專題01 直線與橢圓的位置關系-2022年高考數(shù)學圓錐曲線重難點專題突破（全國通用）(解析版)

1、專題01 直線與橢圓的位置關系一、單選題1已知曲線上任意一點滿足，則曲線上到直線的距離最近的點的坐標是（）ABCD【解析】 設,則, 點的軌跡是以，為焦點的橢圓. 曲線的方程是：設與直線平行且與曲線相切的直線方程為.由得，當時，；當時，；又中靠近的點應該在橢圓的下方，曲線上到直線的距離最近的點的坐標是.故選：2直線xy10被橢圓y21所截得的弦長|AB|等于（ ）ABCD【解析】由得交點為(0,1)，則|AB|.故選：A.3橢圓與直線交于、兩點，過原點與線段中點的直線的斜率為，則的值為（ ）ABCD【解析】聯(lián)立橢圓方程與直線方程，得，中點坐標：，中點與原點連線的斜率故選：A4已知F是橢圓的一個

2、焦點，AB為過橢圓中心的一條弦，則ABF面積的最大值為（ ）A6B15C20D12【解析】顯然直線AB不垂直y軸，橢圓中心為原點O，設直線AB的方程為：x=my，由消去y得：，設，由橢圓對稱性，不妨令，焦點，ABF的面積，當且僅當時取“=”，所以ABF面積的最大值為12.故選：D5已知橢圓，直線，則橢圓C上的點到直線l距離的最大值為（ ）ABCD【解析】設與直線平行的直線：，聯(lián)立，消可得，解得，所以所求直線為或，直線與直線的距離為.直線與直線的距離為.所以橢圓C上的點到直線l距離的最大值為，故選：C6直線被橢圓截得最長的弦為（ ）ABCD【解析】聯(lián)立直線和橢圓，可得，解得或，則弦長，令，則，當

3、，即，取得最大值，故選：B7已知F是橢圓的下焦點，過點F的直線l與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，則面積的取值范圍是（ ）ABCD【解析】由橢圓的方程可得，所以，所以下焦點，顯然直線l的斜率存在，設直線l的方程為：，設，聯(lián)立，整理可得：，可得：，所以，設，則，因為，所以單調遞增，所以，所以，故選：C.8已知橢圓的一個頂點為，離心率為，直線與橢圓交于不同的兩點，.當?shù)拿娣e為時，則的值為（ ）.ABCD【解析】由知橢圓焦點在x軸上，故，橢圓方程為，設，則B在直線上，聯(lián)立，化簡得，則，則的面積為，解得，故選：C.二、多選題9已知為橢圓：的左焦點，直線：與橢圓交于，兩點，軸，垂足為，與橢圓的另一個交

4、點為，則（ ）A的最小值為2B面積的最大值為C直線的斜率為D為鈍角【解析】對于A，設橢圓的右焦點為，連接，則四邊形為平行四邊形，當且僅當時等號成立，A錯誤；對于B，由得，的面積，當且僅當時等號成立，B正確；對于C，設，則，故直線的斜率，C正確；對于D，設，直線的斜率額為，直線的斜率為，則，又點和點在橢圓上，得，易知，則，得，D錯誤.故選：BC.10若直線l被圓所截得的弦長不小于，則在下列曲線中，與直線l一定會有公共點的曲線是（ ）ABCD【解析】設直線l的方程為，由題知，圓M的圓心到直線l的距離為，對于A，拋物線，開口向右，頂點在原點，取直線l為，易知直線與拋物線無交點，故A錯誤.對于B，滿足

5、到圓M的圓心距小于等于1的點的軌跡為單位圓圍成的封閉區(qū)域，直線l一定過這個單位圓內的一點，橢圓的，所以單位圓一定在橢圓內部，故直線l一定與橢圓相交，故B正確.對于C，雙曲線的頂點坐標為，開口向左右兩邊，同樣取直線l為，易知直線與雙曲線無交點，故C錯誤.對于D，單位圓圓心到圓的圓心的距離為1，小于兩圓半徑差，故兩圓呈內含關系，直線l一定過圓內一點，故直線l一定與圓相交.故D正確.故選：BD.11已知P是橢圓上任意一點，M，N是橢圓上關于坐標原點對稱的兩點，且直線的斜率分別為，若的最小值為1，則下列結論正確的是（ ）A橢圓E的方程為B橢圓E的離心率為C曲線經過E的一個焦點D直線與E有兩個公共點【解

6、析】設，則，所以.于是，當且僅當時取等號，依題意，得，解得，故E的方程為，A正確；離心率為，B錯誤；焦點為，曲線經過焦點，C正確；直線過點，且點在E內，故直線與E有兩個公共點，D正確.故選：ACD.12已知橢圓：的左、右兩個焦點分別為，直線與交于，兩點，軸，垂足為，直線與的另一個交點為，則下列結論正確的是A四邊形為平行四邊形BC直線的斜率為D【解析】對A,根據橢圓的對稱性可知,.故四邊形為平行四邊形.故 A正確.對B,根據橢圓的性質有當在上下頂點時,.此時.由題意可知不可能在上下頂點,故.故B正確.對C, 如圖,不妨設在第一象限,則直線的斜率為,故C正確.對D, 設則.又由C可知直線的斜率為,

7、故.所以.故.故D錯誤.故選：ABC三、填空題13當k變化時，直線與橢圓總有公共點，則m的取值范圍是_【解析】直線過定點，因為直線與橢圓總有公共點，所以點P在橢圓上或在橢圓的內部，即，且，解得且，故答案為：且14直線交拋物線于A，B兩點若AB的中點橫坐標為2，則弦長為_【解析】設，易知k=0不合題意，將直線代入拋物線方程得：，所以，因為AB的中點橫坐標為2，所以，所以，則.15已知，則的最值為_.【解析】滿足題設的點的軌跡是定點，的距離之和為定長20的橢圓，此橢圓的中心在、長半軸a滿足，即.線段長為，即，所以橢圓的短半軸長.又橢圓長軸所在直線方程為.如圖可知，使得橢圓與直線有公共點的m的取值范

8、圍是原點到直線的距離不超過. 即，解得.橢圓上任意一點均滿足.由，得的最大值為，最小值為.16已知橢圓：的右焦點為，若過的直線與橢圓交于，兩點，則的取值范圍是_【解析】由橢圓性質可知，當，分別為橢圓的頂點時，取最值當為橢圓的右頂點時，最小，此時，此時恰為橢圓的左頂點，最大，此時，此時的最小值為，同理可得的最大值為2，即的取值范圍是四、解答題17橢圓經過點，離心率為，左、右焦點分別為（1）求橢圓的方程（2）斜率為的直線l與橢圓交于A，B兩點，當時，求直線的方程【解析】（1）因為橢圓經過點，離心率為，所以，因為，所以得，所以橢圓方程為，（2）設直線l為，設，由，得，由，得，由根與系數(shù)的關系得，因為

9、所以，解得，所以直線的方程為或18已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，且該橢圓過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知橢圓左焦點為F，過F作直線l與橢圓交于AB兩點，若弦AB中點在直線上，求直線l的方程.【解析】（1）方法一：由題意，橢圓與雙曲線有相同的焦點為，設橢圓的方程為：，因為橢圓過點，可得，又由及，解得，所以橢圓的方程為.方法二：由題意，橢圓與雙曲線有相同的焦點為，所以，得，所以，所以橢圓的方程為.（2）當直線與x軸重合時不滿足題意；當直線與x軸不重合時，設直線方程為，由，消化簡得，設，得，因為弦中點在直線，所以解得，所以直線的方程為或.19設橢圓：的左焦點為，離心率為，過點且與軸垂直的直線

10、被橢圓截得的線段長為（1）求橢圓的方程；（2）設，分別為橢圓的左、右頂點，過點且斜率為的直線與橢圓交于點，兩點，且，求的值【解析】（1）設F(c，0)，由，知過點F且與x軸垂直的直線為xc，代入橢圓方程有，解得，于是，解得，又，從而，c1，所以橢圓的方程為（2）設點C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1，0)得直線CD的方程為yk(x1)，由方程組消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260求解可得x1x2，x1x2因為A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x2

11、2k2(x1x2)2k2由已知得，解得k20已知以坐標原點為中心，坐標軸為對稱軸的橢圓經過點，（1）求橢圓的標準方程（2）設過點的直線與交于，兩點，點在軸上，且，是否存在常數(shù)使？如果存在，請求出；如果不存在，請說明理由【解析】（1）設橢圓的標準方程為，因點，在橢圓上，則有，解得，所以橢圓的標準方程為；（2）顯然點為橢圓的右焦點，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由消去y并整理得：，設，則，于是得，而，則線段的中點坐標為，因為點在軸上，且，則為線段的垂直平分線與軸的交點，當時，則，當時，線段的垂直平分線方程為，令，得，即，則有，于是得，當直線的斜率不存在時，取或能滿足，綜上所述，存在實數(shù)滿足題意.21已知橢圓：的上頂點與下頂點在直線：的兩側，且點到的距離是到的距離的倍（1）求的值；（2）設與交于，兩點，求證：直線與的斜率之和為定值【解析】（1）由橢圓的方程可得，由題意可得，解得或當時，點，都在直線的下方，不符合題意，故（2）聯(lián)立消去可得，設，則，直線與的斜率之和因此直線與的斜率之和為定值22已知橢圓的右焦點為，圓的面積為（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作互相垂直的兩條直線，