曲邊梯形面積完整版課件

1、1.5.1 曲邊梯形的面積1.5.1 曲邊梯形的面積一、求曲邊梯形面積的一般步驟二、定積分1.函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分的概念;4.定積分是變量還是常量?5.定積分的作用是什么?教材研讀一、求曲邊梯形面積的一般步驟4.定積分是變量還是常量?教材研微積分在幾何上有兩個基本問題1.如何確定曲線上一點處切線的斜率；2.如何求曲線下方“曲線梯形”的面積。xy0 xy0 xyo直線幾條線段連成的折線曲線？微積分在幾何上有兩個基本問題1.如何確定曲線上一點處切線的斜 一般地, 如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間I上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線, 那么就把它稱為區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù).aboxyaboxy

2、一般地, 如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間I上的圖象是 曲邊梯形：在直角坐標系中，由連續(xù)曲線y=f(x)，直線x=a、x=b及x軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。Ox y a b y=f (x)x=ax=b 曲邊梯形：在直角坐標系中，由連續(xù)曲線y=f(x)，直線 因此，我們可以用一條直線L來代替點P附近的曲線，也就是說：在點P附近，曲線可以看作直線（即在很小范圍內(nèi)以直代曲）P放大再放大PP 因此，我們可以用一條直線L來代替點P附近的曲線1.5.1 曲邊梯形的面積 特殊：求直線x0、x1、y0及曲線 yx2 所圍成的平面圖形（曲邊三角形）面積S是多少？x yO11.5.1 曲邊梯形的面積 特殊：求直線x

3、0、xx yO1方案1方案2方案3 為了計算曲邊三角形的面積S，將它分割成許多小曲邊梯形 對任意一個小曲邊梯形，用“直邊”代替“曲邊”（即在很小范圍內(nèi)以直代曲），有以下三種方案“以直代曲” 。x yO1方案1方案2方案3 為了計算曲邊三角形的面 y = f(x)bax yO A1 用一個矩形的面積A1近似代替曲邊梯形的面積 A，得 y = f(x)bax yO A1 用一個矩形的面積A 用兩個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)bax yOA1A2 用兩個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y 用四個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y = f(x)b

4、ax yOA1A2A3A4 用四個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積A， 得 y 將曲邊梯形分成 n個小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積， 于是曲邊梯形的面積A近似為 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + AnA1AiAn 以直代曲,無限逼近 將曲邊梯形分成 n個小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代 分割越細，面積的近似值就越精確。當分割無限變細時，這個近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S。下面用第一種方案“以直代曲”的具體操作過程 分割越細，面積的近似值就越精確。當分割無限變細時，這(1) 分割把區(qū)間0，1等分成n個小區(qū)間： 過各區(qū)間端點作x軸的垂線，從而得到n個

5、小曲邊梯形，他們的面積分別記作(1) 分割把區(qū)間0，1等分成n個小區(qū)間： 過各區(qū)間(2) 以直代曲(3) 作和(2) 以直代曲(3) 作和(4) 逼近分割以直代曲作和逼近(4) 逼近分割以直代曲作和逼近 當分點非常多（n非常大）時，可以認為f(x)在小區(qū)間上幾乎沒有變化（或變化非常小），從而可以取小區(qū)間內(nèi)任意一點 xi 對應(yīng)的函數(shù)值 f(xi) 作為小矩形一邊的長，于是f(xi) x 來近似表示小曲邊梯形的面積表示了曲邊梯形面積的近似值 當分點非常多（n非常大）時，可以認為f(x)在小觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注

6、意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形

7、面積的關(guān)系觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示，注意當分割加細時，觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示，注意當分割加

8、細時，觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示，注意當分割加細時， f(x2) y = f(x)bax yOx1xi-1xixn-1x2 xi f(xi)x1x2 f(x1) f(xi)xi 在 a, b中任意插入 n -1個分點 得n個小區(qū)間： xi1 , xi (i=1, 2 , , n) 把曲邊梯形分成 n 個窄曲邊梯形 任取xi xi1，xi ，以f (x i) xi近似代替第i個窄曲邊梯形的面積 區(qū)間xi1 , xi 的長度xi xi xi1 曲邊梯形的面積近似為：A f(x2) y = f(x)bax yOx1xi-1xix f(x2) y = f

9、(x)bax yOx1xi-1xixn-1x2 xi f(xi)x1x2 f(x1) f(xi)xi f(x2) y = f(x)bax yOx1xi-1xix 練習(xí) ：求直線x=0, x=2, y=0與y=x2所圍成的曲邊梯形的面積. 練習(xí) ：求直線x=0, x=2, y=0與y=x2所圍成求由連續(xù)曲線y=f(x)對應(yīng)的曲邊梯形面積的方法(1) 分割 (2) 近似代替 (4) 取極限 (3) 求和小結(jié)求由連續(xù)曲線y=f(x)對應(yīng)的曲邊梯形面積的方法(1) 分割 分點越來越密時，即分割越來越細時，矩形面積和的極限即為曲邊形的面積。 把這些矩形面積相加作為整個曲邊形面積S的近似值。 分點越來越密

10、時，即分割越來越細時，矩形面積和的極限即函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分的概念;函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分的概念;函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分,記作:1.定積分的概念:知識歸納函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分,記作:1.定積分的2.定積分的幾何意義:在區(qū)間a, b上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)0. 表示由直線x=a, x=b(ab), y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積(因而定積分是一個確定的常數(shù))2.定積分的幾何意義:2.定積分的幾何意義:在區(qū)間a, b上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有 f(x)0. 表示由直線x=a, x=b(ab), y=0和曲線y=f(x

11、)所圍成的曲邊梯形的面積(因而定積分是一個確定的常數(shù))3.定積分的作用 求曲邊梯形的面積2.定積分的幾何意義:3.定積分的作用 應(yīng)用1: 用定積分的概念, 寫出 拋物線y=x2與直線x=1, y=0所圍成的陰影部分的面積知識應(yīng)用 應(yīng)用1: 用定積分的概念, 寫出 應(yīng)用2:應(yīng)用2: 應(yīng)用3: 請利用定積分的幾何意義，表示出陰影部分的面積S. 應(yīng)用3: 請利用定積分的幾何意義，表示出陰應(yīng)用4: 比較下列各式的大小:應(yīng)用4: 比較下列各式的大小:請利用定積分概念, 解釋定積分的下列性質(zhì):問題探究請利用定積分概念, 解釋定積分的下列性質(zhì):問題探究應(yīng)用5:知識應(yīng)用應(yīng)用5:知識應(yīng)用小結(jié)小結(jié)例2彈簧在拉伸過程中，力與伸長量成正比，即為F(x)kx(k為常數(shù)，x是伸長量)，求彈簧從平衡位置拉長