高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點歸納與總結(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算

1、高三教學(xué)輪復(fù)習(xí)知識 點歸納與總結(jié)變化率與導(dǎo)教導(dǎo)教的計Coca-cola standardization office ZZ5AB-ZZS YT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18備考方向要明了考什么怎么考.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)9= c（c 為常數(shù)），y=x, y=Y, y =士,的導(dǎo)數(shù).X.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求 簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).對于導(dǎo)數(shù)的幾何意義，高考要求較高， 主要以選擇題或填空題的形式考查曲線在某點處的切線問題,如2012年廣東 T12,遼寧T12等.導(dǎo)數(shù)的基本運算多涉及三次函數(shù)、指數(shù) 函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，

2、主要考查 對基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及求導(dǎo)法則的正確利用.歸納知識整合1.導(dǎo)數(shù)的概念（1）函數(shù)p=f（x）在X=Xo處的導(dǎo)數(shù)：稱函數(shù)P=F（X）在X=Xo處的瞬時變化率!四。：=!.金 三為函數(shù) 尸F(xiàn)（X）在X=Xo處的導(dǎo)數(shù)，記作f 3）或f，(%)=抽三=f，(%)=抽三=1沏%+ A x fxQ八x(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在點X。處的導(dǎo)數(shù) (吊)的幾何意義是在曲線 尸f(x)上點尸(X” %) 處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(力對時間匕的導(dǎo)數(shù)).相應(yīng)地，切線方 程為y-(%)(才一品)(3)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)：A y fx稱函數(shù) (x)=l訓(xùn)=一-一為f(x)的導(dǎo)函數(shù). Ax

3、-O八 X探究(X)與/(照)有何區(qū)別與聯(lián)系提示：，(X)是一個函數(shù)，f (就是常數(shù)，(照)是函數(shù)f(X)在加處的函 數(shù)值.曲線y=f(x)在點R(x。，處的切線與過點月照，的切線，兩種說法有 區(qū)別嗎提示：(1)曲線y=f(x)在點P(x。,處的切線是指尸為切點，斜率為k= f (加的切線，是唯一的一條切線.(2)曲線p=f(x)過點尸(吊，切的切線，是指切線經(jīng)過戶點.點尸可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條.過圓上一點尸的切線與圓只有公共點尸，過函數(shù)尸（力圖象上一點尸的切線與圖象也只有公共點尸嗎提示：不一定，它們可能有2個或3個或無數(shù)多個公共點.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

4、f （力=c（c為常數(shù)）f Cy) =0f(x) =*(“)f (x) =n婷f(x) =sin xf (x) =cos_xfx =cos Xf (x) = - sin_f (x) = axf(尤)=f (x) = ef (x)=貯f(x) =log&xf1 (x)=7 xln af(x) = In xf (x)=；X.導(dǎo)數(shù)的運算法則(l)f(x) 土g(x) =f ( 土(x)：f(x) g(x) r =f (x)g(x)+f(x)J (x)；1=，一(.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f()，u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yl =yj - 1 ,即1對的導(dǎo)數(shù)等于y對的導(dǎo)

5、數(shù)與對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.自測牛刀小試1.(教材習(xí)題改編) (x)是函數(shù)f(x)=4d+2x+l的導(dǎo)函數(shù)，則/(一1)的O值為()B. 3A. 0B. 34解析：選 B : f(x) =/+2x+l, :. f (x) =，+2.,f (-1)=3.2.曲線p=2xM在x= 1處的切線方程為（）x+y+2 = 0 x+y2 = 0 x+y+2 = 0 x+y2 = 0 xy+2 = 0 x-y-2 = 0 xy+2 = 0解析：選 A : f(x) =2x/，:,f (x)=2 3/：.ff (-l)=2-3 = -l.又 f( 1) = 2 + l = -1,J 切線方程為 y+l = (x+1

6、),即 x+y+2=0.3. y=Ycos x的導(dǎo)數(shù)是()y =2xcos x+fsin xy =2xcos xxsin xy=2xcos xy =xsin x解析：選 B y =2xcos xfsin x. sin x4.(教材習(xí)題改編)曲線尸一在點玳兀，0)處的切線方程是 x54- 、 sin x .、 x cos x-sin x解析：f(x)=，:f (x)=5,XX，切線方程為 y=、(x n )，即 x+ JI p JI =0.答案：x+ n y Ji =05.(教材習(xí)題改編)如圖，函數(shù) 尸f(x)的圖象在點尸處的切線方程是y=x 4-8,則 f(5)+f (5)=.解析：由題意知

7、(5)= -1,(5)=-5 + 8 = 3,H5)+f (5) =3-1 = 2.答案：2導(dǎo)數(shù)的計算例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1 y= (1-5)1+不;/、 In x(2)y=；(3)y=tan x；(4) y= 3 b 2+ e.- xIn x- xIn x1-ln x/ 、(3)/sin x(3)/,cos x,sin x cos xsin xcos xcos xcos x-sin xsin x 1 , 1 ) COS-XCOS-y(4)/ =(3%) 一(2) +e =(3) e，+3Ye) 一(2) =3x(ln 3) ex+ 3TeA2,ln 2= (In 3 + 1) (3e)2ln

8、 2.若將本例中“tan x”改為“sin如何求解解：Vy=sin 解：Vy=sin 胃 1-2cos，： X X 1=-sin -cos -= -sin x乙乙乙, 1y =cos x.乙求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法(1)求導(dǎo)之前，應(yīng)先利用代數(shù)、三角恒等式等對函數(shù)進行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但可在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角 恒等變形將其化簡為整式形式，然后進行求導(dǎo)，這樣可以避免使用商的求導(dǎo)法則,1-r1-r1-r1-r減少運算量.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)尸十d產(chǎn) x； Q）y=（x+i）（x+2） （x+3）； X/、1,1.、 cos 2x

9、y=p 4- p; (4) y v L山 l+山 sin x+cos x TOC o 1-5 h z 有+/+sin x.乙-2 . 3 . sin x解：(1) Vy=:=x 2 +x H:-*XXyf = (x 2) + (x) 9 + (x -sin x) 93 _5 今x 2 +3-T-2-3sin x+xcos x.乙 y=(Y + 3x+ 2) (x+ 3)=三+6/+11才+6,/./ =3/+12x+ll.lxLx-21-y -21-y _ 2cos 2x.y=;=cos xsin x,sin x十cos xy sin xcos x.例2求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：尸(2x3) (2

10、)y=y)3x； / -Hy=sin_ 2x+ ； (4)y= In(2x+ 5). J /自主解答 設(shè)u=2x3,則尸(2x3尸由尸爐與u=2x3復(fù)合而成，/./ =f ()(X)=(爐), (2x3)=5 2 = 10/=10(2矛一3).設(shè)=3x,則尸十 x由尸/與=3 x復(fù)合而成././ =f() u (x) = (u；) (3 x)1/ 、1 4=臚-5(-1)=-那-= i2d3 x 2x6.(3)設(shè) yil， u=sin(3)設(shè) yil， u=sinn% v=2x+,Jv k=2u cos v 2ji= 4sinl 2,y+ cos設(shè)尸In u, u=2x+5,則 y；= y u

11、 x.22x+5 (2x+ =2x+5.方法如的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)應(yīng)注意三點一要分清中間變量與復(fù)合關(guān)系；二是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，像鏈條一樣，必須一 環(huán)一環(huán)套下去，面不能丟掉其中的任一環(huán)；三是必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基 本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的，分清其復(fù)合關(guān)系.求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(l)y= (1 + sin x)2； (2)y=ln #步+1；尸:產(chǎn)尸x勺1 +上解：(1)./ =2(1 + sin x) (1 + sin x)=2(1 + sin x) cos x./ =(ln V7+l)z冊（尸i ii后r/+.(+x=7+I-(3)設(shè) u=l 3x, y=u A貝Uk，=yj 1 =

12、-4u5 (-3)12=137-(4)/ =(x#l不，)x，也+ 1+x( ,1 + *)yJl + G+M導(dǎo)數(shù)的幾何意義例3 (1) (2012 遼寧高考)已知尸，0為拋物線*=2y上兩點，點尸，0的 橫坐標(biāo)分別為4, -2,過R。分別作拋物線的切線，兩切線交于點4則點力的 縱坐標(biāo)為.(2)已知曲線y=j2+1.求曲線在點尸(2, 4)處的切線方程；求斜率為4的曲線的切線方程.V自主解答(1)尸5，/ =x,y x=i = 4 y | .T= -2= -2.點尸的坐標(biāo)為(4為)，點。的坐標(biāo)為(-2,2),. .在點尸處的切線方程為y8=4(x4),即p=4x8.在點0處的切線方程為p2=-

13、2(x+2),y=4x-y=4x-8,尸_2一,得如,一4)則月點的縱坐標(biāo)為一4.即尸一2才一2 .國華4尸(2, 4)在曲線尸-3+可上， o 0且/ =r,在點尸(2,4)處的切線的斜率女=|.2=4.曲線在點尸(2, 4)處的切線方程為y4 = 4 (x2),即 4xy4 = 0.設(shè)切點為(照，則切線的斜率A=x；=4,及=2.切點為4)或(一2, 一斜4，切線方程為 廠4 = 4(才一2)或9+4(才+2),即 4xy-4 = 0 或 12x-3y+20 = 0.答案-4若將本例中“在點尸(2, 4)”改為過點尸(2, 4)”如何求解解：設(shè)曲線尸,三+,與過點尸(2, 4)的切線相切于

14、點力Xo，則切線的斜率k= /1矛=弱=點工切線方程為y：累+野=,(X一加,24即尸點 x鼻尤+鼻.J J,點及, 4在切線上,2，4=2岔一鼻女+f(4,3),即仁一3=+4=0. O.,云+三一4髭 + 4 = 0./及)+1 4局+1 吊一1 = 0.照+1照-2，=0.解得照=-1或照=2.故所求的切線方程為4xy4 = 0或xy+2 = 0.方法.規(guī)律.求曲線切線方程的步驟(1)求出函數(shù)y=f(x)在點x=x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點尸(吊，/(ao) 處切線的斜率;由點斜式方程求得切線方程為y%= （加（x加.求曲線的切線方程需注意兩點（1）當(dāng)曲線p=f（x）在點尸（,

15、f（x。）處的切線平行于y軸（此時導(dǎo)數(shù)不存在） 時，切線方程為x=x。；（2）當(dāng)切點坐標(biāo)不知道時，應(yīng)首先設(shè)出切點坐標(biāo)，再求解.已知函數(shù)f（x）=2 7市（*一1）,曲線y=f（x）在點尸（如f（x。）處的切 線/分別交x軸和y軸于4 6兩點，。為坐標(biāo)原點.（1）求x0 = l時，切線1的方程；（2）若尸點為（一|, ）,求力。6的面積.解：，（*）=六則 5）=啟T則曲線尸f（x）在點尸（, f（x。）的切線方程為y /（Ao） =1 / 1（x 照）,即y=即y= 照+2 q照+i也+1所以當(dāng)?shù)?1時，切線，的方程為X也y+3 = O.導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用(2)當(dāng) x=0 時,照+ 2當(dāng) (2

16、)當(dāng) x=0 時,照+ 2當(dāng) y=0 時，x=-Xo2.1及+2s35 聲!Lc 照+2,4+2 =2 4Xo+l例4已知a為常數(shù)，若曲線 尸技+ 31一In x存在與直線x+y1=0垂 直的切線，則實數(shù)a的取值范圍是（）自主解答由題意知曲線上存在某點的導(dǎo)數(shù)為1,所以./ =2ax+31=1有正根，X即2a1 + 2x1 = 0有正根.當(dāng)aNO時，顯然滿足題意;當(dāng)水0時，需滿足4 20,解得一；Wa0.綜上,-2 乙答案A方法.她的導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用的三個方面導(dǎo)數(shù)的兒何意義是切點處切線的斜率，應(yīng)用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)己知切點火照，F(xiàn)(照)求斜率A,即求該點處的導(dǎo)數(shù)值：k=ff Cyo

17、);(2)已知斜率A,求切點力(如FCG),即解方程 (區(qū))=&(3)己知過某點 以為，(8)(不是切點)的切線斜率為攵時，常需設(shè)出切點 力(即f(x。)，利用女=正口總求解.X1 照4.若函數(shù) f(x)=sin|+看 +。)(06五),且 f(x)+f (x)是奇函數(shù), 則 0=./ 解析：(x) =sin +#-必可得 (x)=3x+2f 鼻 x1, W/“能3X(|)+2f解得 “|)=一1,即 f(x)=-X.則俳/嗡子嚼(92故函數(shù)f(x)的圖象在，處的切線方程是22y+=- x-A 即 27x+27y+4 = 0.答案：27x+27y+4 = 0一、選擇題(本大題共6小題，每小題5

18、分，共30分)1. (2013 永康模擬)函數(shù)p=f(x)的圖象如圖所示，則尸f (X)的圖象可能 是(解析：選D據(jù)函數(shù)的圖象易知，X0時恒有 (x)0,當(dāng)x0時，恒有 f (x)0,fx)=cos x+x是f上的增函數(shù)，注意到一于是有/4 、乙 乙)O Oy o TOC o 1-5 h z 3.已知l為實數(shù)，F(xiàn)(x) = (f 4)(x力且，(-1)=0,則1等于()A. 0B. -1D. 2解析：選 C f (x) =3/-2 tx4,f (-l)=3 + 2t-4 = 0, r=1.4.曲線尸xe+2x1在點(0, 1)處的切線方程為()A. y=3x1B. y= -3x1C. y=3x

19、+lD. y 2x 1解析：選A依題意得= (x+l)e+2,則曲線y=xe+2x1.在點(0, 1) 處的切線的斜率為L=。，故曲線尸xe、+2x1在點(0, 1)處的切線方程為p +1 = 3x,即 y= 3x 1.5. (2013 大慶模擬)己知直線尸去與曲線y= In x有公共點，則A的最大 值為()A. 1解析：選B從函數(shù)圖象知在直線y=kx與曲線7= In x相切時，k取最大值./ =(ln * =-=k, x=)(攵WO),切線方程為 yIn又切線XKK K)過原點(0,0),代入方程解得In k= - l, k=. e.設(shè)函數(shù)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為 (x),且2f(x)+x

20、(x)V.下面的不等 式在R上恒成立的是()A. f(x) 0B. f(x)xD. fx) x對x不成立，排除C項. 乙 1乙X乙二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分).已知 f(x)=/ + 2x (1),則 (0)=.解析：f (x)=2x+2f (1),:.f =2+2f (1),即/(l)=-2.：.f (x)=2x4. , (0)=-4.答案：一4.已知函數(shù)尸f(x)及其導(dǎo)函數(shù)尸 (x)的圖象如、1”劭 圖所 “仆示，則曲線尸f(x)在點尸處的切線方程是.少飛,0) 解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及圖象可知，曲線y=f(x)在點尸處的切線的斜率 k= (2)=1,又過點尸(2,

21、0),所以切線方程為xy2 = 0.答案：xy2 = 0.若曲線f(x)=aV+in x存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是 解析：曲線f(x)=ax5+ln x存在垂直于y軸的切線，即 (x)=0有正實數(shù) 解.又，(x)=5ax+3方程5aV+1=0有正實數(shù)解. XX5aV=-l有正實數(shù)解.水0.故實數(shù)a的取值范圍是(一8, 0).答案：(-8, 0)三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分).已知函數(shù)f(x)=三1的圖象在點(一1, f( 1)處的切線方程為x+2y+ 5 = 0,求y=f(x)的解析式.解：由已知得，-1+2( 1)+5 = 0,，f( 1) = 2,即切

22、點為(1, 2) .又 f (x) =又 f (x) =ax-6 3+/?ax61 + /Y+Z?2一加+12x+ abC-a-6 c1 + 6 - ，, fa=2,-a12 + aZ?_ 1解得 fb=3.=?二 f (x)=二 f (x)=2x67+3-.如右圖所示，已知月(一1, 2)為拋物線C： y=2r 點，直線4過點4且與拋物線。相切，直線；2： x= 1)交拋物線。于點6,交直線4于點。(1)求直線人的方程；(2)求月劭的面積S.解：(1)由條件知點月(-1, 2)為直線心與拋物線。的切點.V/ =4x,直線心的斜率左=一4.所以直線h的方程為7-2=-4Cy+1),即 4x+y

23、+2 = 0.點A的坐標(biāo)為(一1, 2),由條件可求得點，的坐標(biāo)為, 2才),點的坐標(biāo)為(a, 4a2),力切的面積為=我|2，一(一45-2) X|一l a| = |(a+l)1=(a+D).如圖，從點(0,0)作x軸的垂線交曲線尸e于點Q(0, 1),曲線在。點 處的切線與x軸交于點2再從作x軸的垂線交曲線于點Q,依次重復(fù)上述過程 得到一系列點：P, Q； % Q；Pn，Q,記8點的坐標(biāo)為區(qū),0) (A=l,2,， ri).(1)試求及與&一1的關(guān)系(A=2,，n)；求PQ +|2兇+山。|+180.解：（1）設(shè)點87的坐標(biāo)是（XI,O）, 一 x / xy=e , .y e ,:, Qr(Xk_, e &7),在點 Qt(3t，e 及-J 處的切線方程是 peXj = eAi7(xx-i),令 y=0,貝ijxi=xi-1l (k=2,，n).V 吊=0, Xi-&_i = 1, xk= (k1),PkQk =eAi=e ，于是有 iRQl + lRQ +|RQ|+|K 以 |=1 + 尸 + 67+ eii)-n1-n1ee-e=一尸=eT 1-n 即g Q|+ RQ| + |RQ|+歷山=211r.e 1L設(shè)函數(shù)