第二章一元函數(shù)微分學及其應用-課件

1、第二節(jié) 導數(shù)的應用一、微分中值定理二、洛必達法則三、函數(shù)的單調性、極值與最值四、曲線的凹凸性、拐點以及函數(shù)圖形的描繪五、導數(shù)在工程技術中的簡單應用第二節(jié) 導數(shù)的應用一、微分中值定理一、微分中值定理1. 羅爾定理引理 設f(x)在 處可導,且在 的某鄰域內恒有 則有 .定義 導數(shù)等于零的點稱為函數(shù)的駐點（或穩(wěn)定點、臨界點）. .一、微分中值定理1. 羅爾定理引理 設f(x)在 羅爾定理 設函數(shù) f(x) 滿足(1) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù),(2) 在開區(qū)間(a,b)內可導,(3) f(a)=f(b),注意：羅爾定理的條件有三個，如果缺少其中任何一個條件，定理將不成立.羅爾定理 設函數(shù) f(x) 滿

2、足(1) 在閉區(qū)間a羅爾定理幾何意義：羅爾定理幾何意義：2. 拉格朗日中值定理定理 設函數(shù)f(x)滿足(1) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間(a,b)內可導；則至少存在一點 分析 與羅爾定理相比，拉格朗日中值定理中缺少條件是f(a)=f(b).如果能由f(x)構造一個新函數(shù) 使 在a,b上滿足羅爾定理條件，且由 能導出 則問題可解決.2. 拉格朗日中值定理定理 設函數(shù)f(x)滿足(1) 拉格朗日中值定理的幾何意義： 如果在a,b上的連續(xù)曲線，除端點外處處有不垂直于x軸的切線，那么在曲線弧上至少有一點 使曲線在該點處的切線平行于過曲線弧兩端點的弦線.弦線的方程為作輔助函數(shù)即可. 的幾何意

3、義為：曲線的縱坐標與曲線弧兩端點連線對應的縱坐標之差.拉格朗日中值定理的幾何意義： 如果在a,b上第二章一元函數(shù)微分學及其應用-課件3. 柯西中值定理定理 設函數(shù)f(x)與F(x)滿足：(1)在閉區(qū)間a,b上都連續(xù)，(2)在開區(qū)間(a,b)內都可導，(3)在開區(qū)間(a,b)內，則至少存在一點在柯西中值定理中，若取F(x)=x，則得到拉格朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗日中值定理的推廣.3. 柯西中值定理定理 設函數(shù)f(x)與F(x)滿足：(4. 泰勒公式4. 泰勒公式第二章一元函數(shù)微分學及其應用-課件第二章一元函數(shù)微分學及其應用-課件二、洛必達法則1. 二、洛必達法則1. 洛必達

4、 (LHospital,1661-1704)定理1洛必達 (LHospital,1661-1704)定理1 定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則.注意： 1) 使用洛必達法則必須驗證條件，不是 未 定式不能用羅必塔法則；2)洛必達法則可以連續(xù)應用，必須步步化簡（盡可能地化簡）、步步驗證求未定式的極限. 定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來定理2定理2例1解解法：將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型2. 其它未定式的求法例1解解法：將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型2. 例2解例2解例3解例3解洛必達法則洛必達法則

5、三、函數(shù)的單調性、極值和最值1. 函數(shù)的單調性 問題的提出若 在區(qū)間（a,b)上單調上升若 在區(qū)間（a,b)上單調下降 三、函數(shù)的單調性、極值和最值1. 函數(shù)的單調性 問題定理1（函數(shù)單調性判別法）定理1（函數(shù)單調性判別法）例解例解2. 函數(shù)的極限定義2. 函數(shù)的極限定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.注1：極值是函數(shù)的局部性概念，與最值不同；注2：極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,注1：極值是函數(shù)的局部性概念定理2（極值存在的必要條件）注1:例如,注2:定理2（極值存在的必要條件）注1:例如,注2:定理3（第一充分條件）

6、定理3（第一充分條件）求極值的步驟:求極值的步驟:定理4（第二充分條件）注意:函數(shù)的不可導點,也可能是函數(shù)的極值點.定理4（第二充分條件）注意:函數(shù)的不可導點,也可能是函數(shù)的極3. 函數(shù)的最大值和最小值 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值3. 函數(shù)的最大值和最小值 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值步驟:1.求駐點：3.求區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數(shù)值注意:如果區(qū)間內只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)2.求不可導點：4. 比較（3）中函數(shù)值大小,最大的便是最大值,最小的便是最小值;步驟:1.求駐點：3.求區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數(shù)值注意四、曲線的凹凸性、拐點以及函數(shù)圖形的描繪1. 曲線的凹凸與

7、拐點 定義1 設函數(shù)y=f(x)在I上連續(xù),若曲線y=f(x)位于其上任意一點的切線的上方,則稱該曲線y=f(x)在I上是凹的;若函數(shù)的曲線位于其上任意一點的切線的下方,則稱曲線y=f(x)在區(qū)間I上是凸的. 定理 設函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),在區(qū)間(a,b)內具有一階和二階導數(shù).(1)若在(a,b)內f (x)0,則f(x)在a,b上的圖形是凹的;(2)若在(a,b)內f (x)0,則f(x)在a,b上的圖形是凸的. 四、曲線的凹凸性、拐點以及函數(shù)圖形的描繪1. 曲線的凹凸與拐 定義2 連續(xù)曲線 y = (x)上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點。 定義2 連續(xù)曲線 y = (x)上凹

8、弧與凸定義:（1）鉛直漸近線2. 函數(shù)圖形的描繪1）漸近線定義:（1）鉛直漸近線2. 函數(shù)圖形的描繪1）漸近線例如有鉛直漸近線兩條:例如有鉛直漸近線兩條:（2）水平漸近線例如有水平漸近線兩條:（2）水平漸近線例如有水平漸近線兩條:（3）斜漸近線斜漸近線求法:（3）斜漸近線斜漸近線求法:注意:例1解注意:例1解第二章一元函數(shù)微分學及其應用-課件第二章一元函數(shù)微分學及其應用-課件2）函數(shù)圖形的描繪一般步驟：(1)確定函數(shù)的定義域，并討論函數(shù)奇偶性、周期性； (2)求出一階、二階導數(shù)為零的點，求出一階、二階導數(shù)不存在的點；(3)列表分析，確定曲線的單調性和凹凸性； (4)確定曲線的漸近性；(5)確定并描出曲線上極值對應的點、拐點、與坐標軸的交點、其它特殊點； (6)連結這些點畫出函數(shù)的圖形 2）函數(shù)圖形的描繪一般步驟：例解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.例解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:不存在拐點極值點間斷點列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:不存在拐點極值作圖作圖五、導數(shù)在工程技術中的簡單應