例題講解-概率統(tǒng)計課件

7個正品3個次品122

121

210

101

27

7P(

A2

|

A1

)

7

10

P(

A

),P(

A

|

A

)

7

10

P(

A

),10210P(A

)

7

,1.3.2

事件的獨立性放回式抽樣,每次一件,連續(xù)兩次,設(shè)Ai

=“第i

次取到正品”(i

=1,

2)10個產(chǎn)品則P(A

)

7

,且

P(

A

A

)

說明A2

發(fā)生的概率不受A1發(fā)生與否的影響,10

10同時有P(A1

A2

)

P(A1

)P(A2

),稱A1,A2為相互獨立.2P

D

F c

r

e

a

t

e

d w

i

t

h p

d

fwFwwa

.pcdtffaoctroyry.ctormi

a

l

v

e

r

s

i

o

n

7

7

P(

A

)

P(

A

),,P(

AB)

P(

A)P(B)P(B)P(B)定義:若兩事件A,B

滿足3稱A與B

相互獨立,簡稱A與B獨立(A,B

獨立).推論1

設(shè)兩事件A,B,且P(B)

0,

則A,B

獨立

P(A

|

B)

P(A)設(shè)兩事件A,B,且P(A)

0,

則A,B

獨立

P(B

|

A)

P(B)證明:

A,

B

獨立

P(

AB)

P(

A)

P(B)

P(

A

|

B)

P(

AB)

P(

A)P(B)

P(

A)推論2

設(shè)兩事件A,B,則四對事件:A與B;A與B;A與B;A與B同時獨立或同時不獨立.(只要一對獨立,則其余三對都獨立)證明:設(shè)A,B

獨立,則P(AB)

P(A)P(B)

P(

AB)

P(B)

P(

AB)

P(B)

P(

A)P(B)

[1

P(A)]P(B)

P(A)P(B),即A與B

獨立,同理可證其余.P

D

F c

r

e

a

t

e

d w

i

t

h p

d

fwFwaw.pcdtffoactroyry.ctormi

a

l

v

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r

s

i

o

n由推論1和推論2可得到:4P

D

Fc

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t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

a

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i

o

nA,B

獨立事件A發(fā)生的概率不受事件B發(fā)生與否的影響,且事件B

發(fā)生的概率也不受事件A

發(fā)生與否的影響.從而判斷兩事件是否獨立,可不用定義而根據(jù)實際意義判斷:若兩事件中任一個事件發(fā)生的概率不受另一個事件發(fā)生與否的影響,則認為此兩事件獨立.如:甲、乙兩人向同一目標射擊:記A

{甲命中},B

{乙命中},則A與B

獨立.甲、乙二人投籃比賽:記A

{甲投中},B

{乙投中},則A與B

獨立.等.出現(xiàn)的流感不應該認為是二人獨立地破譯而大陸出現(xiàn)的流感和獨立事件.5P

D

Fc

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fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

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i

o

n3.

P(B

|

A)

01.

P(

AB)

P(

A)

P(B)2.

P(

A

|

B)

P(

A)4.

P(

A

|

B)

0思考:一.設(shè)事件A、B

為互不相容,且P(A)>0,

P(B)>0,則下列結(jié)論正確的是:1.

AB

2.

P(

A

|

B)

P(

A)4.

P(B

|

A)

0即有:A,B

互不相容

A,B

不獨立二.設(shè)事件A、B

獨立,且P(A)>0,P(B)>0,則下列結(jié)論正確的是:即有:A,B獨立

A,B

不是互不相容的3.

P(

A

|

B)

06P

D

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i

o

nP(BC

)

P(B)

P(C

)P(

AB)

P(

A)

P(B)P(

AC

)

P(

A)

P(C

)mn2

n)3

(共有C

n

Cn

2

n

1獨立

廣:定義:設(shè)三事件A,B,C

滿足:P(ABC

)

P(

A)

P(B)

P(C

)稱A,B,C

相互獨立.,

An

滿足:對其中任意m

(2

m

一般:設(shè)n

個事件A1,A2,n)個(1事件i

都i有)個P(等A式i

))P(A)P1(

A2i)i

稱CA

,

A

,,

A1

2

n相1

互2P(Ai

iAi

A

i獨立m

.n

n(與兩1

兩獨2

立不同m)從實際意義判斷:若n個事件中任一個事件發(fā)生的概率都不受其他任一個或任幾個發(fā)生與否的影響,則這n個事件相互獨立.7P

D

Fc

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l

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s

i

o

n1

P(

A1

)

P(

A2

)

P(

An)P(

A1

A2

An

)在計算個數(shù)較多的獨立事件和的概率時,就轉(zhuǎn)化為相關(guān)事件積的概率,避開了加法公式,使加法可大大簡化．1

P(

A1

A2

An

)1

P(

A1

A2

An8P

D

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i

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s

i

o

n)推論:

設(shè)n個事件

A1,

A2

,

,

An

相互獨立,

則它們中任一部分事件換成各自的對立事件后,所得

n

個事件也相互獨立.從而若A1,A2

,,

An

相互獨立,則:例5:甲乙兩射手對同一目標進行(獨立)射擊,

他們

目標的概率分別為0.9和0.8,求在一次射的概率.目標被目標”,

B

“乙

目標”,解:

設(shè)

A

“甲則A與B

獨立,此時

A

B

“目標被

”,

P(

A

B)

1

P(

A)

P(B)

1

0.1

0.2

0.98.或:

P(

A

B)

P(A)

P(B)

P(

AB

)

P(

A)

P(B)

P(A)

P(B)

0.9

0.8

0.9

0.8

0.98.9P

D

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i

o

n常言道:

“三個臭皮匠,

頂一個

”,

就是說人多力量大,

人多智慧多,

它可以從概率的計算中得到論證.例6:三個臭皮匠獨立解決某一問題的概率分別為0.45,

0.55,0.60,求問題被解決的概率．解:

設(shè)

A,

B,

C分別表示這三個臭皮匠解決了此問題,則A,B,C

獨立,且P(A)

0.45,

P(B)

0.55,

P(C

)

0.60,此時A

B

C

“問題被解決”,

P(

A

B

C

)

1

P

(

A)

P

(

B

)

P

(C

)

1

0.55

0.45

0.40

0.901.10P

D

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i

o

n例7:甲乙丙三臺機床獨立工作,在同一時段內(nèi)它們不需要工人照管的概率分別為0.7,

0.8

和0.9,求這段時間內(nèi)最多只有一臺機床需要工人照管的概率.解:設(shè)A1,A2

,A3分別為甲乙丙機床需要工人照管,則A1,A2,A3

相互獨立,設(shè)B

為最多只有一臺機床需要工人照管,

P(

B

)

P(

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

)

P(

A1

A2

A3)

P(A1A2

A3)

P(A1A2

A3)

P(

A1

A2A3)

P(

A1)P(

A2

)P(

A3

)

P(

A1)P(

A2

)P(

A3

)

P(

A1)P(

A2)P(

A3

)

P(

A1)P(

A2

)P(

A3)

0.7

0.8

0.9

0.3

0.8

0.9

0.7

0.2

0.9

0.7

0.8

0.1

0.902

.11P

D

Fc

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fwFwaw.pcdtffoactroyry.ctormi

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i

o

n

第1章

隨機事件與概率隨機事件隨機事件的概率條件概率與事件的獨立性全概公式與

公式12P

D

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fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

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i

o

n1.4

全概公式與公式1.

全概公式2.公式(逆概公式)全概公式與 公式主要是用來計算比較復雜事件的概率,

這種事件的概率往往計算起來比較 ,欲將這個事件分解成若干個簡單的幾部分,

則可根據(jù)加法公式和乘法公式求出它的概率,

它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的運用和推廣.在用這兩個公式時,都要找出某個完備事件組.13P

D

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a

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fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

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r

s

i

o

nnP(

A)

P(Bi

)

P(

A

|

Bi

)i

1證明:由條件知:B1

B2

14P

D

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fwFwaw.pcdtffoactroyry.ctormi

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i

o

n

Bn

,且

Bi

Bj

(i

j,

i,

j

1,2,

P(

A)

P(

A

)

P

[

A(B1

B2

,

n)

Bn

)]

P(

AB1

AB2

ABn

)

P(

AB1

)

P(

AB2

)

P(

ABn

)

P(B1

)P(

A

|

B1)

P(B2

)P(

A

|

B2

)

P(Bn

)P(

A

|

Bn)

nP(Bi

)

P(

A

|

Bi)i

1當n

2

時,全概公式為P(A)

P(B)P(A

|

B)

P(B)P(A

|

B)n),則對任意事件A

,有定理(全概公式):設(shè)n個事件B1

,B2

,,

Bn

構(gòu)成一個完備事件組,且P

(Bi

)0,(i

1,2,

,用全概公式計算概率時,關(guān)鍵是要找一個完備事件組并知道相應的概率.15P

D

Fc

r

e

a

t

e

dw

i

t

hp

d

fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

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l

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s

i

o

n,

Bn

,推廣:

設(shè)可列個事件B1

,

B2

,

構(gòu)成一個完備事件組,且P

(Bi

)

0

(i

1,2,),

則對任意事件A

,有P(

A)

P(Bi

)

P(

A

|

Bi

).i

110解:設(shè)B

=“第一次取到正品”,B

,B

是一完備事件組,則B

=

“第一次取到次品”,設(shè)A

=“第二次取到正品”,

P(

A)

P(B)

P(

A

|

B)

P(B)

P(

A

|

B)

7

7

.例1:10件產(chǎn)品,7個正品,3個次品,從中抽取兩次,每次一個,采取不放回抽樣,求第二次取到正品的概率.

7

6

310

9

10

916P

D

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fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

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i

o

n例2:

某超市的節(jié)能燈泡由甲、乙、丙三個廠家同時供貨,其中甲廠生產(chǎn)的占50％,乙廠生產(chǎn)的占30％,丙廠生產(chǎn)的占20％,已知甲廠的

為95％,乙廠的

為90％,丙廠的

為85％.

現(xiàn)有一顧客從該超市

一個節(jié)能燈泡,是合格品的概率為多少？(書例)解:

設(shè)

B1

,

B2

,

B3

分別表示

的這個節(jié)能燈是由甲、乙、丙廠生產(chǎn),

則B1

,

B2,

B3

是一完備事件組,設(shè)A=

“

的這個節(jié)能燈是合格品”,由全概公式可得P(

A)

P(B1)

P(A|

B1)

P(B2

)

P(A|

B2

)

P(B3

)

P(A|

B3)

0.5

0.95

0.3

0.90

0.2

0.85

0.915

91.5%.即該顧客

的這個節(jié)能燈泡是合格品的概率為91.5%.17P

D

Fc

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e

a

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i

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hp

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fwFwaw.pcdftfoactroyry.ctormi

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s

i

o

n1010C

2

C

2i2

7

8

7

5

0.54.i0

1

7i則P

(

B

)(i

0,1,2),C1C1

C

1C

11010C

2

C

2C

1C1

C

2C

0

C

1C110

10C

2

C

2

P(

A)

P(Bi

)P(

A

|

Bi

)

7 3

7

3

7 3

6

4

7 3

5

5C

0C

2C

i

C

2

i

7

3

C1

C1P(

A

|

B

)

7i

3i

(i

0,1,2),10C

210C

2例3:10個乒乓球中7個新球,第一次隨機地取出2個,用完后放回去,第二次又隨機地抽取出2個,問:第二次取到1個新球的概率是多少?解:

第二次取和第一次取有關(guān)的,設(shè)Bi

“第一次取i個新球”(i

0,1,2),則B0

,B1

,B2

是一完備事件組,設(shè)A

“第二次取1個新球”,18P

D

Fc

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fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

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i

o

n1P

(

B

|

A)

1P(

A)P(

AB

)0.915

0.5

0.95

51.91%,P(B1

)P(

A

|

B1

)P(

A)3P(

A)3i

1把此例推廣到一般情況可得:

P(Bi

)P(

A

|

Bi

)

P(Bi

)P(

A

|

Bi

)i1P(B3

)P(

A

|

B3

)2P

(

B|

A)

P(

AB2

)

3P

(

B|

A)

P(

AB3

)

3

P(Bi

)P(

A

|

Bi

)i

1P(B2

)P(

A

|

B2

)例4:在例2中:超市的節(jié)能燈泡由甲、乙、丙三個廠家同時供貨,其中甲廠生產(chǎn)的占50％,乙廠生產(chǎn)的占30％,丙廠生產(chǎn)的占20％,

已知甲廠的

為95％,乙廠的

為90％,丙廠的

為85％.

現(xiàn)有一顧客從該超市

一個節(jié)能燈泡,

若已知該燈泡是合格品,

求它是由甲、乙、丙三個廠家生產(chǎn)的概率各是多少．解:0.915

0.3

0.90

29.51%,0.915

0.2

0.85

18.58%,19P

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fwFwaw.pcdftfaoctroyry.ctormi

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i

o

nn

P(Bi

)

P(

A

|

Bi

)i

1P(Bk

|

A)

P(Bk

)

P(

A

|

Bk

)定理(

公式)

(或逆概公式):在全概公式中,

B1,

B2,…,

Bn

是導致結(jié)果A

發(fā)生的原因,P(Bk)是在A

發(fā)生前知道的稱為先驗概率, 全概公式是由原因推結(jié)果.在

公式公式中,由原來的結(jié)果“A已發(fā)生”這一條件,

對事件A

發(fā)生的原因作進一步的

,

此時P(Bm

|

A)稱為后驗概率,公式是由結(jié)果找原因.,

Bn

構(gòu)成一個完備事件組,且P

(Bi

)設(shè)n個事件B1

,B2

,0,(i

1,2, ,

n),則對任意事件A,且(k

1,2,

n)P(

A)有0,20P

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fwFwaw.pcdftfoactroyry.ctormi

a

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i

o

n

1

1

0.5

0.06

0.5

0.06

0.3

0.10

0.2

0.05

1

0.03

0.03

0.010.03

1

3

4

0.57.7

7例5:甲乙丙三個機床同時加工同一種零件,其各機床加工的P(B1)P(

A

|

B1)P(B1

)P(A

|

B1)

P(B2

)P(A

|

B2

)

P(B3

)P(

A

|

B3

)零件數(shù)量之比為5:3:2,

各機床所加工的零件

依次為94%,

90%,

95%,

現(xiàn)從加工好的整批零件中檢查出一個廢品,判斷它不是由甲機床加工的概率.解:在整批零件中任取一個零件,設(shè)B1

,B2

,B3

分別表示該零件由甲乙丙三機床加工的,則B1

,B2

,B3

是一完備事件組,設(shè)A=“該零件是廢品”,

P(B1

|

A)

1

P(B1

|

A)21P

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i

o

n

P(B|

A)

例6:某地區(qū)甲種疾病的

為0.0035.

現(xiàn)有一種檢驗方法,其效果是:

對甲種疾病的漏查率為5%;對無甲種疾病者用此檢驗方法誤診為甲種疾病患者的概率為1%.

在一次健康普查中,

經(jīng)此檢驗法查為有甲種疾病,求此人確實患甲種疾病的概率.解:在該地區(qū)隨機挑選一人,設(shè)

B

“該人患甲種疾病”,

則B

“該人不患甲種疾病”,B

,B

是一完備事件組,設(shè)A

“此人經(jīng)這種檢驗法查為有甲種疾病”,P(

B)P(

A

|

B)P(

B)P(

A

|

B)

P(

B)P(

A

|B)

0.0035

(1

0.05)

0.25.0.0035

(1

0.05)

(1

0.0035)

0.0122P

D

Fc

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a

t

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fwFwaw.pcdtffoactroyry.ctormi

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i

o

n已知5%

和0.25%的女性是色盲,

假設(shè) 女性各占一半,的概率.思考P(

B)P(

A

|

B)

P(

B)P(

A

|B)0.5

0.95

0.5

0.9975(2)

P(

B

|

A)

(1)若隨機挑選一人,求此人恰好是色盲的概率.(2)若隨機挑選一人,發(fā)現(xiàn)不是色盲,問此人是解:隨機挑選一人,設(shè)B

“此人是

”,

則B

=

“此人是女性”,B,B

是一完備事件組,設(shè)A

“此人是色盲”,(1)

P(

A)

P(B)

P(

A

|

B)

P(B)

P(

A

|

B)800P(

B)P(

A

|

B)

0.5

0.05

0.5

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