電路方程的矩陣形式

1、電路方程的矩陣形式第一頁，共50頁。本章學(xué)時(shí)安排（12學(xué)時(shí)）序號(hào)教學(xué)內(nèi)容學(xué)時(shí)115-1 割集 15-2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣 15-3A、Bf、Qf之間的關(guān)系2215-4回路電流方程的矩陣形式2315-5結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式2415-6割集電壓方程的矩陣形式2515-7列表法 15-8狀態(tài)方程26習(xí)題課（3）電路方程的矩陣形式2第十五章 電路方程的矩陣形式第二頁，共50頁。目的：在圖論基礎(chǔ)上，掌握電路分析中幾個(gè)重要的矩陣重點(diǎn)：關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣難點(diǎn)：割集的理解作業(yè)： P362：15-1、15-3、15-4 11第十五章 電路方程的矩陣形式（1）第三頁，共50頁。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋓1i

2、2i3i1i2i3i1i2i3抽象i = 0連接性質(zhì)抽象電路圖抽象圖支路+-1、網(wǎng)絡(luò)的圖 15.1 割集第四頁，共50頁。一. 圖的基本概念有向圖無向圖連通圖圖不連通圖15.1 割集第五頁，共50頁。2.子圖 路徑：從圖G的一個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)沿著一些支路連續(xù)移動(dòng)到達(dá) 另一節(jié)點(diǎn)所經(jīng)過的支路構(gòu)成路徑。3. 連通圖圖G的任意兩節(jié)點(diǎn)間至少有一條路徑時(shí)稱G為連通圖。4.有向圖圖中的方向表示原電路中支路電壓和電流關(guān)聯(lián)參考方向。二 . 名詞和定義G=支路，節(jié)點(diǎn)1. 圖15.1 割集第六頁，共50頁。三. 回路、樹、割集1. 回路(1)連通；(2)每個(gè)節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)支路數(shù)恰好為2。12345678253127589回路不

3、是回路回路L是連通圖G的一個(gè)子圖。具有下述性質(zhì)15.1 割集第七頁，共50頁。樹不唯一樹支：屬于樹的支路連支：屬于G而不屬于T的支路2 . 樹 (Tree)樹T是連通圖G的一個(gè)子圖，具有下述性質(zhì)：(1)連通；(2)包含G的所有節(jié)點(diǎn)；(3)不包含回路。16個(gè)15.1 割集第八頁，共50頁。樹支數(shù) bt= n-1連支數(shù) bl=b-(n-1)單連支回路（基本回路）1234567145樹支數(shù) 4連支數(shù) 3單連支回路獨(dú)立回路單連支回路獨(dú)立回路15.1 割集第九頁，共50頁。三. 割集 (1) 把Q 中全部支路移去，將圖分成兩個(gè)分離部分； (2)保留Q 中的一條支路，其于都移去， G還是連通的。43215

4、6134256Q1: 2 , 5 , 4 , 6 割集Q是連通圖G中一個(gè)支路的集合，具有下述性質(zhì)：15.1 割集第十頁，共50頁。432156432156432156Q4: 1 , 5 , 2 Q3: 1 , 5 , 4Q2: 2 , 3 , 6 單樹支割集（基本割集）432156432156432156Q3: 1 , 5 ,3 , 6 Q2: 3 , 5 , 4Q1: 2 , 3 , 6 15.1 割集第十一頁，共50頁。單樹支割集獨(dú)立割集單樹支割集獨(dú)立割集12341，2，3，4 割集三個(gè)分離部分12341，2，3，4 割集4保留4支路，圖不連通的。15.1 割集第十二頁，共50頁。4321

5、56基本回路基本割集1，2，3，41，4，51，2，63，4，52，3，61，5，3，6基本回路和基本割集關(guān)系對(duì)同一個(gè)樹1. 由某個(gè)樹支bt確定的基本割集應(yīng)包含那些連支，每個(gè)這種連支構(gòu)成的單連支回路中包含該樹支bt 。15.1 割集第十三頁，共50頁。2. 由某個(gè)連支bl確定的單連支回路應(yīng)包含那些樹支，每個(gè)這種樹支所構(gòu)成的基本割集中含有bl 。432156基本回路基本割集1，2，3，41，4，51，2，63，4，52，3，61，5，3，6432156基本回路基本割集1，2，3，41，4，51，2，63，4，52，3，61，5，3，615.1 割集第十四頁，共50頁。15-2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣

6、、割集矩陣一.關(guān)聯(lián)矩陣A用矩陣形式描述節(jié)點(diǎn)和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)aijaij = 1 有向支路 j 背離 i 節(jié)點(diǎn)aij= -1 有向支路 j 指向 i 節(jié)點(diǎn)aij =0 i節(jié)點(diǎn)與 j 支路無關(guān)關(guān)聯(lián)矩陣Aa=aijn b節(jié)點(diǎn)數(shù)支路數(shù)第十五頁，共50頁。645321Aa=1234 1 2 3 4 5 6 支節(jié) 1 0 0 -1 0 1-1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -1 0 0 -1 1 -1 0Aa=1234 1 2 3 4 5 6 支節(jié) 1-1 0 0 0-1 1 0 0 0 1-1-1 0 0 1 0 1 0-1 1 0-1 0設(shè)為參考節(jié)點(diǎn)-1 -1 0 0 1 0A=123 1

7、 2 3 4 5 6 支節(jié) 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1稱A為降階關(guān)聯(lián)矩陣 (n-1)b ，表征獨(dú)立節(jié)點(diǎn)與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)15.2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第十六頁，共50頁。設(shè):645321-1 -1 0 0 1 0A=123 1 2 3 4 5 6 支節(jié) 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1支路電壓支路電流節(jié)點(diǎn)電壓15.2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第十七頁，共50頁。矩陣形式的KCLAi =-1 -1 0 0 1 0 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1654321iiiiii645321A i = 015.2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割

8、集矩陣第十八頁，共50頁。矩陣形式KVL64532115.2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第十九頁，共50頁。二. 基本回路矩陣B2. 支路排列順序?yàn)橄冗B(樹)支后樹(連)支。1 支路j與回路i關(guān)聯(lián)，方向一致-1 支路j 與回路i關(guān)聯(lián)，方向相反0 支路j 不在回路i中bij=1約定： 1. 回路電流的參考方向取連支電流方向。用矩陣形式描述基本回路和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)B = b i j l b基本回路數(shù)支路數(shù)15.2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第二十頁，共50頁。1選 4、5、6為樹，連支順序?yàn)?、2、3。123B =4 5 6 1 2 3 支回1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0=

9、 Bt 1 設(shè) 矩陣形式的KVL 0 1 -1 0 0 1BtBlB u = 015.2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第二十一頁，共50頁。B u = 0 可寫成 Bt ut + ul = 0ul = - Btut用樹支電壓表示連支電壓連支電壓樹支電壓矩陣形式的KVL的另一種形式15.2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第二十二頁，共50頁。1B= Bt 1 用連支電流表示樹支電流BT il = i矩陣形式的KCLKCL的另一種形式15.2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第二十三頁，共50頁。三. 基本割集矩陣Q約定 (1) 割集方向與樹支方向相同。 (2)支路排列順序先樹(連)支, 后連(樹)支。

10、qij=1 j支路與割集i方向一致-1 j支路與割集i方向相反 0 j 支路不在割集i中 1用矩陣形式描述基本割集和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)Q = q i j n-1 b基本割集數(shù)支路數(shù)15.2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第二十四頁，共50頁。Q=4 5 6 1 2 3 支割集C1C2C31 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1C1:1,2,4 C2:1,2,3,5 C3:2,3,6設(shè)ut= u4 u5 u6 T矩陣形式的KCL：1 0 0 1 0 -1 1QlQtQi =015.2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第二十五頁，共50頁。回路矩陣表示時(shí) 用連支電流表示樹支電流矩陣形式的KCL的

11、另一種形式Qi =0 可寫成 回路矩陣和割集矩陣的關(guān)系15.2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第二十六頁，共50頁。1矩陣形式的KVL用樹支電壓表示連支電壓QTut=uKVL的另一種形式15.2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第二十七頁，共50頁。QQi=0QTut=u小結(jié)：ul = - BtutABAi=0BTil=iKCLKVLATun=uBu=015.2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第二十八頁，共50頁。15-3 結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式電路分析依據(jù)：KCL A i =0KVL u=ATun元件特性方程規(guī)定每個(gè)支路必須有一個(gè)阻抗k支路抽象為：k設(shè)標(biāo)準(zhǔn)支路為： 第二十九頁，共50頁。k支路電壓、

12、電流關(guān)系：設(shè)Z=diagZ1 Z2 Zb Y=diagY1 Y2 Yb Z=Y -1 15-3 結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式第三十頁，共50頁。支路電壓的矩陣方程 15-3 結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式第三十一頁，共50頁。由KCL A i =0由KVL u=ATun節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納陣得節(jié)點(diǎn)電壓方程由此求得支路電壓和電流15-3 結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式第三十二頁，共50頁。例5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A1234561. 畫有向圖2. 3. 15-3 結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式第三十三頁，共50頁。5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A1234564. 5. 6.得 15-3 結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形

13、式第三十四頁，共50頁。12345例215-3 結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式第三十五頁，共50頁。Y=Z-1其中15-3 結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式第三十六頁，共50頁。具有VCCS的節(jié)點(diǎn)分析+考慮b條支路15-3 結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式第三十七頁，共50頁。kjgkj第三十八頁，共50頁。例iS5guauaG5C3G4+ -*ML2L1524310第三十九頁，共50頁。iS5guauaG5C3G4+ -*ML2L1524310其中-g節(jié)點(diǎn)方程第四十頁，共50頁。15-4 狀態(tài)方程一、狀態(tài)和狀態(tài)變量Y(t) (t t0) 可以確定狀態(tài)、狀態(tài)變量、狀態(tài)方程和輸出方程。狀態(tài)：電路在任何時(shí)刻所必需的最少信息，

14、它們和自該時(shí)刻以后的輸入(激勵(lì))足以確定該電路的性狀。狀態(tài)變量：描述電路的一組最少數(shù)目獨(dú)立變量，如果某一時(shí)刻這組變量已知，且自此時(shí)刻以后電路的輸入亦已知，則可以確定此時(shí)刻以后任何時(shí)刻電路的響應(yīng)。X(t0)e(t) t t0 已知第四十一頁，共50頁。解例.輸出: uL , iC , uR , iR 選狀態(tài)量 uC ， iLuL(0)=7ViC(0)=1.5AiR(0)=1.5AuR(0)=3V由推廣至任一時(shí)刻 t1：uL(t1)iC(t1)iR(t1) uR(t1) 可由第四十二頁，共50頁?？梢姰?dāng)t =t1 時(shí)uC ， iL 和t t1 后的輸入 uS(t)為已知，就可以確定t1及t1以后任

15、何時(shí)刻系統(tǒng)的響應(yīng)。問題是t1時(shí)刻的狀態(tài)量要求出來。二、狀態(tài)方程：用狀態(tài)變量和激勵(lì)所描述的電路的一階微分方程組。選uC , iL 為狀態(tài)變量列微分方程第四十三頁，共50頁。整理得特點(diǎn)：(1) 聯(lián)立一階微分方程組；(2) 左端為狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)；(3) 右端僅含狀態(tài)變量和輸入量；狀態(tài)方程矩陣形式一般形式X=x1 x2 xnT式中nnnr第四十四頁，共50頁。三、輸出方程特點(diǎn)：(1) 代數(shù)方程； (2) 輸出量用狀態(tài)變量和輸入量表示。一般形式Y(jié)=Cx+DV第四十五頁，共50頁。(2)一般選擇uC和 iL為狀態(tài)變量，也常選 和 q為狀態(tài)變量。(3) 狀態(tài)變量的選擇不唯一。上例中也可選uC和duC /dt為狀態(tài)變量小結(jié)：(1) 狀態(tài)變量和儲(chǔ)能元件有聯(lián)系，狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)等于 獨(dú)立的儲(chǔ)能元件個(gè)數(shù)。第四十六頁，共50頁。令 x1 =uC , x2 =duC /dt即則x1x2第四十七頁，共50頁。特有樹當(dāng)電路中不存在僅由電容和電壓源支路構(gòu)成的回路和僅由電感和電流源支路構(gòu)成的割集時(shí)，特有樹總是存在的。特有樹法