復變函數(shù)論課件：7-2 分式線性變換

1、7.2分式線性變換 7.2.1 分式線性變換及其分解 7.2.2 分式線性變換的映射性質(zhì) 1. 分式線性變換的保形性 2. 分式線性變換的保交比性 3.分式線性變換的保圓周性 4.分式線性變換的保對稱性7.2.3分式線性變換的應用(7.3)為分式線性變換.簡記為w=L(z).1.定義7.2.1 分式線性變換及其分解稱變換說明對w=L(z)作如下的補充定義：c0時c=0時條件ad-bc0是必要的。因若ad-bc=0,則 約定：w=L(z)的定義域為C：(7.4)結論w=L(z)將CCw=L(z)的逆變換為 w=L(z)在擴充z平面上是保域的2. 分式線性變換 w=L(z)的分解由復合而成 w=L

2、(z)在擴充z平面上是保域的2. 分式線性變換 w=L(z)的分解由復合而成結論：分式線性變換 w=L(z)可以分解為如下簡單變換的復合整線性變換旋轉變換伸縮變換平移變換關于單位圓周的對稱變換關于實軸的對稱變換 定義7.3 二曲線在無窮遠點處的交角為a,就是它們在反演變換下的象曲線在原點處交角為a.(形如w=1/z的變換稱為反演變換.) 定理7.7 線性變換(7.3)在擴充z平面上是保形的.(7.3) 定理7.7 線性變換(7.3)在擴充z平面上是保形的.(7.3)證明 我們只要證明()和()型變換在擴充z 平面上是保角的,因為(7. 3)在擴充z 平面上是單葉的.在z = 0 及z = 處是

3、保角的 ? 定義7.3 現(xiàn)將它們代入()型變換得當四點中有一點為時,應將包含此點的項用1代替.例如z1= 時,即有亦即先視z1為有限,再令 取極限而得. 定義7.4 擴充平面上順序的四個相異點z1,z2,z3,z4構成下面的量,稱為它們的交比,記為(z1,z2,z3,z4): 定理7.8 在線性變換下,四點的交比不變. 證 設則因此(7.9) 定理7.9 設線性變換將擴充z平面上三個相異點z1,z2,z3指定為w1,w2,w3,則此線性比就被唯一確定,并且可以寫成 (7.10)(即三對對應點唯一確定一個線性變換). 定理7.10 線性變換將平面上的圓周(直線)變成圓周或直線. 形如()的整線性

4、變換,顯然將圓周(直線)變?yōu)閳A周(直線),這可由變換()的幾何意義得知.形如()的反演變換將圓周(直線)變?yōu)閳A周或直線.事實上,圓周或直線可表為(見第一章習題(一)8)當A = 0 時就表直線.經(jīng)過變換 w =1/z(7. 11)成為它表示直線或圓周(視C 是否為零而定).因為線性變換(7. 3)是幾個()和()型變換的復合,這樣,我們就證明了定理 定理7.10 線性變換將平面上的圓周(直線)變成圓周或直線. 注:在擴充平面上,直線可視為經(jīng)過無窮遠點的圓周.事實上(7.11)可改寫為欲其經(jīng)過,必須且只須A=0.因此可以說:在線性變換(7.3)下,擴充z平面上的圓周變?yōu)閿U充w平面上的圓周,同時,圓被保形變換成圓.(這就是線性變換的保圓周(圓)性.) 定義7.5 z1,z2關于圓周 對稱是指z1,z2都在過圓心a的同一條射線上,且合此外,還規(guī)定圓心a與點關于 為對稱的。(7.6)( z1,z2關于圓周 對稱,必須且只須 (7.6) ) 定理7.12 設擴充z平面上兩點z1,z2關于圓周 對稱,w=L(z)為一線性變換,則w1=L(z1)w2=L(z2)兩點關于圓周 對稱. 證 設 是擴充z平面上經(jīng)過w1,w2的任意圓周.此時,必然