數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-

1、第二章 分離變量法一、有界弦的自由振動二、有限長桿上的熱傳導三、拉普拉斯方程的定解問題四、非齊次方程的解法五、非齊次邊界條件的處理六、關于二階常微分方程特征值問題的一些結論第二章 分離變量法一、有界弦的自由振動二、有限長桿上的熱傳基本思想： 首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。適用范圍：波動問題、熱傳導問題、穩(wěn)定場問題等特點：a.物理上由疊加原理作保證，數(shù)學上由解的唯一性作保證；b.把偏微分方程化為常微分方程來處理，使問題簡單化。基本思想：適用范圍：特點：令帶入方程：令帶入邊界條件1 求兩端固定的弦自由振動的規(guī)律一

2、 有界弦的自由振動令帶入方程：令帶入邊界條件1 求兩端固定的弦自由振動的規(guī)律一特征（固有）值問題：含有待定常數(shù)常微分方程在一定條 件下的求解問題特征（固有）值：使方程有非零解的常數(shù)值特征（固有）函數(shù)：和特征值相對應的非零解分情況討論：1）2）3） 令 ， 為非零實數(shù) 特征（固有）值問題：含有待定常數(shù)常微分方程在一定條 件下的數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-分離變量求特征值和特征函數(shù)求另一個函數(shù)求通解確定常數(shù)分離變量法可以求解具有齊次邊界條件的齊次偏微分方程。 分離變量求特征值和特征函數(shù)求另一個函數(shù)求通解確定常2 解的性質(zhì) x=x0時：其中：駐波法 t=t

3、0時：2 解的性質(zhì) x=x0時：其中：駐波法 t=t0時：例1：設有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為 ，求弦作微小橫向振動時的位移。解：例1：設有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-弦的振動振幅放大100倍，紅色、藍色、綠色分別為n=1,2,3時的駐波。弦的振動振幅放大100倍，紅色、藍色、綠色分別為n=1,2,解：例2求下列定解問題解：例2求下列定解問題數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-初始條件初始條件若l=1,a

4、=10時的震動。若l=1,a=10時的震動。例3 求下列定解問題解：例3 求下列定解問題解：數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-例4 求下列定解問題令帶入方程：解：例4 求下列定解問題令帶入方程：解：數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-二 有限長桿上的熱傳導令帶入方程：解：二 有限長桿上的熱傳導令帶入方程：解：數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-令令令帶入方程：令例5 求下列定解問

5、題解：令帶入方程：令例5 求下列定解問題解：數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-例6 求下列定解問題解：例6 求下列定解問題解：數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-若 則u為多少？為什么會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？思考若 則u為多少？為什么會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？思若有界桿上的熱傳導（桿的兩端絕熱）若有界桿上的熱傳導（桿的兩端絕熱）分離變量流程圖分離變量流程圖三 拉普拉斯方程的定解問題1 直角坐標系下的拉普拉斯問題解：三 拉普拉斯方程的定解問題1 直角坐標系下的拉普拉斯問數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量

6、法-數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-例7 求下列定解問題解：例7 求下列定解問題解：數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-例8 求下列定解問題解：例8 求下列定解問題解：數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-2 圓域內(nèi)的拉普拉斯問題2 圓域內(nèi)的拉普拉斯問題歐拉方程例9 求下列定解問題解：歐拉方程例9 求下列定解問題解：歐拉方程 令歐拉方程 令數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-例10 求下列定解問題解：例10 求下列定解問題解：歐拉方程 令歐拉方程 令其它為零其它為零例12 求下列定解問題解：例12 求下列定解問題解：數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-歐拉方程 歐拉方程 其他為零其他為零例13 求下列定解問題解：例13 求下列定解問題解：數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-例13 求下列定解問題解：例13 求下列定解問題解：數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-數(shù)學物理方程課件第二章1分離變量法-