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文檔簡介
2021年浙江省紹興市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題(本大題有10小題,每小題4分,共40分。請選出每小題中一個(gè)最符合題意的選項(xiàng),不選、多選、錯(cuò)選均不給分)1.實(shí)數(shù)2,0,﹣3,中,最小的數(shù)是()A.2 B.0 C.﹣3 D.【分析】根據(jù)正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù),即可判斷出最小的數(shù).【解答】解:∵﹣3<0<<2,∴最小的數(shù)是﹣3,故選:C.2.第七次全國人口普查數(shù)據(jù)顯示,紹興市常住人口約為5270000人,這個(gè)數(shù)字5270000用科學(xué)記數(shù)法可表示為()A.0.527×107 B.5.27×106 C.52.7×105 D.5.27×107【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí),一般形式為a×10n,其中1≤|a|<10,n為整數(shù),且n比原來的整數(shù)位數(shù)少1,據(jù)此判斷即可.【解答】解:5270000=5.27×106.故選:B.3.如圖的幾何體由五個(gè)相同的小正方體搭成,它的主視圖是()A. B. C. D.【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖,可得答案.【解答】解:從正面看,底層是三個(gè)小正方形,故選:D.4.在一個(gè)不透明的袋中裝有6個(gè)只有顏色不同的球,其中3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)白球.從袋中任意摸出一個(gè)球,是白球的概率為()A. B. C. D.【分析】用白球的數(shù)量除以所有球的數(shù)量即可求得白球的概率.【解答】解:∵袋子中共有6個(gè)小球,其中白球有1個(gè),∴摸出一個(gè)球是白球的概率是,故選:A.5.如圖,正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)P在上()A.30° B.45° C.60° D.90°【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BC弧所對的圓心角為90°,則∠BOC=90°,然后根據(jù)圓周角定理求解.【解答】解:連接OB、OC,∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,∴BC弧所對的圓心角為90°,∴∠BOC=90°,∴∠BPC=∠BOC=45°.故選:B.6.關(guān)于二次函數(shù)y=2(x﹣4)2+6的最大值或最小值,下列說法正確的是()A.有最大值4 B.有最小值4 C.有最大值6 D.有最小值6【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì),可以得到該函數(shù)有最小值,最小值為6,然后即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)是正確的.【解答】解:∵二次函數(shù)y=2(x﹣4)2+6,a=2>2,∴該函數(shù)圖象開口向上,有最小值,故選:D.7.如圖,樹AB在路燈O的照射下形成投影AC,已知路燈高PO=5m,樹AB與路燈O的水平距離AP=4.5m,則樹的高度AB長是()A.2m B.3m C.m D.m【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.【解答】解:∵AB∥OP,∴△CAB∽△CPO,∴,∴,∴OP=4(m),故選:A.8.如圖,菱形ABCD中,∠B=60°,沿折線BC﹣CD方向移動,移動到點(diǎn)D停止.在△ABP形狀的變化過程中()A.直角三角形→等邊三角形→等腰三角形→直角三角形 B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等邊三角形 C.直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰三角形 D.等腰三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰三角形【分析】把點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿折線BC﹣CD方向移動的整個(gè)過程,逐次考慮確定三角形的形狀即可?!窘獯稹拷猓骸摺螧=60°,故菱形由兩個(gè)等邊三角形組合而成,當(dāng)AP⊥BC時(shí),此時(shí)△ABP為等腰三角形;當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C處時(shí),此時(shí)△ABP為等邊三角形;當(dāng)點(diǎn)P在CD上且位于AB的中垂線時(shí),則△ABP為等腰三角形;當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí),此時(shí)△ABP為等腰三角形,故選:C.9.如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn),以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE,連結(jié)CE,則的值為()A. B. C. D.2【分析】設(shè)DE交AC于T,過點(diǎn)E作EH⊥CD于H.首先證明EA=ED=EC,再證明∠B=∠ECD,可得結(jié)論?!窘獯稹拷猓涸O(shè)DE交AC于T,過點(diǎn)E作EH⊥CD于H.∵∠BAC=90°,BD=DC,∴AD=DB=DC,∴∠B=∠DAB,∵∠B=∠ADE,∴∠DAB=∠ADE,∴AB∥DE,∴∠DTC=∠BAC=90°,∵DT∥AB,BD=DC,∴AT=TC,∴EA=EC=ED,∴∠EDC=∠ECD,∵EH⊥CD,∴CH=DH,∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B,∴∠ECD=∠B,∴cos∠ECH=cosB=,∴=,∴==2,故選:D.10.?dāng)?shù)學(xué)興趣小組同學(xué)從“中國結(jié)”的圖案(圖1)中發(fā)現(xiàn),用相同的菱形放置,用2個(gè)相同的菱形放置,得到3個(gè)菱形.下面說法正確的是()A.用3個(gè)相同的菱形放置,最多能得到6個(gè)菱形 B.用4個(gè)相同的菱形放置,最多能得到16個(gè)菱形 C.用5個(gè)相同的菱形放置,最多能得到27個(gè)菱形 D.用6個(gè)相同的菱形放置,最多能得到41個(gè)菱形【分析】根據(jù)題意畫出圖形,從圖形中找到出現(xiàn)的菱形的個(gè)數(shù)即可.【解答】解:如圖所示,用2個(gè)相同的菱形放置,最多能得到3個(gè)菱形;用8個(gè)相同的菱形放置,最多能得到8個(gè)菱形,用4個(gè)相同的菱形放置,最多能得到16個(gè)菱形,故選:B.二、填空題(本大題有6小題,每小題5分,共30分)11.(5分)分解因式:x2+2x+1=(x+1)2.【分析】本題中沒有公因式,總共三項(xiàng),其中有兩項(xiàng)能化為兩個(gè)數(shù)的平方和,第三項(xiàng)正好為這兩個(gè)數(shù)的積的2倍,直接運(yùn)用完全平方和公式進(jìn)行因式分解.【解答】解:x2+2x+8=(x+1)2.故答案為:(x+3)2.12.(5分)我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》有一道題,其題意為:客人一起分銀子,若每人7兩;若每人9兩,則差8兩.銀子共有46兩.【分析】通過設(shè)兩個(gè)未知數(shù),可以列出銀子總數(shù)相等的二元一次方程組,本題得以解決.【解答】解:設(shè)有x人,銀子y兩,由題意得:,解得,故答案為46.13.(5分)圖1是一種矩形時(shí)鐘,圖2是時(shí)鐘示意圖,時(shí)鐘數(shù)字2的刻度在矩形ABCD的對角線BD上,則BC長為cm(結(jié)果保留根號).【分析】根據(jù)題意即可求得∠FOD=2∠DOE,即可求得∠DOE=30°,由矩形的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)可求得∠DBC=30°,利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求解.【解答】解:過O點(diǎn)作OE⊥CD,OF⊥AD,F(xiàn),由題意知∠FOD=2∠DOE,∵∠FOD+∠DOE=90°,∴∠DOE=30°,∠FOD=60°,在矩形ABCD中,∠C=90°,∴OE∥BC,∴∠DBC=∠DOE=30°,∴BC=CD=,故答案為.14.(5分)如圖,在△ABC中,AB=AC,以點(diǎn)C為圓心,CA長為半徑作弧,連結(jié)AP,則∠BAP的度數(shù)是15°或75°.【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到△ABC各內(nèi)角的關(guān)系,然后根據(jù)題意,畫出圖形,利用分類討論的方法求出∠BAP的度數(shù)即可.【解答】解:如右圖所示,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí),∵AB=AC,∠ABC=70°,∴∠ACB=ABC=70°,∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC=180°﹣70°﹣70°=40°,∵CA=CP1,∴∠CAP1=∠CP6A===55°,∴∠BAP1=∠CAP1﹣∠CAB=55°﹣40°=15°;當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí),∵AB=AC,∠ABC=70°,∴∠ACB=ABC=70°,∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC=180°﹣70°﹣70°=40°,∵CA=CP4,∴∠CAP2=∠CP1A===35°,∴∠BAP2=∠CAP2﹣∠CAB=35°+40°=75°;由上可得,∠BAP的度數(shù)是15°或75°,故答案為:15°或75°.15.(5分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD的頂點(diǎn)A在x軸正半軸上,C在第一象限,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)(,2)(常數(shù)k>0,x>0)的圖象恰好經(jīng)過正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn),則k的值是5或22.5.【分析】作DM⊥x軸于M,BN⊥軸于N,過C點(diǎn)作x軸的平行線,交DM于E,交BN于F,通過證得三角形求得表示出B、C的坐標(biāo),然后根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k=xy即可求得結(jié)果.【解答】解:作DM⊥x軸于M,BN⊥軸于N,交DM于E,正方形ABCD中,∠BAD=90°,∴∠DAM+∠BAN=90°,∵∠ADM+∠DAM=90°,∴∠ADM=∠BAN,在△ADM和△BAN中,,∴△ADM≌△BAN(AAS),∴AM=BN,DM=AN,∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)(,6).∴OM=,DM=6,同理:△ADM≌△DCE,∴AM=DE,CE=DM,∴AM=BN=DE,DM=AN=CE=2,設(shè)AM=BN=DE=m,∴ON=+m+2=4.5+m,∴B(4.5+m,m),4+m),當(dāng)反比例函數(shù)y=(常數(shù)k>0、D時(shí)×2=5;當(dāng)反比例函數(shù)y=(常數(shù)k>5、c時(shí),解得m=3,∴k=4.7×(2+3)=22.6,故答案為5或22.5.16.(5分)已知△ABC與△ABD在同一平面內(nèi),點(diǎn)C,D不重合,AB=4,AC=AD=22±2或4或2.【分析】分C,D在AB的同側(cè)或異側(cè)兩種情形,分別求解,注意共有四種情形?!窘獯稹拷猓喝鐖D,當(dāng)C,過點(diǎn)A作AE⊥CD于E.在Rt△AEB中,∠AEB=90°,∠ABE=30°,∴AE=AB=5,∵AD=AC=2,∴DE==2=2,∴DE=EC=AE,∴△ADC是等腰直角三角形,∴CD=5,當(dāng)C,D異側(cè)時(shí),∵△BCC′是等邊三角形,BC=BE﹣EC=2,∴CH=BH=﹣1CH=3﹣2,在Rt△DC′H中,DC′==,∵△DBD′是等邊三角形,∴DD′=2+6,∴CD的長為2±7或4或2。故答案為:2±8或4或2。三、解答題(本大題有8小題,第17~20小題每小題8分,第21小題10分,第22,23小題每小題8分,第24小題14分,共80分.解答需寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程17.(8分)(1)計(jì)算:4sin60°﹣+(2﹣)0.(2)解不等式:5x+3≥2(x+3).【分析】(1)原式第一項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算,第二項(xiàng)利用開平方法則化簡,最后一項(xiàng)利用零指數(shù)冪的意義化簡,計(jì)算即可得到結(jié)果;(2)根據(jù)解一元一次不等式基本步驟:去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),系數(shù)化為1可得.【解答】解:(1)原式=2﹣6=1;(2)8x+3≥2(x+4),去括號得:5x+3≥5x+6,移項(xiàng)得:5x﹣5x≥6﹣3,合并同類項(xiàng)得:6x≥3,解得:x≥1.18.(8分)紹興蓮花落,又稱“蓮花樂”,“蓮花鬧”,某校設(shè)置了:非常了解、了解、了解很少、不了解四個(gè)選項(xiàng),隨機(jī)抽查了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,并將抽查結(jié)果繪制成不完整的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中信息,解答下列問題:(1)本次接受問卷調(diào)查的學(xué)生有多少人?并求圖2中“了解”的扇形圓心角的度數(shù);(2)全校共有1200名學(xué)生,請你估計(jì)全校學(xué)生中“非常了解”、“了解”蓮花落的學(xué)生共有多少人.【分析】(1)從兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中可知,在抽查人數(shù)中,“非常了解”的人數(shù)為30人,占調(diào)查人數(shù)的15%,可求出接受問卷調(diào)查的學(xué)生數(shù),進(jìn)而求出“了解”所占比例,即可得出“了解”的扇形圓心角的度數(shù);(2)樣本中“非常了解”、“了解”的占調(diào)查人數(shù)的,進(jìn)而估計(jì)總體中“非常了解”和“了解”的人數(shù).【解答】解:(1)接受問卷調(diào)查的學(xué)生數(shù):30÷15%=200(人),“了解”的扇形圓心角度數(shù)為360°×=126°;答:本次接受問卷調(diào)查的學(xué)生有200人,圖2中“了解”的扇形圓心角的度數(shù)為126°;(3)1200×=600(人),答:估計(jì)全校學(xué)生中“非常了解”、“了解”蓮花落的學(xué)生共有600人.19.(8分)Ⅰ號無人機(jī)從海拔10m處出發(fā),以10m/min的速度勻速上升,Ⅱ號無人機(jī)從海拔30m處同時(shí)出發(fā)(m/min)的速度勻速上升,經(jīng)過5min兩架無人機(jī)位于同一海拔高度b(m)(m)與時(shí)間x(min)的關(guān)系如圖.兩架無人機(jī)都上升了15min.(1)求b的值及Ⅱ號無人機(jī)海拔高度y(m)與時(shí)間x(min)的關(guān)系式;(2)問無人機(jī)上升了多少時(shí)間,Ⅰ號無人機(jī)比Ⅱ號無人機(jī)高28米.【分析】(1)由題意得:b=10+10×5=60;再用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式即可;(2)由題意得:(10z+10)﹣(6x+30)=28,即可求解.【解答】解:(1)b=10+10×5=60,設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+t,將(0,30),60)代入上式得,故函數(shù)表達(dá)式為y=6x+30(5≤x≤15);(2)由題意得:(10z+10)﹣(6x+30)=28,解得x=12<5,故無人機(jī)上升12min,Ⅰ號無人機(jī)比Ⅱ號無人機(jī)高28米.20.(8分)拓展小組研制的智能操作機(jī)器人,如圖1,水平操作臺為l,高AB為50cm,連桿BC長度為70cm,C是轉(zhuǎn)動點(diǎn),且AB(1)轉(zhuǎn)動連桿BC,手臂CD,使∠ABC=143°,如圖2,求手臂端點(diǎn)D離操作臺l的高度DE的長(精確到1cm,參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.8,cos53°≈0.6).(2)物品在操作臺l上,距離底座A端110cm的點(diǎn)M處,轉(zhuǎn)動連桿BC,手臂端點(diǎn)D能否碰到點(diǎn)M?請說明理由.【分析】(1)過點(diǎn)C作CP⊥AE于點(diǎn)P,過點(diǎn)B作BQ⊥CP于點(diǎn)Q,在Rt△BCQ中,CQ=BC?sin53°,再根據(jù)DE=CP=CQ+PQ可得答案;(2)當(dāng)B,C,D共線時(shí),根據(jù)勾股定理可得AD的長,進(jìn)而可進(jìn)行判斷.【解答】解:(1)過點(diǎn)C作CP⊥AE于點(diǎn)P,過點(diǎn)B作BQ⊥CP于點(diǎn)Q∵∠ABC=143°,∴∠CBQ=53°,在Rt△BCQ中,CQ=BC?sin53°≈70×0.8=56cm,∵CD∥l,∴DE=CP=CQ+PQ=56+50=106cm.(2)當(dāng)B,C,D共線時(shí)BD=60+70=130cm,AB=50cm,在Rt△ABD中,AB2+AD2=BD2,∴AD=120cm>110cm.∴手臂端點(diǎn)D能碰到點(diǎn)M.21.(10分)如圖,在△ABC中,∠A=40°,E分別在邊AB,AC上,連結(jié)CD,BE.(1)若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE的度數(shù);(2)寫出∠BEC與∠BDC之間的關(guān)系,并說明理由.【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BDC=∠BCD=(180°﹣80°)=50°,根據(jù)三角形的內(nèi)角定理得到∠ACB=180°﹣40°﹣50°=60°,推出△BCE是等邊三角形,得到∠EBC=60°,于是得到結(jié)論;(2)設(shè)∠BEC=α,∠BDC=β,由于α=∠A+∠ABE=40°+∠ABE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CBE=∠BEC=α,求得∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A+2∠ABE=40°+∠ABE,推出∠CBE=∠BEC=α,于是得到結(jié)論?!窘獯稹拷猓海?)∵∠ABC=80°,BD=BC,∴∠BDC=∠BCD=(180°﹣80°)=50°,∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=40°,∴∠ACB=180°﹣40°﹣50°=60°,∵CE=BC,∴△BCE是等邊三角形,∴∠EBC=60°,∴∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=20°;(2)∠BEC與∠BDC之間的關(guān)系:∠BEC+∠BDC=110°,理由:設(shè)∠BEC=α,∠BDC=β,在△ABE中,α=∠A+∠ABE=40°+∠ABE,∵CE=BC,∴∠CBE=∠BEC=α,∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A+4∠ABE=40°+∠ABE,∵CE=BC,∴∠CBE=∠BEC=α,∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A+2∠ABE=40°+2∠ABE,在△BDC中,BD=BC,∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=6β+40°+2∠ABE=180°,∴β=70°﹣∠ABE,∴α+β=40°+∠ABE+70°﹣∠ABE=110°,∴∠BEC+∠BDC=110°.22.(12分)小聰設(shè)計(jì)獎(jiǎng)杯,從拋物線形狀上獲得靈感,在平面直角坐標(biāo)系中畫出截面示意圖,杯體ACB是拋物線的一部分,拋物線的頂點(diǎn)C在y軸上,且點(diǎn)A,B關(guān)于y軸對稱,杯高DO=8,杯底MN在x軸上.(1)求杯體ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式(不必寫出x的取值范圍);(2)為使獎(jiǎng)杯更加美觀,小敏提出了改進(jìn)方案,如圖2,杯口直徑A′B′∥AB,杯腳高CO不變,求A′B′的長.【分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法,由題意設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax2+4,進(jìn)而求得答案;(2)由題意知:=0.6,進(jìn)而求得OD′=10,再由題意得拋物線y=x2+4過B′(x1,10),A′(x2,10),從而列方程求出x1和x2,進(jìn)而求得A′B′的長.【解答】解:(1)∵CO=4,∴頂點(diǎn)C(0,8),∴設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+4,∵AB=6,∴AD=DB=2,∵DO=8,∴A(﹣7,8),8),將B(5,8)代入y=ax2+5,得:8=a×22+4,解得:a=1,∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+4;(2)由題意得:=0.6,∴=0.3,∴CD′=6,∴OD′=OC+CD′=4+2=10,又∵杯體A′CB′所在拋物線形狀不變,杯口直徑A′B′∥AB,∴設(shè)B′(x1,10),A′(x2,10),∴當(dāng)y=10時(shí),10=x7+4,解得:x1=,x2=﹣,∴A′B′=4,∴杯口直徑A′B′的長為2.23.(12分)問題:如圖,在?ABCD中,AB=8,∠DAB,∠ABC的平分線AE,F(xiàn),求EF的長.答案:EF=2.探究:(1)把“問題”中的條件“AB=8”去掉,其余條件不變.①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí),求AB的長;②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí),求EF的長.(2)把“問題”中的條件“AB=8,AD=5”去掉,其余條件不變,D,E,F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等時(shí),求的值.【分析】(1)①證∠DEA=∠DAE,得DE=AD=5,同理BC=CF=5,即可求解;②由題意得DE=DC=5,再由CF=BC=5,即可求解;(2)分三種情況,由(1)的結(jié)果結(jié)合點(diǎn)C,D,E,F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等,分別求解即可.【解答】解:(1)①如圖1所示:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴CD=AB=8,BC=AD=5,∴∠DEA=∠BAE,∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠BAE,∴∠DEA=∠DAE,∴DE=AD=5,同理:BC=CF=5,∵點(diǎn)E與點(diǎn)F重合,∴AB=CD=DE+CF=10;②如圖3所示:∵點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,∴DE=DC=5,∵CF=BC=5,∴點(diǎn)F與點(diǎn)D重合,∴EF=DC=5;(2)分三種情況:①如圖3所示:同(1)得:AD=DE,∵點(diǎn)C,D,E,F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等,∴AD=DE=EF=CF,∴=;②如圖4所示:同(1)得:AD=DE=CF,∵DF=FE=CE,∴=;③如圖5所示:同(1)得:AD=DE=CF,∵DF=DC=CE,∴=2;綜上所述,的值為或.24.(14分)如圖,矩形ABCD中,AB=4,點(diǎn)F是對角線BD上一動點(diǎn),∠ADB=30°.連結(jié)EF(1)若EF⊥BD,求DF的長;(
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