量子力學(xué)筆記

量子力學(xué)一、量子力學(xué)的實驗基礎(chǔ)盧瑟福實驗：a粒子的質(zhì)量遠大于電子，兩者的質(zhì)心幾乎就在a粒子上。雖然二體系統(tǒng)有內(nèi)部的相互作用，但它們的質(zhì)心是自由運動的，故電子對a粒子的作用不影響a粒子的運動。a粒子散射時，原子的正電荷部分受到反沖力，導(dǎo)致薄片品格的振動。原子光譜是原子內(nèi)部電子運動情態(tài)的反映。光譜項T。氫原子光譜的頻譜是離散的，且不是連續(xù)譜亦非由基頻和倍頻構(gòu)成的頻譜，這個性質(zhì)直接來源于原子中電子運動具有能級的特性以及光具有粒子性。光電效應(yīng)實驗中無法用經(jīng)典物理學(xué)解釋的現(xiàn)象：(1)反向遏止電壓和入射光強無關(guān)；(2)反向遏止電壓和入射光的頻率呈線性關(guān)系；(3)電子逸出相對于光的照射而言幾乎無時間延遲。愛因斯坦方程：表示金屬電子吸收一份光能量而荻得T的動能逸出金屬，0為脫出功，與材料有關(guān)。光子：(1)博特實驗(W.Botheexperiment)表明每份光能量是集中的；(2)賈諾希實驗(L.Janossyexperiment)表明每份光子落在何處是偶然事件，也就是說電磁波是光子的概率幅波。(量子力學(xué)有整體性，光子的運動受到整個環(huán)境的影響。)愛因斯坦關(guān)系：p=T和E描寫光子，k和ft)描寫單色波?！咀⒁猓赫f光有波粒二象性是沿用經(jīng)典物理的語言。光有波動性，是指光的運動沒有軌道；光具有粒子性，是指光與電子相互作用時像粒子那樣，而不像經(jīng)典的波場那般。】康普頓(A.H.Compton)效應(yīng)應(yīng)用了"靜電子模型”(靶原子的外層電子)?！憧灯疹D波長：A=—=0.0242621^o計算過程中考慮了能量守恒(相對論me力學(xué))和動量守恒(矢量力學(xué))，AZ=2Asiif?。(1)對于原子內(nèi)層的“束2縛電子”，由于它們與原子核束縛的緊，應(yīng)作為一個整體看待，'‘靜電子模型"不成立。光子撞不動整個原子，只是自己改變方向。因此實驗中出現(xiàn)了厶玄二。的成分。(2)對于可見光，能量和動量小，靶原子的外層電子應(yīng)作束縛電子看待，“靜電子模型”不成立。德布羅意關(guān)系(物質(zhì)表現(xiàn)波動性)是光的愛因斯坦關(guān)系的推廣，表示有確定E和p的自由粒子聯(lián)系一個有確定k和ft)的單色平面波。實驗證明：戴維孫-革末(Davisson-Germer)電子衍射實驗。定態(tài)是指能量的本征態(tài)。Bohr初等量子理論的要點：(1)定態(tài)概念；(2)定態(tài)之間的躍遷概念；(3)角動量量子化概念——表現(xiàn)為量子化條件。Bohr理論的缺陷：理論應(yīng)用于簡單程度僅次于氫原子的氮原子時，結(jié)果與實驗不符。對于氫原子，該理論只能求出譜線頻率，而不能求出譜線的強度。弗蘭克-赫茲實驗：峰值提高的原因是由于陰極發(fā)射電子的能力與燈絲溫度有關(guān)，燈絲溫度越高，發(fā)射電子能力越強，提高燈絲電壓，燈絲溫度相應(yīng)提

高，陰極發(fā)射電子能力增強。對氫原子的初步分析：由于庫侖力是有心力，這就保證了電子繞核運動的角動量守恒。對于類氫原子，必須考慮它的折合質(zhì)量。原子磁矩(近似可認為是電子所形成的電流乘以其環(huán)繞面積，因為原子核磁矩〈〈電子磁矩)為：1/I1—WU00方s--ch___.--nnzWjuE化=產(chǎn)7石〃宀一證〃’記％’證"gioyb),込里釆用的是CGS(厘米克秒)單位制。本章重點在于：(1)對定理、定義的理解；(2)對實驗的熟悉以及對實驗相關(guān)細節(jié)的理解；(3)計算時需確定題中是否需要用相對論力學(xué)，并會用泰勒展開進行近似計算；(4)對于題給數(shù)據(jù)要考慮是否在計算前進行修正。二、量子力學(xué)的基本概念1?量子力學(xué)的三大基本特征：幾率幅描述；量子化現(xiàn)象；不確定關(guān)系。2?根據(jù)德布羅意關(guān)系，物質(zhì)是具有波動性的，而波動是時空的過程，因此w是x和t的函數(shù)。由于薛定銬(Sclirodinger)方程中出現(xiàn)虛數(shù)i,所以》//是個復(fù)數(shù)。3?德布羅意波德統(tǒng)計解釋：在t時刻，粒子落在x點附近護才體積元中的槪率為:f)dzx=/)|3cPx。歸一化條件：J|i//(.r,/)「/x=1。不同的y/(.r,/)描寫了粒子不同的量子力學(xué)狀態(tài)——量子態(tài)?！咀⒁猓阂话阏f來，在討論少數(shù)具有有限靜止質(zhì)量的非相對論性粒子的運動時，使用這種利用y/(.r,Z)描寫量子態(tài)的圖像比較適合；在研究大數(shù)全同粒子系統(tǒng)，或相對論性的粒子時，采用二次量子化這種圖像較為方便?！??按照統(tǒng)計詮釋，波函數(shù)y/(.r,/)對于空間坐標(biāo)來說，必須是處處連續(xù)的、單值的和有限的。???自由粒子所處空間可視為V二0的空間，在此空間內(nèi)，粒子不受任何約束，故而粒子在空間各處等概率，即自由空間有平移對稱性，也就是說y/(?t)=W(x+Q)。6?非相對論情形下，自由粒子￡=這時，只有選用復(fù)數(shù)形式的平面波，才能滿足對稱性原理(皮埃爾?居里6?非相對論情形下，自由粒子￡=,由德布羅意關(guān)系可知：(y=-=—h2“此時的物質(zhì)波包的群速度為：r=—=—=^,相速度為：u==-=-=-dkAdtkp1,由于蘭L丄主0,所以物質(zhì)波包必然要擴散。對于相對論粒子，壯=聖旦態(tài)疊加原理：若#（才/）,ih,2,…，代表一定條件下允許的波函數(shù)（量子態(tài)），則它們的線性疊加<//（*/）=工也是同樣條件下允許的波函數(shù)（量子態(tài)），i其中。為任意的復(fù)常數(shù)。疊加原理成立，要求滿足的演化規(guī)律應(yīng)是線性的微分方程，它反映微觀系統(tǒng)的統(tǒng)計特性與經(jīng)典統(tǒng)計有重大差別（這是波粒二象性引起的）。平均位置⑴二W（M）忖譏H）〉，（波函數(shù)在不同表象下都是歸一的。）平均動量⑵=〈皿,硝刑（"〉=〈①①3,0〉。薛定銬方程是一個作了“低能近似”（非相對論量子力學(xué)）和“外場近似”的r）Atj近似方程。ih一中=H中。槪率流密度為：j=（i//*Vy/-,定域的槪dt2/mQP率守恒：—=-V.7odt不確定關(guān)系（起著經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)分界線的作用）：A.r2V>-,A/A/>-o22一維定態(tài)：（1）V二0的自由粒子（連續(xù)譜）；（2）一維無窮深勢阱（離散譜）：（3）一維有限深勢阱（分別考慮束縛態(tài)和自由態(tài)）：解的宇稱；（4）一維方勢壘——隧道效應(yīng)（反射系數(shù)和透射系數(shù)）；（5）一維&勢阱（考慮躍變點處波函數(shù)性質(zhì)）；（6）一維簡諧振子（厄米方程及其解，能級公式）?！咀⒁猓阂痪S線性諧振子的能級公式中出現(xiàn)丄方爐的原因是不確定關(guān)系的存在?！?對應(yīng)原理：在大量子數(shù)極限下，量子論將漸近地趨于經(jīng)典理論。（Bohr于量子力學(xué)建立前提岀）量子態(tài)可以用波函數(shù)表示（波動力學(xué)），也可以用矩陣表示（矩陣力學(xué)）。量子力學(xué)中，態(tài)和力學(xué)量的各種表示方式稱為表象。對于一個量子態(tài)，可以用多個表象描述，只是基矢取得不同，得到的"坐標(biāo)”不同而已。大數(shù)的、相互獨立的、處于相同宏觀條件之下的系統(tǒng)的集合，是量子力學(xué)的統(tǒng)計對象一叫做量子系綜。量子多體問題的量子力學(xué)是單粒子量子力學(xué)的直接????推廣。本章重點在于：（1）態(tài)疊加原理的記憶及相關(guān)應(yīng)用；（2）應(yīng)用薛定銬方程對一維勢的計算，包括波函數(shù)，能級，波函數(shù)的奇偶性，力學(xué)量的平均值，反射與透射系數(shù)的計算等：（3）W；°嚴?+sin0—+.1——（三維球坐標(biāo)）；rdrdrrsin0d0d0rsin-0dq）~維柱坐標(biāo)二維）。drr"rd02d?drr少rd（p2三、量子力學(xué)的數(shù)學(xué)表述量子力學(xué)中的算符代表對波函數(shù)（量子態(tài)）的一種運算。根據(jù)態(tài)疊加原理可知,力學(xué)量的算符必須是線性的。又由于力學(xué)量的本征值是實數(shù)，所以，力學(xué)量的算符一定是厄米算符。因此，力學(xué)量的算符是線性厄米算符。"aA"]AAAA算符的性質(zhì)：相等，相加，相乘，對易，反對易。A.B=AB-BA。線性，厄米，轉(zhuǎn)置，共覘…厄米算符的性質(zhì)：(1)厄米算符的本征值必為實數(shù)；(2)厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)，彼此正交；(3)厄米算符的平方的平均值是非負的。一般的不確定關(guān)系：山酗〉也，C為A和B的對易。(可取含實參量￡的積22分：1(g)=J*d3x(A~+來進行演算。)【測量是對量子系綜進行的?！慷蛎姿惴谋菊骱瘮?shù)的性質(zhì)：(1)正交歸一性，證明如下：AA設(shè)⑴，力必⑴=a”中”a,這里的n和m僅表示0”豐％并不意味著乙和％屬于離散譜。因為T=2,其本征值為和％總都是實數(shù)。那么：0=.?：〉中比-Ji//；A中比二J中;A\yn^x-\中“(：%)*/才=s”_%)J吠山”/x如果an^am,則仏和必正交，JW：必/Ar=0,燉工力。如果an=am,則J<//*,<//,不一定正交。下面，分別討論三種情形：本征值屬于離散譜情形當(dāng)本征值乙屬于離散譜，相應(yīng)的本征函數(shù)是可歸一化的，綜合正交和歸一性，有J中;中,"臥本征值簡并情形——正交化手續(xù)(可使用施密特正交化方法，重新選取合適的基矢，構(gòu)建正交歸一的函數(shù)系。)本征值屬于連續(xù)譜情形(可以采用箱歸一化定常數(shù)，然后規(guī)格化。)AA對于力學(xué)量算符N的連續(xù)本征值譜，AuJa{x)=,q連續(xù)變化。對應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)是正交的，故J0；(力匕(才)=0&工2,但對于連續(xù)的本征值從q到q+M(△“是小量)對于實驗測量是無法區(qū)別的，這導(dǎo)致本征值譜連續(xù)時本征函數(shù)的規(guī)格化條件為:仏帆〉=JV；⑴必(x)/x=6(af-a)o(2)完備性，基的完備性條件：工％(x)W：(J)+J加必G)W；(J)=§G‘-刃(考慮了離散譜和連續(xù)譜的混合譜)。

混合譜：y/=jC^Jada+工Cm，由于J中;％/x=九=E九+j*加CAJdg§(d-￡)=工切C『+J乙IGI%。AAAyBAAAyB=0o7?［定理］若力學(xué)量算符2、2有共同的本征函數(shù)系，則［逆定理］若A^B=0,則它們有共同的本征函數(shù)系。設(shè)有一組彼此獨立而且相互對易的厄米算符力(力1,力2,…)，它們的共同本征態(tài)記為I//。，4表示一組完備的量子數(shù)。設(shè)給定一組量子數(shù)Q后，就能夠確定體系的唯一一個可能狀態(tài)，則我們稱(4占??)構(gòu)成體系的一組對易可觀測量完全集(CSCO)o(也可稱為對易力學(xué)量完全集或力學(xué)量完全集。)【注意：CSCO限于最小集合，一個給定的CSCO中，可觀測量數(shù)目一般等于體系自由度的數(shù)目，但也可以大于。】AAdAdA\dtdtihAAdAdA\dtdtihAAA.H,ViriaI定理(束縛定態(tài)):(7)=-22(可選用A=x-p求平均值)。10.—個CSCC0(對易守恒量完全集)的成員的選擇，涉及體系的對稱性。本章重點在于：(1)算符的運算；(2)力學(xué)量在本征態(tài)中的概率、平均值；(3)利用不確定關(guān)系進行近似計算；(4)量子態(tài)的矩陣表示以及力學(xué)量算符的矩陣表示；(5)厄米算符的正交歸一性和完備性。四、單粒子問題中心力場中，由于厶，/,厶兩兩不對易，故粒子的能級一般是簡并的。僅根據(jù)能量本征值，并不能把本征態(tài)完全確定下來，而需要尋找一組守恒量完全集,用它們的共同本征態(tài)來標(biāo)記一個定態(tài)。2.2.球貝塞爾方程:啟&p)=0,其一般解是球貝寒爾函數(shù)和球諾依曼函數(shù)的線性疊加：人(p)=4//(P)+^/(p)。球貝塞爾函數(shù)皿)=3叫荻詈),球諾依曼函數(shù)勺(p)=(-1)/+〉/(丄厶)/(竺2),實際原子核中的單粒子勢更接近于Woods-Saxon勢(性質(zhì)介于三維各向同性諧振子勢和球方勢阱之間)，r(/)=勺一(弘，尺&>0)。久是勢阱深度，】—R、7?刻畫勢阱半徑，Q表征在核表面附近勢阱“尾巴”的長短。合流超幾何方程：二二丄+(/-s)—-C0/=O,在p=0處有限的v為七d二"?F(a,y,=)。對于二體系統(tǒng)，要考慮折合質(zhì)量，并要確定二體的相互作用勢是否僅與兩個粒子的相對坐標(biāo)有關(guān)，若是，則可取質(zhì)心坐標(biāo)系，相對運動和質(zhì)心運動可以分離變量?！?Y1Y6?拉蓋爾(E.N.Laguerre)方程：p-―^+(/I+1-p)—+Z=0□dp-dp拉蓋爾多項式：^p)=ep^-[e~ppk]t關(guān)聯(lián)拉蓋爾多項式：&；=(-1)“#厶+“氫原子的波函數(shù)為：i//亦(p,e,<p)=人(p)=左(p)={(務(wù))32^(Z+為嚴*'P‘Z；(P)，nr/I=2/+lO從物理上講，能級具有更高的簡并度，意味著體系具有更高的對稱性。氫原子的束縛態(tài)的對稱性(Q)是種動力學(xué)對稱性，比幾何對稱性(Q,即三維空間旋轉(zhuǎn)不變性)更高。8?電子云是一種等效的概念，表示電子概率分布，并不意味著電子失去顆粒性而分散成一片。如果原子內(nèi)有一個電子處于主量子數(shù)n很大的狀態(tài)，則稱這電子處于里德伯態(tài)，具有這樣的高激發(fā)態(tài)的電子的原子稱為里德伯原子。本章重點在于：(1)對稱守恒量完全集的成員的選擇；(2)各類方程的計算以及解的性質(zhì)；(3)

計算過程中，需考慮躍變點處波函數(shù)的性質(zhì)以及奇點處的波函數(shù)性質(zhì)。五、含時問題的近似方法光的發(fā)射和吸收如果系統(tǒng)的哈密頓量突然從變到玄，&T0,以致系統(tǒng)的狀態(tài)來不及調(diào)整，那么突變前的狀態(tài)，應(yīng)是突變后系統(tǒng)初態(tài)的一個良好近似（突發(fā)近似［Suddenapp.］）o如果的變化極其緩慢，以致每一瞬間系統(tǒng)都處在準定態(tài)2（。）久（°）=為（°）久（e）,〃=1,2,3,...則初始時刻的態(tài)乞（0）將演變成中”（『）=U*（/）exp［-z￡血”⑹旳］,?（&）=-它應(yīng)是嚴格解的一個良好近似（絕熱近似［adiabaticapp.］）。突發(fā)近似適用的條件是：7?A,其中，丁為/1-/0（心表示初始時刻，Lf表示突變E的時刻）。絕熱近似適用的條件是：上竽《1,即在波爾周期Tnu^—內(nèi)，勢能的變化少乙遠小于嘰。微擾尚來不及引起狀態(tài)大變時（這牽涉到系統(tǒng)解的穩(wěn)定性問題），微擾論還可使用。含時微擾的一級近似：￡=丄［方;/心“力，其中％=幾_'。龍0定義平均躍遷速度為：矽——，稱為躍遷概率。對于簡并態(tài)求躍遷概率,t應(yīng)該對初始能級的諸簡并態(tài)求平均，對終止能級的諸簡并態(tài)求和?？紤]原子受光照射的情況。設(shè)光源在遠處，也就是原子處于純輻射場中，（p=0,PN=0。設(shè)單色光的矢量勢A=cos（/--x-cof）,4,?力=0,?二ck、A1nQ八r為偏振方向。原子受光照射后，哈密頓量為左=丄3+三力）+/。由于2/1c力込

力込

I眄.A八方Ap?A=A?A=A?p、/\n$n故左=&0+——4j+其中￡o是原子的哈密頓量。將力改寫成力=—AQ{exp[/（^x-cot]+exp[-z（?-x-co/）]},2則昇=X嚴+b，其中比=盤〈創(chuàng)嚴％?第〉。當(dāng)￡：）-+tia>=0,受迫吸收（stimulatedabsorption）,益^竽I或彷朗-礎(chǔ)+也）;當(dāng)哥：）一哥?一力co=0,受迫輻射（stimulatedemission）,久』?？?（器-甥-呦。以上兩式表明吸收或發(fā)射光子的概率隨時間線性增長，這意味著經(jīng)過足夠長的時間后，發(fā)射或吸收光子的過程肯定發(fā)生。但此時微擾級數(shù)不可能是快收斂的，為回避這種矛盾，我們研究予旳咚辻遶摩，即平均單位時間內(nèi)躍遷到加態(tài)的概率：迦=羋=辛隅（器-寄土沏）O實際上不存在嚴格的單色光，因為它是無限時空的波動過程。H=Vx^=-/^x^osin(^?x—co/+(p)o對于單色光，A=Aqcosco/+（pH=Vx^=-/^x^osin(^?x—co/+(p)o-—=-—4)sin(4才-妙+(P)cdtc其能流密度為：1=—fxJ7=-^—^oshfgx-血+<P）,對相位<p求平均，注4714兀o意—「意—「sin2xdx=—271InJo對于非單色光，單位頻率間隔的強度心滬鋁伽）。8?黃金規(guī)則：化》=字=￥|比|5（益）1—”珈。PS）為能量空間的態(tài)密度，即碼，附近單位能量間隔中的狀態(tài)數(shù)。處在激發(fā)態(tài)的原子，即使沒有受到光的照射，也會自發(fā)地輻射波矢/的方向為任意的光子g=ck\回到低能態(tài)，這稱為自發(fā)輻射（spontaneousemission）o4穴％?T?受激吸收（發(fā)射）系數(shù)：%如=—廠”畑）;

自發(fā)輻射系數(shù)：4”=琴Fso3nc在討論原子的受激吸收或輻射時，所得躍遷概率表示式中出現(xiàn)因子貯=旦?嚴認如。將式中的指數(shù)展開嚴=1土弘--（力"+...22對于原子和可見光，取到第一項1就夠了；但對于原子核吸收或輻射7射線，應(yīng)取到第二項弘?才。電偶極躍遷的選擇定則：山=±1,△刃=0（7T）,±l（b）；電四極躍遷的選擇定則：AZ=03=2,A/?7=0,±1,±2oAA【注意：以上選擇定則只適用于輻射場和原子相互作用為H\=皂A?p,而不適用于電子和原子的碰撞?！?4?激光的特性：單色性高、直線傳播、方向性好、相干性強、能量密度大、脈沖時間短、覆蓋波段寬而且可以調(diào)諧等。激光（LASER）是由受激輻射引起光放大而引起的，微波量子放大（MASER）是由受激輻射引起微波放大而產(chǎn)生的。為了獲得受激輻射，需要使粒子數(shù)反轉(zhuǎn)，并保證自發(fā)輻射遠小于受激輻射。一般使用諧振腔已達到上述條件。“激光冷卻原子”技術(shù)獲得了1997年的諾貝爾物理學(xué)獎，它被稱為“光學(xué)粘膠”。本章重點在于：（1）應(yīng)用前幾章公式解題，理解并合理應(yīng)用絕熱近似和突發(fā)近似；（2）含時微擾的一級近似、二級近似；（3）能量的不確定原理的應(yīng)用；（4）受激吸收（輻射）及自發(fā)輻射的相關(guān)計算。六、定態(tài)（本章僅考慮束縛態(tài)）問題的近似方法AAAA1?定態(tài)微擾論（非簡并情形）：設(shè)系統(tǒng)的哈密頓量為：H=HwH\、其中禺和A/A\/A都不顯含時間，且（一級近似：捋）二例左1”〉,一級近似：捋）二例左1”〉,二級近似:（注意：扣除m=n一項）。要求以上級數(shù)快速收斂，則應(yīng)有&很小,必）和w丁重疊區(qū)小，例玄|砂將是小量;能級間隔礎(chǔ)_磔）大，也有利于上式成立。定態(tài)微擾論（f度簡并情形）：解久期方程：det@/闕弘帆2）-或％卜0,其中p=l,2,...,/o對于久期方程有重根的情形，需要特殊處理。當(dāng)原子處在電場中時，電場破壞了原子核所提供的勢能的球?qū)ΨQ性，也會發(fā)生能級和光譜線分裂的現(xiàn)象，這叫做斯塔克（J.Stark）效應(yīng)。氫原子基態(tài)的一級修正為0,第一激發(fā)態(tài)的一級修正為：冴）=0二重根，於）=0鋼或中跖;嫂亡鷗-中船;応°、言（嗯+W谿。這稱為一級斯塔克效應(yīng)。在它的光譜中，兀表示光的偏振在Z方向；b表示光的偏振在x~y平面。變分法：求解束縛態(tài)的一種有效近似方法，不但對于單粒子問題，而且對于多體問題都很重要。里茲（Ritz）變分法：通過調(diào)參量改變函數(shù)。本章重點在于：（1）使用變分法求得近似波函數(shù)，并證明相關(guān)定理；（2）應(yīng)用定態(tài)微擾論，解非簡并情形和簡并情形的相關(guān)問題；（3）應(yīng)用數(shù)理方法，解出相關(guān)方程的嚴格解:（4）對題意的理解，會使用小角近似等數(shù)學(xué)方法。七、自旋電子的所謂自旋，就是一種內(nèi)稟運動的外部表現(xiàn)。電子的自旋效應(yīng)表現(xiàn)為自旋角動量S和自旋磁矩辺=-三S。電子自旋的平方S?=S?S=心+1）方「=丄。M2電子自旋S在位形空間任意方向〃的投影為均為土丄方。辺在任意方法〃的投影2Ms--——^n=±-^~=土加o,加o=稱為玻爾磁子，其中“為電子質(zhì)量。"M2%2心自旋磁矩和軌道磁矩的相互作用使軌道運動和自旋運動相耦合，這將引起

原子能級和光譜線的精細結(jié)構(gòu)。［考慮了電子的自旋磁矩與軌道磁矩相互作用，若再考慮核的自旋磁矩，則超精細結(jié)構(gòu)。］電子自旋的假設(shè)是基于兩個實驗事實：（1）堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)；（2）反常Zeeman效應(yīng)?！咀⒁猓鹤孕皇菣C械效應(yīng)，而是一種相對論量子力學(xué)效應(yīng)。】關(guān)于電子自旋的最直接而明確的證明：施特恩0.Stern）-蓋拉赫（W.Gerlach）實驗（測量原子磁矩的實驗）。［由于原子核的磁矩遠小于電子，因此對Stern-Gerlach實驗的觀測無可觀的影響。且該實驗中，由玻爾茲曼分布公式可知處于高能級的原子數(shù)遠少于處于基態(tài)的原子數(shù)，因而發(fā)出的粒子束的軌道磁矩為零。］S.t,S?”=血S二,才,丿丿,二輪轉(zhuǎn)TS,S=O,/=x,丿，二。A-AS=心+1）力它恥，、弋他=叫比沁,叫=s、s-\"、—s共2s+l個值。Ml=gL—L.gL=1:Ms=gs―S.gs=2o對于軌道運動和自旋運動，2/16*2/1^回磁比g是不同的。這一點可以用來檢驗是否存在自旋效應(yīng)。若測得g=l,則物質(zhì)中只存在軌道運動而不存在自旋運動；若測得1vg<2,則物質(zhì)（比如順磁材料）中既有軌道運動，也有自旋運動；若測得g=2,則該物質(zhì)（鐵磁材料）的磁矩完全出自自旋運動的貢獻。【愛因斯坦-德哈斯實驗就是測g的實驗，測得8.一般采用S,8.一般采用S,表象表示電子的自旋態(tài)和自旋算符。一般將二分別稱為自旋朝上這里，乞是巫交歸一的：饑」紜）=5論。對于任意的自旋態(tài)，可以用乞來展開：g二站++0二。在彳表象下，J9?泡利（Pauli）9?泡利（Pauli）矩陣：6=0-1\方八泡利矩陣的性質(zhì):(1)s=—6,2=才丿，二；(2)6=1;(3)66=26,X.y.zTOC\o"1-5"\h\zAAAAAAAAAAA輪轉(zhuǎn)；（4）算符力與<7對易，則0*（（7?力）=力+Z/x（7;（5）A,方是與（7對易的AAAAAAAAA任何兩個矢量算符，則(a-A}(pB)=A2?+1CT(y4xB)oAAA\2A-"AA令厶=y.T±IJy,則Jv±=0,厶Zt〔0Of/)00—0、A00C(/-l)0—0c/+=??:g+1)(0000—0丿,其中10.對于角動量丿,=±tlJ±o經(jīng)過計算可得/+矩陣為:TOC\o"1-5"\h\zAAAQ加）二J,。+1）一一1）方。同理人也可類似求得（人=（厶）+=（厶）本）。11?無耦合表象：基矢|/必〉|丿2〃22〉=|/丿2〃21先〉稱為直積空間的未耦合基。耦合表象：J,上共同的本征矢組|〃》二|兒/2〃》叫做耦合基。從未耦合基到耦合基的變換是幺正變換，即|〃》二XI||?叫叫其中展開系數(shù)0小叫叫j碼稱為克來布希-高登（Clebsh-Gordan）系數(shù)，簡稱CG系數(shù)?！咀⒁猓篊G系數(shù)的非零條件為m=m^m2,且乙，人和丿滿足三角形Zj\h力規(guī)則?！緼-A12.對于兩個電子的自旋合成，S,S,共同的本征矢為：右=|11〉=§+（1疋+（2）,Zio=|10〉=寺［齊⑴二（2）+二（略（2）］,Zoo=|00〉=寺［齊⑴二（2）-二⑴§+（2）］,龍H=|1,-1〉二二⑴二⑵。20的態(tài)稱為自釀半態(tài)；21的態(tài)稱為自養(yǎng)二車態(tài)。13?泡利方程：/^―o其中，H=Hl^Hs^Hls.dtAA_A母（10\自旋態(tài)空間比中的算符Hs=—H?Ms=S,=——H;222<0-1丿H=H且Hs空間中的算符：（可由相對論波動方程-狄拉克方程作非相對論近似得到）紜二一U丄如2?&丄^如〔厶Z］2/rLrdrrdr（厶-Lz）

綜合系統(tǒng)哈密頓算符中可能出現(xiàn)的三類算符在S：表象的表示，則》二會夕―，該式中的矩陣元，其實還是粒子軌道態(tài)空間的算符。厶丿精細結(jié)構(gòu)（以自旋和軌道的相互作用為微擾）：比=l和ljm\7(7+1)7(7+1)/二0時，能級不分裂；而/H0時，們）受微擾E—分為二，分為：y=/±-o216.正常塞曼效應(yīng)：外磁場太強以致可以被忽略，￡=佛）+（加+2處）力卩;反常塞曼效應(yīng)：外磁場并不太強以致&於不可以被忽略，這時需要把H\=Hls+◎（厶+2aS：）一起作為微擾處理設(shè)縱向磁場莊恒定，而橫向磁場為小的交變場必，其頻率為V考慮一個在磁場中的角動量丿和磁矩胚。若交變場的一份能量"1/等于系統(tǒng)的兩個能級差，則引起量子躍遷，稱為磁共振。磁共振包括核磁共振、順磁共振（電子自旋共振）等，它們的原理相同，但共振頻率V不同，因而有不同的應(yīng)用范圍。本章重點在于：（1）對自旋角動量的理解和應(yīng)用，對包含泡利矩陣的公式的證明；（2）自旋單態(tài)和自旋三重態(tài)的應(yīng)用；（3）泡利方程的應(yīng)用；（4）對精細結(jié)構(gòu)、反常Zeeman效應(yīng)及磁共振中相關(guān)理論的記憶與理解（如光磁共振中的光抽運）。八、多粒子系的量子力學(xué)（全同性概念與粒子態(tài)的量子化有本質(zhì)的聯(lián)系——Weisskopf）