題型歸納：立體幾何解答題15種題型

1、 52/52【題型歸納】立體幾何解答題15種題型【題型一】 平行1：四邊形法證線面平行【典例分析】如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是，CD的中點（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】(1)取中點G，連接FG，證四邊形是平行四邊形，結合線面平行的判定即可推理作答.（1）在正方體中，取中點G，連接FG，如圖，而F是CD的中點，則，又E是的中點，則，因此，四邊形是平行四邊形，有，而平面，平面，平面.【提分秘籍】基本規(guī)律1.利用平移法做出平行四邊形2.利用中位線做出平行四邊形【變式演練】1.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC底面ABCD，E是PB的

2、中點.（1）求證：平面PAD；（2）若，求三棱錐P-ACE的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取PA的中點F，連接EF，DF，利用平行四邊形證明，再由線面平行的判定定理即可得證；（2）根據(jù)等體積法知，即可由棱錐體積公式求解.（1）取PA的中點F，連接EF，DF，點E，F(xiàn)分別為PB，PA的中點，又，四邊形EFDC是平行四邊形，又平面PAD，平面PAD，平面PAD；2.如圖，在四棱錐中，面，且，為的中點（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成二面角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在說明理由【答案】（1）證明見解析（2）（3

3、）存在，【分析】（1）只要證明AN所在平面ANE與平面PBC平行即可；（2）建立空間直角坐標系，用向量法計算二面角的余弦值；（3）用向量法計算直線與平面成角的正弦值，然后列方程求解（1）證明：取CP中點F，連接NF、BF，因為F，N分為PC，PD的中點，則，且，又，且，所以四邊形NABF是平行四邊形，又面PBC，面PBC。所以AN平面PBC；【題型二】 平行2：中位線法證線面平行【典例分析】.如圖，四棱錐中，側面底面，底面為梯形，且，.交于點，為的重心.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接并延長交于點，連接，由已知條件可得，得，再由為的重心，

4、則有，從而可得，再由線面平行的判定可證得結論，（2）由已知可得和為正三角形，連接并延長交于點，有，則面，從而可得，然后由已知條件求解，（1）證明：在圖中：連接并延長交于點，連接.由底面為梯形，則.又由為的重心，則，所以.而平面，平面，所以平面.【提分秘籍】基本規(guī)律中位線法難點在于怎么“發(fā)現(xiàn)三角形”【變式演練】1.如圖，三棱臺，平面平面，側面是等腰梯形，, 分別是的中點.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質，結合線面平行的判定定理進行證明即可；（2）利用平行線的性質，結合線面垂直的判定定理、三棱錐等積性、線

5、面角的定義進行求解即可. （1）證明：連接與交于點，連接，因為，所以由棱臺的性質可知：，且，因為是的中點，因此，因此四邊形是平行四邊形，所以是的中點，又是的中點，所以，而平面，平面，所以平面；2.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，M為PB上靠近B的三等分點.（1）求證：平面ACM；（2）求直線PD與平面ACM的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）以線面平行的判定定理去證明即可解決；（1）證明：如圖，連接BD，交AC于點N，連接MN.因為，所以，又M為PB靠近B的三等分點，所以，所以，所以，又平面AMC，平面AMC，所以平面AMC.【題型三】 平行3：做平行平面法證線面平行【典例分析

6、】如圖，C，D分別是以AB為直徑的半圓O上的點，滿足，PAB為等邊三角形，且與半圓O所成二面角的大小為90，E為PA的中點.（1）求：DE/平面PBC；（2）求二面角ABED的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）通過證明平面平面來證得平面.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求得二面角的余弦值.（1）依題意，所以，所以三角形、三角形、三角形是等邊三角形，所以，所以四邊形是菱形，所以，由于平面，平面，所以平面.由于是的中點，是的中點，所以，由于平面，平面，所以平面.由于，所以平面平面，所以平面.【提分秘籍】基本規(guī)律做出平行平面來證線面平行，屬于“麻煩的方法”，但是在證明后續(xù)的“探

7、索性”題型時非常實用。授課時可以先用“中點型”培養(yǎng)“找面做面”的思維。【變式演練】1.在四棱錐中，.（1）若E為PC的中點，求證：平面PAD.（2）當平面平面ABCD時，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）作出輔助線，利用中位線證明線線平行，進而證明線面平行；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量解決二面角.（1）取CD的中點M，連接EM，BM，由已知得，為等邊三角形，.，.又平面PAD，平面PAD，平面PAD.E為PC的中點，M為CD的中點，.又平面PAD，平面PAD，平面PAD.，平面平面PAD.平面BEM，平面PAD.2.如圖所示的四棱錐的底面是一個等腰梯形，且

8、，是的中線，點E是棱的中點（1）證明：平面（2）若平面平面，且，求平面與平面夾角余弦值（3）在（2）條件下，求點D到平面的距離【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）連接、，平行四邊形的性質、線面平行的判定可得平面、平面，再根據(jù)面面平行的判定可得平面平面，利用面面平行的性質可證結論；（2）取的中點為，連接，證明出平面，以為坐標原點，、的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值.（3）利用等體積法，求D到平面的距離（1）連接、，由、分別是棱、的中點，則，平面，平面，則平面又，且， 且，四邊形是平行四邊形，則，平面，平面，則

9、平面又，可得平面平面又平面平面【題型四】 平行4：難題-線面探索型【典例分析】在四棱錐中，底面是菱形，.（）若，求證：平面；（）若平面平面，求證：；（）在棱上是否存在點（異于點）使得平面，若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】（）證明見解析；（）證明見解析；（）不存在.【分析】（）由是菱形可得；結合，由線面垂直的判定定理可得平面.；（）由（）可知,由面面垂直的性質可得,結合可得結果；（）利用反證法，假設存在點（異于點）使得平面，可推出平面平面，從而可得結論. 【詳解】（）因為 底面是菱形。所以.又因為，所以平面. （）由（）可知.因為平面平面，平面平面，平面，因為平面，所以.因為 底面是

10、菱形，所以.所以. （）不存在. 下面用反證法說明. 假設存在點（異于點）使得平面.在菱形中，因為平面，平面，所以平面.因為平面，平面，所以 平面平面.而平面與平面相交，矛盾.【提分秘籍】基本規(guī)律1.常規(guī)題，對應的點大多在中點處。2.要多訓練非中點的題選?！咀兪窖菥殹?.如圖所示四棱錐中，底面，四邊形中，求四棱錐的體積；求證：平面；在棱上是否存在點異于點，使得平面，若存在，求的值；若不存在，說明理由【答案】（1）4；（2）見解析；（3）不存在.【解析】【分析】利用四邊形是直角梯形，求出，結合底面，利用棱錐的體積公式求解即可求；先證明，結合，利用線面垂直的判定定理可得平面 ；用反證法證明，假設存

11、在點異于點使得平面證明平面平面，與平面與平面相交相矛盾，從而可得結論【詳解】顯然四邊形ABCD是直角梯形，又底面平面ABCD，平面ABCD，在直角梯形ABCD中，即又，平面；不存在，下面用反證法進行證明假設存在點異于點使得平面PAD，且平面PAD，平面PAD，平面PAD又，平面平面PAD.而平面PBC與平面PAD相交，得出矛盾2.如圖，矩形和菱形所在平面互相垂直，已知，點是線段的中點.（1）求證：；（2）試問在線段上是否存在點，使得直線平面？若存在，請證明平面，并求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，證明見解析，2.【解析】【分析】（1）由已知可得是等邊三角形，

12、是線段的中點，得，根據(jù)面面垂直的性質定理證得平面，即可證明結論；（2）取的中點，可證，連接交于點，點即為所求的點.利用，可得，即可求出結論.【詳解】（1）菱形，則是等邊三角形，又是線段的中點，.又平面平面，平面平面，所以平面.又平面，故.（2）取的中點，連接交于點，點即為所求的點.證明：連接，所以與相交于點，是的中點，是的中點，又平面，平面，直線平面.又，.【題型五】 平行5：證面面平行【典例分析】如圖所示，在三棱柱中，分別是的中點， 求證：（1）四點共面； （2）平面平面【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）利用三角形中位線的性質，證明，從而可得，即可證明，四點共面；（2

13、）證明平面中有兩條直線、分別與平面中的兩條直線、平行，即可得到平面平面【詳解】(1)分別是的中點，是的中位線，則，又，四點共面(2)分別為的中點，平面平面， 平面，又分別是的中點，四邊形是平行四邊形，平面平面，平面，又，平面平面，【提分秘籍】基本規(guī)律面面平行的核心思維是“線面平行”?！咀兪窖菥殹?.如圖，在圓柱中，分別是上、下底面圓的直徑，且，分別是圓柱軸截面上的母線.（1）若，圓柱的母線長等于底面圓的直徑，求圓柱的表面積.（2）證明：平面平面.【答案】（1）.（2）證明見詳解.【分析】（1）借助圓柱的母線垂直于底面構造直角三角形計算可得半徑，然后可得表面積；（2）構造平行四邊形證明，結合已知

14、可證.（1）連接CF、DF，因為CD為直徑，記底面半徑為R，EF=2R。則又解得R=2圓柱的表面積.2）連接、由圓柱性質知且且四邊形為平行四邊形又平面CDE，平面CDE平面CDE。同理，平面CDE又，平面ABH，平面ABH平面平面.2.如圖，在梯形中，ABPC，ABC與PAC均為等腰直角三角形，90，D，E分別為PA，PC的中點將PDE沿DE折起，使點P到點P的位置（如圖），為線段的中點在圖中解決以下兩個問題：（1）求證：平面GAC平面；（2）若直線PA與平面PABC所成的角為30時，求三棱錐PACG的體積【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接BE交AC于點M，連接GM，可證得GMP

15、E，根據(jù)線面平行的判定定理即可證得GM平面同理可證得 AC平面由面面平行的判定定理即可證得結果. （2）利用等體積轉換可得計算即可得出結果.（1）連接BE交AC于點M，連接GM，四邊形是正方形，M為BE的中點，又G為線段PB的中點，則GMPE，又平面，平面，所以GM平面又 D，E分別為PA，PC的中點，則DEAC，又平面，平面，所以AC平面又GMAC=M，GM，AC平面，所以平面GAC平面【題型六】 平行6：難題-面面平行探索性題型【典例分析】已知正四棱錐的各條棱長都相等，且點分別是的中點.（1）求證:；（2）在上是否存在點，使平面平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）見解

16、析（2）【解析】試題分析：（1）設,連接,根據(jù)正四棱錐的性質，得平面,所以.又,證得平面，進而得到.（2）取中點，連并延長交于點，得，得平面，進而得到平面平面，在中，得是中點，是中點，即可求解結論. 試題解析：（1）設,則為底面正方形中心，連接,因為為正四梭錐.所以平面,所以.又,且,所以平面；因為平面,故.（2）存在點，設,連.取中點，連并延長交于點，是中點，,即，又，平面，平面，平面,平面，又，平面，平面平面，在中，作交于，則是中點，是中點，.【提分秘籍】基本規(guī)律找面的經(jīng)驗：任何一對互相平行平面，和第三個平面相交，交線互相平行【變式演練】1.在正方體中，、分別為、的中點，如圖.（1）若交平

17、面于點，證明：、三點共線；（2）線段上是否存在點，使得平面平面，若存在確定的位置，若不存在說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，且.【解析】【分析】（1）先得出為平面與平面的交線，然后說明點是平面與平面的公共點，即可得出、三點共線；（2）設，過點作交于點，然后證明出平面平面，再確定出點在上的位置即可.【詳解】（1），平面，平面，所以，點是平面和平面的一個公共點，同理可知，點也是平面和平面的公共點，則平面和平面的交線為，平面，平面，所以，點也是平面和平面的公共點，由公理三可知，因此，、三點共線；（2）如下圖所示：設，過點作交于點，下面證明平面平面.、分別為、的中點，平面，平面，平面.又

18、，平面，平面，平面，、平面，因此，平面平面.下面來確定點的位置：、分別為、的中點，所以，且，則點為的中點，易知，即，又，所以，四邊形為平行四邊形，四邊形為正方形，且，則為的中點，所以，點為的中點，因此，線段上是否存在點，且時，平面平面.2.如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，平面,點為棱的中點.（1）求證：平面（2）直線上是否存在一點，使平面平面？ 若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】(1)由題意利用線面垂直的判定定理證明題中的結論即可；（2）延長到點,使,此時平面平面. 利用幾何關系結合面面平行的判定定理即可證得題中的結論.【詳解】(1)由線面垂

19、直的定義可得：，由矩形的性質可得：，且是平面內(nèi)的兩條相交直線，故平面. （2）延長到點,使,此時平面平面. 證明如下：連接，點為的中點，又點為棱的中點， 又 底面為矩形，又點為延長線上的點, 四邊形為平行四邊形 又 又 平面平面【題型七】 垂直1：線面垂直【典例分析】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB1，BC2，CBA，ABEF為直角梯形，BEAF，BAF，BE2，AF3，平面ABCD平面ABEF（1）求證：AC平面ABEF（2）求多面體ABCDE與多面體ADEF的體積的比值【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）依據(jù)題設條件及勾股定理先證線垂直，借助題設條件，運用性面面垂直的性質定理進

20、行推證；（2）利用可求三棱錐的體積，利用面面垂直的性質得出多面體ABCDE的高，可求得其體積，從而可得答案.【詳解】（1）在中，所以，所以，所以，又因為平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB,AC平面ABCD，所以平面ABEF.【提分秘籍】基本規(guī)律講透徹“三垂線定理”這個最常用的模型【變式演練】1.如圖，三角形PCD所在的平面與等腰梯形ABCD所在的平面垂直，ABADCD，ABCD，CPCD，M為PD的中點（1）求證：AM平面PBC；（2）求證：BD平面PBC【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】（1）取的中點，連，可證得四邊形為平行四邊形，于是，然后根據(jù)線面平行的判定定理

21、可得結論成立（2）在等腰中梯形中，取的中點，連，證得四邊形為菱形，進而得同理四邊形為菱形，可得再由平面平面得到平面，于是得，最后根據(jù)線面垂直的判定可得平面證明：（1）如圖，取的中點，連，為的中點，為的中點，又，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面 （2）如圖，在等腰中梯形中，取的中點，連，四邊形為平行四邊形又，四邊形為菱形，同理，四邊形為菱形，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，平面2.如圖，已知是正三角形，都垂直于平面，且是的中點，求證：（1）平面；（2）平面.【答案】(1)見解析；（2）見解析【詳解】（1） 取AB的中點M,連FM,MC， F、M分別是BE、BA的中點， FMEA,

22、FMEA， EA、CD都垂直于平面ABC， CDEA CDFM又 DCa， FMDC 四邊形FMCD是平行四邊形， FDMC， FD平面ABC （2）M是AB的中點，ABC是正三角形，CMAB，又CMAE，ABAEA，CM面EAB，CMAF，F(xiàn)DAF，F(xiàn)是BE的中點, EAAB，AFEB，AF平面EDB 【題型八】 垂直2：面面垂直【典例分析】如圖，在以為頂點，母線長為的圓錐中，底面圓的直徑長為2，是圓所在平面內(nèi)一點，且是圓的切線，連接交圓于點，連接，.（1）求證：平面平面；（2）若是的中點，連接，當二面角的大小為時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）詳見解析；（2）.【分析】（

23、1）由是圓的直徑，與圓切于點，可得,由底面圓，可得，利用線面垂直的判定定理可知，平面，即可推出.又在中，可推出，利用線面垂直的判定定理可證平面，從而利用面面垂直的判定定理可證出平面平面.解：（1）是圓的直徑，與圓切于點，底面圓，平面，.又在中，平面，從而平面平面.【提分秘籍】基本規(guī)律核心思維：尋找其中一個平面板的垂線（及其平行線）【變式演練】1.如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，G為AB的中點，（）求證：平面；（）求證：平面平面；（）求多面體的體積.【答案】(I)證明見解析； （）證明見解析； （III）3.【分析】（）可證，從而得到平面（）可證平面，從而得到平面平面【詳解】（

24、）因為，且，則四邊形為平行四邊形，故又平面，平面，所以平面 （）連接在等腰梯形中，從而四邊形為平行四邊形，又，故四邊形為菱形，故.在梯形中，同理可證四邊形為平行四邊形，故.因為，從而，而平面平面， 平面平面，平面，故平面，而平面，故，因為，故平面.因為平面，故平面平面.2.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，為線段的中點（1）若為線段上的動點，證明：平面平面；（2）若為線段，上的動點（不含，），三棱錐的體積是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請說明理由【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【分析】(1)利用,可得平面,根據(jù)面面垂直的判定定理可證平面平面;(2) 由底面，得平面

25、平面將問題轉化為點到直線的距離有無最大值即可解決.【詳解】（1）證明:因為，為線段的中點，所以,因為底面，平面，所以,又因為底面為正方形，所以，,所以平面,因為平面，所以,因為，所以平面,因為平面，所以平面平面.【題型九】 垂直3：難題-垂直探索性題型【典例分析】直三棱柱中，點是線段上的動點.（1）當點是的中點時，求證：平面；（2）線段上是否存在點，使得平面平面？若存在，試求出的長度；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析；（2） 【試題分析】（1）連接，交于點，連接，則點是的中點，利用三角形的中位線有,，由此證得線面平行.（2）當時平面平面.利用，可證得平面，由此證得兩個平面垂直.利用等

26、面積法求得的長.【試題解析】（1）如圖，連接，交于點，連接，則點是的中點，又點是的中點，由中位線定理得，因為平面，平面，所以平面.（2）當時平面平面.證明：因為平面，平面，所以又，所以平面，因為平面，所以平面平面，故點滿足.因為，所以，故是以角為直角的三角形，又，所以.【提分秘籍】基本規(guī)律使用好“逆向思維”這個證明垂直的捷徑方法：要證明的必然是成立的?！咀兪窖菥殹?.如圖，在三棱柱中，底面，點是的中點 （）求證：；（）求證：平面（）設，在線段上是否存在點，使得?若存在，確定點的位置; 若不存在，說明理由【答案】（）見解析；（）見解析； （）存在，為線段的中點，理由略試題分析：（）通過證得，且，

27、即可證得平面，即證； （） 設與的交點為，連結，因為是的中點，是的中點，由三角形的中位線定理得，又由線面平行的判定定理即證平面； （） 在線段上存在點，使得，且為線段的中點證明如下：由已知得由已知，為線段的中點，所以，可得平面連接因為平面，所以，易證，所以平面，即可得試題解析：（）在三棱柱中，因為底面，底面，所以又，所以平面 而，則（）設與的交點為，連結，E因為是的中點，是的中點，所以因為平面，平面，所以平面 E（）在線段上存在點，使得，且為線段的中點EM證明如下：因為底面，底面，所以EM由已知，為線段的中點，所以又，所以平面取線段的中點，連接因為平面，所以由已知，由平面幾何知識可得又，所以平

28、面又平面，所以2.三棱錐中，面面（1）求長；（2）求三棱錐體積；（3）內(nèi)（含邊界）上是否存在點，使面 若存在點，求出點的位置；若不存在點，說明理由【答案】（1）3；（2）；（3）存在，在棱上，且【分析】(1)根據(jù)勾股定理可得,進而可得,再用勾股定理計算即可.(2) 作的中點,連接可知平面,再求解體積即可.(3) 作于,再證明面即可.【詳解】（1）,. 平面平面,平面平面,平面,且,可知平面,. . （2）作的中點,連接,由題意知平面,. （3）作于,在上. 平面,平面,且,平面,平面,平面,即存在,在棱上,且.【題型十】 垂直4：難題-翻折中的垂直【典例分析】如圖，在菱形ABCD中，A60且A

29、B2，E為AD的中點，將ABE沿BE折起使AD，得到如圖所示的四棱錐ABCDE.（）求證：平面ABE平面ABC；（）若P為AC的中點，求三棱錐PABD的體積.【答案】（）證明見詳解；（）【分析】（）先證，即可求得平面，結合/，即可由線面垂直推證面面垂直；（）根據(jù)點是中點，則的體積為體積的一半，再轉化頂點求得的體積，則問題得解.【詳解】（）因為四邊形是菱形，且點為中點，又，故三角形為等邊三角形，則，又在三角形中，滿足，故，又平面，故可得平面，又因為/，故可得平面，又平面，故可得平面平面.即證.【提分秘籍】基本規(guī)律翻折過程中，始終在同一個平面內(nèi)的點線關系“不變”【變式演練】1.如圖，ABCD是塊矩

30、形硬紙板，其中，E為DC中點，將它沿AE折成直二面角.（1）求證：平面BDE；（2）求四棱錐體積.【答案】（1）證明見解析；（2）1【解析】【分析】（1）先證，由面面垂直（直二面角）得平面，再得線線垂直，然后可得線面垂直；（2）由直二面角即面面垂直，可求得到平面的距離，從而可求得體積【詳解】（1）由題意，所以，所以，又二面角是直二面角，即平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因為，所以平面BDE；2.如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，垂足為E，將沿EC折起到的位置，如圖2所示，使平面平面ABCE.（1）連結BE，證明：平面；（2）在棱上是否存在點G，使得平面，若存在，直接指出點G

31、的位置不必說明理由，并求出此時三棱錐的體積；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，點G為的中點，.【分析】（1）通過面面垂線的性質定理，證得平面ABCE，由此證得.利用勾股定理計算證明，從而證得平面.（2）通過線面平行的判定定理，判斷出點G為的中點.利用換頂點的方法，通過，來計算出三棱錐的體積.【詳解】1因為平面平面ABCE，平面平面，平面，所以平面ABCE，又因為平面ABCE，所以 ，又，滿足，所以，又，所以平面.2在棱上存在點G，使得平面，此時點G為的中點.， 由1知，平面ABCE，所以，又，所以平面，所以CE為三棱錐的高，且 在中，G為斜邊的中點，所以，所以.故，在

32、棱上存在點G，使得平面，此時三棱錐的體積為.【題型十一】 體積1：常規(guī)求法和等體積轉化型【典例分析】如圖所示，在棱長為2的正方體中，M是線段AB上的動點（1）證明：平面；（2）若M是AB的中點，證明：平面平面；（3）求三棱錐的體積【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）利用得出平面.（2）通過證明平面，可證得平面平面.（3）利用等體積轉化求出即可.【詳解】（1）證明：因為在正方體中，平面，平面，平面 （2）證明：在正方體中，,是中點，.平面，平面，則.平面，平面，且，平面.平面，平面平面 （3）因為平面，所以點，點到平面的距離相等.故 【提分秘籍】基本規(guī)律1.等體積轉化

33、法一般情況下是三棱錐才有的特性。2.盡可能尋找在表面的三個點3.利用好“同底等高”和“同底比例高”?！咀兪窖菥殹?.四棱錐PABCD中，ABCD，ABBC，ABBC1，PACD2，PA底面ABCD，E在PB上.（1）證明：ACPD；（2）若PE2BE，求三棱錐PACE的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）過A作AFDC于F，推導出ACDA，ACPA，從而AC平面PAD，由此能求出ACPD（2）由VPACEVPABCVEABC，能求出三棱錐PACE的體積【詳解】（1）過A作AFDC于F，因為ABCD，ABBC，ABBC1，所以CFDFAF1，所以DAC90，所以ACDA，又PA底

34、面ABCD，AC平面ABCD，所以ACPA，又PA，AD平面PAD，PAADA，所以AC平面PAD，又PD平面PAD，ACPD.（2）由PE2BE，可得VPACEVPABCVEABC，所以，所以三棱錐PACE的體積VPACEVPABCVEABC.2.如圖，四棱錐中，平面，為線段上一點，為的中點（I）證明平面；（II）求四面體的體積.【答案】()證明見解析；().試題分析：（）取的中點，然后結合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結合線面平行的判斷定理可證；（）由條件可知四面體N-BCM的高，即點到底面的距離為棱的一半，由此可順利求得結果試題解析：（）由已知得，取的中點，連接，由為

35、中點知，.又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是.因為平面，平面，所以平面. （）因為平面，為的中點，所以到平面的距離為. 取的中點，連結.由得，.由得到的距離為，故.所以四面體的體積. 【題型十二】 體積2：難題-多面體割補型【典例分析】如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，G為AB的中點，（）求證：平面；（）求證：平面平面；（）求多面體的體積.【答案】(I)證明見解析； （）證明見解析； （III）3.【分析】（）可證，從而得到平面（）可證平面，從而得到平面平面（）可證幾何體是三棱柱，從而利用公式可求幾何體的體積.【詳解】（）因為，且，則四邊形為平行四邊形，故又平面，平面，

36、所以平面 （）連接在等腰梯形中，從而四邊形為平行四邊形，又，故四邊形為菱形，故.在梯形中，同理可證四邊形為平行四邊形，故.因為，從而，而平面平面， 平面平面，平面，故平面，而平面，故，因為，故平面.因為平面，故平面平面.（III）設由（）得平面且，由（）得，而平面，平面，故平面，因為，故平面平面，又，故四邊形為平行四邊形，故，所以，所以幾何體是三棱柱由（）得平面，平面，故，所以.由（）得平面所以多面體的體積為： 在等腰梯形中，又為銳角，故，故，所以，所以，故多面體的體積為：.【提分秘籍】基本規(guī)律1.大多數(shù)情況下，可以把不規(guī)則幾何體分割為三棱錐+四棱錐2.多從四棱錐底面對角線或者幾何體表面四邊形

37、對角線處尋找分割的“刀口”【變式演練】1.如圖，已知平面平面，B為線段中點，四邊形為正方形，平面平面，M為棱中點.（1）求證：平面平面；（2）若，求多面體的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證明.（2）延長至使得，得到三棱柱，再求出即為三棱柱的高，利用柱體、錐體的體積公式即可求解.【詳解】（1）由正方形知，又平面平面，且交線為，平面，平面，又平面，平面平面.（2）延長至使得，則得到三棱柱，所求幾何體的體積，取的中點M，由條件為正三角形，由平面平面且交線為，平面，即為三棱柱的高，.所以.2.如圖，在多面體中，

38、為矩形，為等腰梯形，且，平面平面，分別為，的中點.（）求證：平面；（）若，求多面體的體積.【答案】（）證明見解析；（）.【分析】（）取的中點.連接，可證，然后利用平面平面，可證平面.（）將多面體分為四棱錐和三棱錐兩部分，將轉化為，然后利用四棱錐和三棱錐的體積公式分別求出然后求和即可.解：（）如圖，取的中點.連接，.在矩形中，分別為線段，的中點，.又平面，平面，平面.在中，分別為線段，的中點，.又平面，平面，平面.又，平面，平面平面又平面，平面.（）如圖，過點作于.平面平面，平面平面，平面，平面.同理平面.連接，.在中，.同理.，等邊的高為，即.連接.【題型十三】 體積3：難題兩部分體積比【典例

39、分析】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為正三角形，平面平面，、分別是、的中點. （1）證明：平面；（2）若是棱上一點，三棱錐與三棱錐的體積相等，求的值.【答案】（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）連接，可得，利用面面垂直的性質可證平面，利用線面垂直的性質可證，由，可證，利用線面垂直的判定定理即可證明平面；（2）連接、，設，則，利用，可得，進而解得的值，即可得出的值.【詳解】（1）連接，且是的中點，又平面平面，平面平面，平面，平面. 平面，又為菱形，且、分別為棱、的中點，又，平面；（2）如圖，連接、，設，則，又，解得，即.【提分秘籍】基本規(guī)律1.直接求體積，大多數(shù)是難度較大。2.利用等體積轉化（

40、或者不等體積轉化）3.尋找合適的底面和平行高轉化?！咀兪窖菥殹?.如圖，是邊長為3的正方形，平面，平面，.（1）證明：平面平面；（2）在上是否存在一點，使平面將幾何體分成上下兩部分的體積比為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析（2）存在點且滿足條件.【解析】試題分析：（1）根據(jù)，結合面面平行的判定定理可知兩個平面平行；（2）先求出整個幾何體的體積.假設存在一點，過作交于，連接，設，求得幾何體的體積，將其分割成兩個三棱錐，利用表示出兩個三棱錐的高，再利用體積建立方程，解方程組求得的值.試題解析：解：（1）平面，平面，平面，是正方形，平面，平面，平面，平面平面.（2）

41、假設存在一點，過作交于，連接，設，則，設到的距離為，則，解得，即存在點且滿足條件.2.如圖，多面體中，平面平面，四邊形為矩形，點在線段上，且.(1)求證：平面；(2)若，求多面體被平面分成的大、小兩部分的體積比.【答案】（1）證明見解析(2) 11:1【分析】（1）由勾股定理逆定理證得，再由面面垂直的性質定理得線面垂直；（2）連接EB,AE. 多面體被分為四個三棱錐，由它們之間的體積關系可求得比值【詳解】（1）因為四邊形ABCD為矩形，所以CD=AB.為AB=DE=2，所以CD=DE=2.因為點G在線段CE上，且EG=2GC=AB，所以EC=AB=CD=所以，即又平面CDE平面ABCD，平面C

42、DE平面ABCD=CD,DE平面CDE，所以DE平面ABCD.(2)設三棱錐G-BCD的體積為1，連接EB,AE.因為EG=2GC,所以CG=EC,所以.易知又EF=2BC,BCEF，所以，故又，所以故故多面體ABCDEF被平面BDG分成的大、小兩部分的體積比為11:1.【題型十四】 體積4：難題動點型【典例分析】如圖，是邊長為3的等邊三角形，四邊形為正方形，平面平面.點，分別為棱，上的點，且，為棱上一點，且.（）當時，求證：平面；（）已知三棱錐的體積為，求的值. 【答案】（）見證明；（）【分析】（）先連接，根據(jù)面面平行的判定定理，先證明平面平面，進而可得出結論成立；（）取的中點為，連接，證明

43、平面；再過點作于點，得平面，再由求出，進而可得出結果.解：（）連接，當時，且，四邊形是平行四邊形，.，平面平面，又平面，平面.（）取的中點為，連接，則，平面平面，平面.過點作于點，則，平面，則.，.，即.【變式演練】1.如圖，四邊形ABCD為矩形，BCF為等腰三角形，且BAEDAE90，EA/FC.（1）證明：BF/平面ADE.（2）設，問是否存在正實數(shù)，使得三棱錐ABDF的高恰好等于BC？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在正實數(shù).【解析】【分析】（1）通過證明平面平面來證明BF/平面ADE；（2）設，則，利用等體積法，則，可得關于的方程，求解可得.【詳解】（1）因為，平面，平面，所以平面，因為，平面，平面，所以平面，又，所以平面平面故平面；（2），又，平面，設，則， 在矩形和中，有，所以在中，邊上的高，又，所以，由等體積法得，即，所以存在正實數(shù)，使得三棱錐的高恰好等于.2.如圖所示，在三棱錐中，平面，.（1）證明：平面；（2）若為棱的中點，點為棱上一點，且三棱錐的體積為，通過計算判斷點的位置.【答案】（1）證明見解析；（2）點為棱上靠近點的三等分點.【分析】（1）根據(jù)余弦定理，可得，