已知角的方法。例3：已知AOB求作：AOB=AOB作法：1、以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C、D； 2、畫一條射線OA，以點O為圓心，OC長為半徑畫弧，交OA于點C； 3、以點C為圓

13、心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧交于點D； 4、過點D畫射線OB，則AOB=AOBCCOABDOABD分析已有條件,準備所缺條件：證全等時要用的間接條件要先證好；三角形全等書寫三步驟：寫出在哪兩個三角形中 擺出三個條件用大括號括起來 寫出全等結(jié)論全等三角形證明的基本步驟： 小結(jié)歸納11、已知：如圖，AB=AD，BC=CD， 求證：ABC ADCABCD 隨堂練習(xí)2、如圖，AB=CD，AC=BD，ABC和DCB是否全等？試說明理由。 ABCD證明：在ABC與ADC中 AB=AD BC=DC AC=AC ABC ADC解：ABC與DCB全等，理由如下：在ABC與DCB中 AB=CD BC=

14、CB AC=BD ABC DCB 中考鏈接1 已知如圖：AC=FE，BC=DE，點A，D，B，F(xiàn)在一條直線上，AD=FB求證：ABC FDE， 當堂測試如圖，已知AB=CD，AD=CB，E、F分別是AB，CD的中點，且DE=BF.求證：ADECBF,A=CADBCFEADECBFA=C證明:點E,F分別是AB,CD的中點AE= AB, CF = CDAB=CD AE=CF在ADE與CBF中 AE=CFAD=CBDE=BF1. 三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（邊邊邊或SSS）；2.證明全等三角形書寫格式：準備條件； 三角形全等書寫的三步驟。3、證明是由題設(shè)（已知）出發(fā)，經(jīng)過一步步的推理，最后推出結(jié)

15、論正確的過程。 小結(jié)歸納2全等三角形判定創(chuàng)設(shè)情景 因鋪設(shè)電線的需要，要測量A、B兩點的距離。（如圖），因無法直接量出A、B兩點的距離，現(xiàn)有一足夠的米尺，且池塘右面是開闊平地，你能想辦法測出A、B兩點之間的距離嗎？。AB知識回顧 三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫為“邊邊邊”或“SSS”）。ABCDEF用 數(shù)學(xué)語言表述：在ABC和 DEF中 ABC DEF（SSS） AB=DE BC=EF CA=FD探究1：畫三角形，尋找全等的條件對于三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等嗎？ABCDE如圖， ABC和ADE中，如果 DEAB，則A=A，B=ADE，C= AED，但ABC和ADE不重合，所以不全等。

16、三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等畫一個三角形，使它得的三角分別為400、600、800你還能從身邊找到這樣的反例嗎？做一做：畫ABC,使AB=3cm，AC=4cm，A=45 。畫法：2. 在射線AM上截取AB= 3cm3. 在射線AN上截取AC=4cm1. 畫MAN= 454.連接BCABC就是所求的三角形把你們所畫的三角形剪下來與同桌所畫的三角形進行比較，它們能互相重合嗎？探究2三角形全等判定方法2用符號語言表達為：在ABC與DEF中AB=DEB=EBC=EFABCDEF（SAS）ABCDEF 兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。簡寫成“邊角邊”或“SAS”概念運用：1.在下列推理

17、中填寫需要補充的條件，使結(jié)論成立：如圖，在AOB和DOC中，AO=DO（已知）_ = _ （ )BO=CO(已知）ABCDEF（ ）SAS對頂角相等AOBDOC2.在下列推理中填寫需要補充的條件，使結(jié)論成立：如圖，在AEC和ADB中，_=_（已知）A = A （公共角)_=_(已知）AECADB（ ）AEADACABSAS3.在下列推理中填寫需要補充的條件，使結(jié)論成立：如圖在ABD和DCB中，AD=CB（已知）_ = _ （已知)BD=_( ）ABDCDB（ SAS ）ADBCBDDB公共邊總結(jié)體會：1.已知：如圖， AB=CB ， ABD= CBD ABD 和 CBD 全等嗎？學(xué)以致用分析:

18、 ABD CBD邊:角:邊:AB=CB(已知)ABD= CBD(已知)？ABCD(SAS)BD=BD(公共邊）證明：在 ABD 和 CBD 中 BA=BC（已知） ABD=CBD（已知） BD=BD(公共邊） ABD CBD（SAS）追問：例1的已知條件不改變, 問AD=CD嗎?BD平分ADC嗎？ 已知：如圖， AB=CB ， ABD= CBD 。問AD=CD， DB平分 ADC 嗎？例題推廣ABCDABCD變式： 已知:AD=CD， BD 平分 ADC 。 問A= C 嗎？2.已知：如圖， AO=BO ，DO=CO求證：ADCB歸納：判定兩條線段相等或二個角相等可以通過從它們所在的兩個三角形

19、全等而得到。練習(xí)：1.如圖，AC=BD，CAB= DBA，你能判斷BC=AD嗎？說明理由。ABCDABCD2.已知：四邊形ABCD中，ABCD，且AB=CD求證：AD=BC綜合提高已知：AB=AD，CB=CD.求證：ACBD.分析：欲證ACBD，只需證AOB= AOD，這就要證明 ABO ADO，它已經(jīng)具備了兩個條件： AB=AD，OA=AO,所以只需證BAO= DAO，為了證明這一點，還需證明ABC ADC.證明：在ABC 和ADC中，AB = AD (已知），CB = CD（已知），AC = AC (公共邊） ABC ADC（SSS）， BAO = DAO (全等三角形的對應(yīng)角相等）在AB

20、O 和ADO中，AB = AD (已知）， BAO = DAO (已證），AO= AO (公共邊） ABO ADO（SAS）， AOB = AOD (全等三角形的對應(yīng)角相等） AOB = AOD=90. ACBD(垂直定義）. 又AOB + AOD =180(鄰補角定義）如右圖，問題探究 因鋪設(shè)電線的需要，要測量A、B兩點的距離。（如圖），因無法直接量出A、B兩點的距離，現(xiàn)有一足夠的米尺，且池塘右面是開闊平地，你能想辦法測出A、B兩點之間的距離嗎？。AB問題探究小明的設(shè)計方案：先在池塘旁取一個能直接到達A和B處的點C，連結(jié)AC并延長至D點，使AC=DC，連結(jié)BC并延長至E點，使BC=EC，連結(jié)

21、DE，用米尺測出DE的長，這個長度就等于A，B兩點的距離。請你說明理由。BAEDC 以2.5cm，3.5cm為三角形的兩邊，長度為2.5cm的邊所對的角為40 ，情況又怎樣？動手畫一畫，你發(fā)現(xiàn)了什么？ABCDEF2.5cm3.5cm40403.5cm2.5cm結(jié)論：兩邊及其一邊所對的角相等，兩個三角形不一定全等探究2 三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫為“邊邊邊”或“SSS”）。ABCDEF在ABC和 DEF中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符號語言表達為： 三角形全等判定方法1知識回顧: 三角形全等判定方法2用符號語言表達為：在ABC與DEF中ABCDEF（SA

22、S） 兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。(可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”)知識回顧:FEDCBAAC=DFC=FBC=EF知識梳理:ABDABCSSA不能判定全等1.若AB=AC，則添加一個什么條件可得ABD ACD?ABD ACDAB=ACABDCBAD= CADSA S考考你AD=ADBD=CDS2.如圖，要證ACB ADB ，至少選用哪些條件?ABCDACB ADBSASAB=ABCAB= DABAC=ADSBC=BD？三角形全等的判定(ASA,AAS)回首往事：1.什么樣的圖形是全等三角形？2.判斷三角形全等至少要有幾個條件？答：至少要有三個條件邊邊邊公理： 有三邊對應(yīng)相等的

23、兩個三角形全等。邊角邊公理： 有兩邊和它們夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。ABCABC問題： 如果已知一個三角形的兩角及一邊，那么有幾種可能的情況呢？答：角邊角（ASA） 角角邊（AAS） 先任意畫出一個ABC，再畫一個A/B/C/，使A/B/=AB， A/ =A， B/ =B (即使兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等)。把畫好的A/B/C/剪下，放到ABC上，它們?nèi)葐幔刻骄?BAC畫法：1、畫A/B/AB；2、在 A/B/的同旁畫DA/ B/ =A ， EB/A/ =B， A/ D，B/E交于點C/。通過實驗?zāi)惆l(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ACBABCED已知：任意 ABC，畫一個 A/B/C/，使A/B/AB，

24、A/ =A， B/ =B ： A/B/C/就是所要畫的三角形。A=A （已知 ） AB=AC（已知 ）B=C（已知 ）在ABE和ACD中 ABEACD（ASA）用數(shù)學(xué)符號表示: 兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 (可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）。探究反映的規(guī)律是：如圖，應(yīng)填什么就有 AOC BOD:A=B,（已知） ,1=2, （已知）AOCBOD (ASA)AO=BO 兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 (可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）。12例題講解例1.已知：點D在AB上，點E在AC上，BE和CD相交于點O，AB=AC，B=C。 求證：(1)AD=AE; (2)BD=

25、CE。 證明 ：在ADC和AEB中A=A（公共角）AC=AB（已知）C=B（已知）ACDABE（ASA）AD=AE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）又AB=AC（已知） BD=CE1.如圖,O是AB的中點，A= B， AOC與BOD全等嗎?為什么？OABCD兩角和夾邊對應(yīng)相等BODAOCDD(已知)(中點的定義)(對頂角相等)解：在 中2. 如圖，點B、E、C、F在一條直線上，ABDE，ABDE，AD 求證：BE=CF幫幫我 小明踢球時不慎把一塊三角形玻璃打碎為兩塊,他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去,就能配一塊于原來一樣的三角形玻璃呢? 如果可以,帶哪塊去合適呢?為什么?(2)(1)CBEAD利用

26、“角邊角”可知,帶第(2)塊去，可以配到一個與原來全等的三角形玻璃。(1)(2)(2)探究6 如下圖，在ABC和DEF中,A D, BE, BCEF, ABC與DEF全等嗎？能利用角邊角條件證明你的結(jié)論嗎？EFDBAC在ABC和DEF中,A +B +C1800, D +E +F =1800, A D, BE, CF, BE, BCEF, CF, ABC DEF （ASA）AE=AD（已知 ）A=A （已知 ） B=C（已知 ）在ABE和ACD中 ABEACD（AAS）用數(shù)學(xué)符號表示:兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）。探究反映的規(guī)律是：例: 如

27、圖,O是AB的中點，C= D， AOC與BOD全等嗎?為什么？OABCD兩角和對邊對應(yīng)相等BODAOCDD(已知)(中點的定義)(對頂角相等)解：在 中C= D(AAS) 到目前為止,我們一共探索出判定三角形全等的四種規(guī)律，它們分別是:1、邊邊邊 (SSS)3、角邊角 (ASA)4、角角邊 (AAS)2、邊角邊 (SAS)練一練：1、如圖ACB=DFE，BC=EF，根據(jù)SAS,ASA或AAS， 那么應(yīng)補充一個直接條件 -，（寫出一個即可），才能使ABCDEF.2、如圖，BE=CD，1=2，則AB=AC嗎？為什么？ABCDEFAC=DF或B=E或A=DCAB12EDAB=AC相等知識應(yīng)用1. 如

28、圖，要測量河兩岸相對的兩點A，B的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點C，D，使BC=CD，再定出BF的垂線DE，使A， C，E在一條直線上，這時測得DE的長就是AB的長。為什么？ABCDEF在ABC和EDC中, B=EDC=900 BCDC, 12, ABC DEF （ASA） ABED.12證明：2.如圖,ABBC, ADDC, 1=2. 求證: AB=AD. 知識應(yīng)用在ABC和ADC中, B=D, 12, ACAC, ABC ADC （AAS） ABAD.證明： ABBC, ADDC, B=D=900, 練 習(xí)=ABECFD已知:如圖B=DEF, BC=EF, 求證:ABC DEF(1)若

29、要以“SAS”為依據(jù)，還缺條件 ； (2)若要以“ASA”為依據(jù)，還缺條件 ； (3)若要以“SSS” 為依據(jù)，還缺條件 ;ACB= DEFAB=DEAB=DE、AC=DF 三步走：要證什么；已有什么；還缺什么。(4)若要以“AAS” 為依據(jù)，還缺條件；A= D1、邊邊邊 (SSS)3、角邊角 (ASA)4、角角邊 (AAS)2、邊角邊 (SAS)(1) 圖中的兩個三角形全等嗎? 請說明理由.全等 因為兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.3535110110ABCDDBCABCDD(已知)(已知)(公共邊)練 習(xí)(3) 如圖，AC、BD交于點O,AC=BD,AB=CD.求證：ABCD

30、O證明: (1)連接AD, 在ADC和DAB中AD=DA（公共邊）AC=DB（已知）DC=AB（已知）ADCDAB （SSS）C=B（全等三角形的對應(yīng)角相等） (2) 在 AOB 和 DOC中 B = C （已證）1=2 （對頂角相等）DC=AB（已知）DOCAOB （AAS）OA=OD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）12練 習(xí)綜合應(yīng)用1.如圖，點E在AB上，1=2，3=4，那么CB等于DB嗎？為什么？-全等三角形判定2.如圖，說出AB 的理由。 3. 如圖，AB=DE，AF=CD，EF=BC，AD，試說明：BFCE ABCDEF 4. 如圖，在AFD和BEC中，點A、E、F、C在同一直線上，有下列

31、四個論斷： AD=CB，AE=CF，BD， AC.請用其中三個作為條件，余下一個作為結(jié)論，編一道數(shù)學(xué)問題，并寫出解答過程。ABCDEF5. 如圖，在ABC和BAD中，BC = AD，請你再補充一個條件，使ABCBAD你補充的條件是 .ABCEF6. 已知：如圖， AEF 與ABC中， E =B, EF=BC.請你添加一個條件，使AEF ABC.對于添加條件使兩三角形全等的問題，當已有兩個條件（包括隱含條件）時，如何思考？7.在ABC中, ACB=90,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C, ADMN于點D, BE MN于點E,（1）當直線MN旋轉(zhuǎn)到如圖(1)所示的位置時,猜想線段AD、BE、DE的數(shù)量

32、關(guān)系，并證明你的猜想。圖(1)7.在ABC中, ACB=90,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C, ADMN于點D, BE MN于點E,（2）當直線MN旋轉(zhuǎn)到圖(2)的位置時,猜想線段AD,BE,DE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想圖(2)7.在ABC中, ACB=90,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C, ADMN于點D, BE MN于點E,（3）當直線MN旋轉(zhuǎn)到圖(3)的位置時,猜想線段AD,BE,DE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想圖(3)（2010江蘇南通）如圖，已知：點B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，AC=DF能否由上面的已知條件證明ABED？如果能，請給出證明；如果不能，請從下列三個條件中選擇一個

33、合適的條件，添加到已知條件中，使ABED成立，并給出證明供選擇的三個條件（請從其中選擇一個）：AB=ED；BC=EF；ACB=DFEABDEFC11.2.4 三角形全等的判定(HL)1：如圖:ABCDEF，指出它們的對應(yīng)角、對應(yīng)邊。ADBECF2：我們已經(jīng)學(xué)過判定全等三角形的方法有哪些？ABDEACDFBCEFADBDEFACBF（SSS）、（SAS）、（ASA）、（AAS）復(fù)習(xí)舊知 引入新知ABCA1B1C1如圖，舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但兩個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量.你能幫他想個辦法嗎？創(chuàng)設(shè)情景 引入課題ABCA1B1C1方法1

34、：用直尺量出斜邊AB, A1B1的長度，再用量角器量出其中一個銳角（如A與A1 ）的大小，若它們對應(yīng)相等，據(jù)根（ ）可以證明兩直角三角形是全等的。 方法2：用直尺量出不被遮住的直角邊AC, A1C1的長度，再用量角器量出其中一個銳角（如A與A1 ）的大小，若它們對應(yīng)相等，據(jù)根（ ）可以證明兩直角三角形是全等的。AAS ASAABCA1B1C1如果他只帶了一個卷尺，能完成這個任務(wù)？那么他只能測直角邊和斜邊了，只滿足斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形能全等嗎？畫一畫： 任意畫一個RtACB ，使C90，再畫一個 RtACB使CC，BCBC，ABAB（1）：你能試著畫出來嗎？與小組交流一下。作

35、法：1、畫MCN=902、在射線CM上取BC=BC3、以B為圓心，AB為半徑畫弧，交射線CN于點A4、連接AB，ACB就是所作三角形。（2）：把畫好的RtACB放到RtACB上， 它們?nèi)葐?？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 動手實踐 探索規(guī)律直角三角形全等的判定方法:斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”.例4:如圖，ACBC， BDAD， ACBD，求證：BCADABCD證明： ACBC， BDAD C與D都是直角. AB=BA, AC=BD .RtABCRtBAD (HL). BCAD在 RtABC 和 RtBAD 中，總結(jié)規(guī)律 運用新知AFCEDB如圖，AB=

36、CD, BFAC,DEAC,AE=CF求證：BF=DE鞏固練習(xí)AFCEDB如圖，AB=CD, BFAC,DEAC,AE=CF求證：BD平分EFG變式訓(xùn)練1如圖，AB=CD, BFAC,DEAC,AE=CF想想：BD平分EF嗎?CDAFEBG變式訓(xùn)練2議一議如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角ABC和DFE的大小有什么關(guān)系？ABC+DFE=90聯(lián)系實際 綜合應(yīng)用解：在RtABC和RtDEF中 BC=EF, AC=DF . RtABCRtDEF (HL).ABC=DEF(全等三角形對應(yīng)角相等). DEF+DFE=90,ABC+DFE=90

37、1.如圖所示,已知點C為線段AB上一點,ACM、BCN是等邊三角形.(1)求證:AN=BM;綜合應(yīng)用（2）若等邊三角形CBN繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)后（旋轉(zhuǎn)角180），此時AN與BM是否還相等？若相等，給出證明；若不相等，說明理由 (3)若把原題中“ACM和BCN是兩個等邊三角形”換成兩個正方形(如圖所示),AN與BM的關(guān)系如何?請說明理由.127感悟與反思：、平行角相等；、對頂角角相等；、公共角角相等；、角平分線角相等；、垂直角相等；、中點邊相等；、公共邊邊相等；、旋轉(zhuǎn)角相等，邊相等。義務(wù)教育課程標準實驗教科書八年級數(shù)學(xué)上全等三角形全章檢測題11能夠 的兩個圖形叫做全等圖形2判定兩個三角形全等除用

38、定義外，還有幾種方法，它們分別可以簡寫成_；_；_；_；_3已知，如圖，AD=AC，BD=BC，O為AB上一點，那么，圖中共有 對全等三角形4如圖，ABCADE，則，AB= ，E= 若BAE=120，BAD=40，則BAC= 5ABCDEF，且ABC的周長為12，若AB=3，EF=4，則AC= 6如圖，AE=BF，ADBC，AD=BC，則有ADF ，且DF= 7如圖，在ABC與DEF中，如果AB=DE，BE=CF，只要加上 = ，或 ，就可證明ABCDEF8ABCBAD，A和B，C和D是對應(yīng)頂點，如果AB=8cm，BD=6cm，AD=5cm，則BC=_cm完全重合6題圖一、填空題（每題2分，共

39、32分） 第3題圖 第4題圖7題圖SSSSASASAAASHL三ADC805BCECEBDEFAB DE59ABC中，C=90，AD平分BAC交BC于點D，且CD=4cm，則點D到AB的距離是_10如圖已知ACBD，1=2，那么ABC ，判定根據(jù)是_ _11如圖，ABC中，ADBC于D，要使ABDACD，若根據(jù)“HL”判定，還需加條件_ _ _12如圖，已知ACBD， AD ，請?zhí)硪粋€直接條件， ，使AFCDEB13如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成三片，現(xiàn)在他要到玻璃店去配一塊完全一樣形狀的玻璃那么最省事的辦法是帶_去配，這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是 14把兩根鋼條AA、BB的中點連在一起，可以做成

40、一個測量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗）， 如圖，若測得AB=5厘米，則槽寬為 米15ABC中，B60，C80，O是三條角平分線的交點，則OAC_，BOC_16將一張長方形紙片按如圖所示的方式進行折疊，其中BC、CD為折痕，則BCD的度數(shù)為 第10題圖 第11題圖 第12題圖4cmBADSASAB ACCF BE兩個角及它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 0.0520度110度90度第13題圖 第14題圖 第16題圖CBD74?817如下左圖，AB與CD交于點O，OAOC，ODOB，AOD ，根據(jù) 可得到AODCOB，從而可以得到AD 18如上右圖，已知ABC中，ABAC，AD平分BAC，請補充完整過

41、程說明ABDACD的理由 AD平分BAC （角平分線的定義） 在ABD和ACD中 ABDACD（ ）19如圖，A、B兩建筑物位于河的兩岸，要測得它們之間的距離，可以從B點出發(fā)沿河岸畫一條射線BF，在BF上截取BCCD，過D作DEAB，使E、C、A在同一直線上，則DE的長就是A、B之間的距離，請你說明道理二、填空題（共68分）19題圖COBSASBCBAD CADAB=AC (已知）BADCAD (已證）AD=AD (公共邊）SASCDE74?820已知：如圖，點D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，1=2.求證：AB=AC21如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上的一點，1=2，3=4，求證

42、: 5=6 BCDEFA22已知：如圖，A、C、F、D在同一直線上，AFDC，ABDE，BCEF，求證：ABCDEFABCDE1 274?8AEBDCFACBDEF23已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求證：ABCDEF24已知：如圖，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點F，求證：BE=CD25如圖，在ABC中，AD為BAC的平分線，DEAB于E，DFAC于F，ABC面積是28，AB20cm，AC8cm，求DE的長74?826已知：BECD，BEDE，BCDA， 求證： BECDAE； DFBC27已知：如圖，ABC中，C=2B，1=2，求證：

43、AB=AC+CD28已知：AOB=90，OM是AOB的平分線，將三角板的直角頂P在射線OM上滑動，兩直角邊分別與OA、OB交于C、DPC和PD有怎樣的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論BCDEFAABCD12義務(wù)教育課程標準實驗教科書八年級數(shù)學(xué)上全等三角形全章檢測題274?81.在ABC中，BC，與ABC全等的三角形有一個角是100，那么在ABC中與這100角對應(yīng)相等的角是（ ）A.A B.B C.C D.B或C2.如圖，在CD上求一點P，使它到OA，OB的距離相等，則P點是（ ）A.線段CD的中點 B.OA與OB的中垂線的交點C.OA與CD的中垂線的交點 D.CD與AOB的平分線的交點3.如圖所示，AB

44、DCDB，下面四個結(jié)論中，不正確的是（ ）A.ABD和CDB的面積相等 B.ABD和CDB的周長相等C.A+ABDC+CBD D.ADBC，且ADB4.如圖，已知ABDC，ADBC，E，F(xiàn)在DB上兩點且BFDE，若AEB120，ADB30，則BCF （）A.150 B.40 C.80 D.905.如果兩個三角形中兩條邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個三角形的第三條邊所對的角的關(guān)系是（ ）A.相等 B.不相等 C.互余或相等 D.互補或相等6、如圖，ABBC，BEAC，12，ADAB，則（ ）A.1EFD B.BEEC C.BFDFCD D.FDBC2題圖一、填空題（每題3分，共30分） A

45、ODCBAADBCEF3題圖4題圖6題圖DCD提示AD7.如圖BEAC于點D，且ADCD，BDED，若ABC54，則E（ ）A.25 B.27 C.30 D.45 8.如圖，在ABC中，AD平分BAC，過B作BEAD于E，過E作EFAC交AB于F，則（）A.AF2BFB.AFBF C.AFBFD.AFBF9.如圖所示，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識畫出一個與書上完全一樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據(jù)是（ ）A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 10將一張長方形紙片按如圖4所示的方式折疊，BC、BD為折痕，則CBD的度數(shù)為（）A60B75C90D95

46、7題圖8題圖9題圖10題圖BBDC二、填空題（每小題3分，共24分11. 如圖，BACABD ，請你添加一個條件： ，使 OC=OD（只添一個即可）12.如圖，在ABC中，ABAC，BE、CF是中線，則由 可得AFCAEB. 13.如圖，ABCD，ADBC，O為BD中點，過O點作直線與DA、BC延長線交于E、F，若ADB60，EO10，則DBC ，F(xiàn)O . 14.已知RtABC中，C90，AD平分BAC交BC于D，若BC32，且BDCD97，則D到AB邊的距離為.15.如果兩個三角形的兩條邊和其中一條邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個三角形的第三邊所對的角的關(guān)系是_.16.如圖，ABCD，ADBC，

47、OEOF，圖中全等三角形共有_對.DOCBA11題圖12題圖13題圖16題圖C=D或ABC=BAD或AC=BD或OAD=OBCSAS601014互補或相等574?817.在數(shù)學(xué)活動課上，小明提出這樣一個問題：BC90，E是BC的中點，DE平分ADC，CED35，如圖，則EAB是多少度？大家一起熱烈地討論交流，小英第一個得出正確答案，是_.18.如圖，AD，AD分別是銳角三角形ABC和銳角三角形ABC中BCBC邊上的高，且ABAB，ADAD若使ABCABC，請你補充條件_.（填寫一個你認為適當?shù)臈l件即可）三、解答題（第19-25每題8分,第26題10分,共60分）19.已知：DEFMNP，且EF

48、NP，F(xiàn)P，D48，E52，MN12cm，求：P的度數(shù)及DE的長.ABCDABDC35 答案不惟一解：DEFMNP，DEMN，DM，EN，F(xiàn)P，M48，N52，P180485280，DEMN12cm 74?820. 如圖，DCE=90o，CD=CE，ADAC，BEAC，垂足分別為A、B，試說明AD+ABBE.21.如圖，工人師傅要檢查人字梁的B和C是否相等，但他手邊沒有量角器，只有一個刻度尺他是這樣操作的：分別在BA和CA上取BECG；在BC上取BDCF；量出DE的長a米，F(xiàn)G的長b米.如果ab，則說明B和C是相等的.他的這種做法合理嗎？為什么？22.要將如圖中的MON平分，小梅設(shè)計了如下方案

49、：在射線OM，ON上分別取OAOB，過A作DAOM于A，交ON于D，過B作EBON于B交OM于E，AD.EB交于點C，過O，C作射線OC即為MON的平分線，試說明這樣做的理由.ADECBFG74?823.圖所示，A，E，F(xiàn)，C在一條直線上，AECF，過E，F(xiàn)分別作DEAC，BFAC，若ABCD，可以得到BD平分EF，為什么？若將DEC的邊EC沿AC方向移動，變?yōu)闀r，其余條件不變，上述結(jié)論是否成立？請說明理由.24.如圖，ABC中，D是BC的中點，過D點的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點，DEDF，交AB于點E，連結(jié)EG、EF.（1）求證：BGCF.（2）請你判斷BE+CF與EF的大

50、小關(guān)系，并說明理由.DEAC于點E，BFAC于點F，DEFBFE90.AECF，AE+EFCF+FE，即AFCE.在RtABF與RtCDE中，ABCD，AFCE，RtABFRtCDE，BFDE.在RtDEGRtBFG中，DGEBGF，DEBF，RtDEGRtBFG，EGFG，即BD平分EF.若將DEC的邊EC沿AC方向移動到圖2時，其余條件不變，上述結(jié)論仍舊成立，理由同上.提示：尋找AF與CE的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵 （1）ACBG，GBDC，在GBD與FCD中，GBDC，BDCD，BDGCDF，GBDFCD，BGCF.（2）BE+CFEF，又GBDFCD(已證) ，GDFD，在GDE與FDE中

51、，GDFD，GDEFDE90，DEDE，GDEFDE(SAS) ，EGEF，BE+BGGE，BE+CFEF.74?825.（1）如圖1，ABC的邊AB、AC為邊分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連結(jié)EG，試判斷ABC與AEG面積之間的關(guān)系，并說明理由. （2）園林小路，曲徑通幽，如圖2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成.已知中間的所有正方形的面積之和是a平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是b平方米，這條小路一共占地多少平方米？AGFCBDE圖1圖2解：由（1）知外圈的所有三角形的面積之和等于內(nèi)圈的所有三角形的面積之和，這條小路的面積為(a+2b)平方米 FAGCBDEM

52、NSABCSAEG 提示：ABDCDB，ABCD，BDDB，ADCB，ADBCBD，ABD和CDB的周長和面積都分別相等.ADBCBD，ADBC. 解析：在RtADB與RtEDC中，ADCD，BDED，ADBEDC90，ADBCDE，ABDE.在RtBDC與RtEDC中，BDDE，BDCEDC90，CDCD，RtBDCRtEDC，DBCE.ABDDBC1/2ABC，EDBC1/25427.提示：本題主要通過兩次三角形全等找出ABDDBCE. 角平分線的性質(zhì)復(fù)習(xí)提問1、角平分線的概念一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。oBCA12復(fù)習(xí)提問 2、點到直線距離:從直線外一點

53、到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。OPAB我的長度 如圖,是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎?CADB你能由上面的探究得出作已知角的平分線的方法嗎?探究1：E角的平分線的作法證明： 在ACD和ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共邊） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的 對應(yīng)邊相等） AC平分DAB（角平分線的定義）尺規(guī)作角的平分線觀察領(lǐng)悟作法，探索思考證明方法：A畫法：以為圓心，適當長為半徑作弧，交于，交于分別以，

54、為圓心大于 1/2 的長為半徑作弧兩弧在的內(nèi)部交于作射線射線即為所求A為什么OC是角平分線呢？ 想一想：已知：OM=ON，MC=NC。求證：OC平分AOB。證明：在OMC和ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， OMC ONC（SSS） MOC=NOC 即：OC平分AOB已知：如圖，OC是AOB的平分線，點P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分別是D，E。求證：PD=PE證明： PDOA，PEOB（已知）PDO=PEO=90（垂直的定義）在PDO和PEO中 PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等） PDO= PEO AOC= BOC OP=OP PDO PEO（AAS）角的平分線上的

55、點到這個角的兩邊的距離相等。DPEAOBC角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等用符號語言表示為：AOBPED12 1= 2 PD OA ，PE OBPD=PE(角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等)推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個。角平分線的性質(zhì)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。BADOPEC定理應(yīng)用所具備的條件： （1）角的平分線；（2）點在該平分線上； （3）垂直距離。定理的作用： 證明線段相等。 如圖，AD平分BAC（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。BD CD（）判斷：練習(xí) 如圖， DCAC，DBAB （已知） =

56、，( ) 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。BD CD（） AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知） = ，（ ） DBDC在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。不必再證全等練習(xí)如圖， OC是AOB的平分線， 又 _PD=PE ( )PDOA，PEOBBOACDPE角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等 在OAB中，OE是它的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為C，D.求證：AC=BD.OABECD 在ABC中， C=90 ，AD為BAC的平分線，DEAB，BC7，DE3.求BD的長。EDCBA 如圖，在ABC中，C=90 AD是BAC的平分線，DE

57、AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF； 求證：CF=EBACDEBF這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識？ 小 結(jié)1、“作已知角的平分線”的尺規(guī)作圖法；2、角的平分線的性質(zhì)： 角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。 OC是AOB的平分線, 又 PDOA,PEOB PD=PE (角的平分線上的點到角的兩邊距離相等). EDOABPC幾何語言:，1、在RtABC中，BD是角平分線，DEAB，垂足為E，DE與DC相等嗎？為什么？ ABCDE 2、如圖,OC是AOB的平分線,點P在OC上,PD OA,PEOB,垂足分別是D、E,PD=4cm,則PE=_cm.ADOBEPC知識應(yīng)用1 . 如圖，DEAB，DFBC，垂足

58、分別是E，F(xiàn)， DE =DF， EDB= 60，則 EBF= 度，BE= 。60BF2 如圖，在ABC中，C=90，DEAB，1=2，且AC=6cm，那么線段BE是ABC的 ，AE+DE=。角的平分線6cm練習(xí)3.已知ABC中, C=900,AD平分 CAB,且BC=8,BD=5,求點D到AB的距離是多少？ABCDE你會嗎？例 已知：如圖，ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過點P作PD 、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F BM是ABC的角平分線，點P在BM上 PD=PE（在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等） 同理 P

59、E=PF. PD=PE=PF. 即點P到邊AB、BC、 CA的距離相等ABCMNPDEF怎樣找三角形內(nèi)到三角形三邊距離相等的點？ 如圖，的的外角的平分線與的外角的平分線相交于點求證：點到三邊、所在直線的距離相等FGH更上一層樓！ 如圖，由 于點 D ， 于點 E，PD= PE ， 可以得到什么結(jié)論 ？ OBPEPDOA議一議 到一個角的兩邊的距離相等的點， 在這個角的平分線上。 已知：如圖， ， ，垂足分別是 A、B，PD=PE ， 求證：點P在 的角平分線上。BADOPE 到角的兩邊的距離相等的點 在角的平分線上。 已知：如圖， ， ， 垂足分別是 D、E，PD=PE， 求證：點P在 的角平

60、分線上。證明：作射線OP 點P在 角的平分線上 在 RtPDO 和RtPEO 中，（ HL）（全等三角形的對應(yīng)角相等） OP = OP （公共邊）PD = PE （ 已 知 ）角平分線的判定BADOPE角平分線的判定的應(yīng)用書寫格式：OP 是 的平分線PD= PE （到一個角的兩邊的距離相等的點， 在這個角的平分線上）DEOPAB角平分線的性質(zhì)：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。角平分線的判定到一個角的兩邊的距離相等的點， 在這個角的平分線上。BADOPECPD = PEOP 是 的平分線OP 是 的平分線PD = PE用途：證線段相等用途：判定一條射線是角平分線練一練填空：(1).