平面向量的分解及加、減、數(shù)乘的坐標(biāo)表示課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

6.3.2平面向量的正交分解及加、減、數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.復(fù)習(xí)引入e1e2ae1e2aO(2)(1)畫(huà)一畫(huà)，算一算分別用給定的一組基底表示同一向量(2)(1)思考：從這個(gè)問(wèn)題中，你認(rèn)為選取哪組基底對(duì)向量進(jìn)行分解比較簡(jiǎn)單？創(chuàng)設(shè)情境正交分解正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量．重力G可以分解為兩個(gè)分力：平行于斜面使木塊沿斜面下滑的力F1垂直于斜面的壓力F2探究新知

在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底，將為我們研究問(wèn)題帶來(lái)方便.思考：在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)都可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)(即它的坐標(biāo))表示．那么，如何表示直角坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)向量呢？取{i，j}作為基底，則有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi+yj

如圖，i，j是分別與x軸、y軸方向相同的單位向量，探究新知平面內(nèi)的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝（x,y）．

①其中，x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，①叫做向量a的坐標(biāo)表示．追問(wèn)：你能寫(xiě)出向量i，j，0的坐標(biāo)表示嗎？i=(1,0)j=(0,1)0=(0,0)向量的坐標(biāo)表示探究新知?jiǎng)t終點(diǎn)A的坐標(biāo)(x,y)就不是向量a的坐標(biāo)．若向量a的起點(diǎn)不是原點(diǎn)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作＝a，＝xi+yj．向量的坐標(biāo)(x,y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；終點(diǎn)A的坐標(biāo)(x,y)也就是向量

的坐標(biāo)．探究新知思考：向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)有何聯(lián)系與區(qū)別？在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作＝a，則點(diǎn)A的位置由向量a唯一確定.例1如圖，分別用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，你能求出它們的坐標(biāo)嗎？同理，b＝－2i＋3j＝（－2，3），c＝－2i－3j＝（－2，－3），

d＝2i－3j＝（2，－3）．解：a＝＋＝2i＋3j，所以a＝（2，3）．典例分析思考：已知a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，你能得出a＋b，a－b的坐標(biāo)嗎？a＋b＝（x1i＋y1j）＋（x2i＋y2j）

＝x1i＋x2i＋y1j＋y2j

＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）ja＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）a－b＝（x1－x2，y1－y2）兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）探究新知思考：已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，你能得出的坐標(biāo)嗎？＝－＝（x2，y2）－（x1，y1）

＝（x2－x1，y2－y1）一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)探究新知總結(jié)1.求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置的坐標(biāo)．2.求一個(gè)向量的坐標(biāo)時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的始點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．

實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)=用這個(gè)實(shí)數(shù)×原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)終點(diǎn)起點(diǎn)例2已知a＝(2,1)，b＝(－3，4)，求a＋b，a－b，3a＋4b坐標(biāo)。跟蹤訓(xùn)練

例3

如圖，已知□ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別是(-2,1)，(-1,3)，(3,4)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．解法1：設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)．∵＝(-1-(-2),3-1)＝(1,2)，＝(3-x,4-y)，又＝，∴(1,2)＝(3-x,4-y)．

即解得∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)．

典例分析解法2：如圖，由向量加法的平行四邊形法則可知＝＋＝(-2-(-1),1-3)＋(3-(-1),4-3)＝(3,-1)，而＝＋＝(-1,3)＋(3,-1)

＝(2,2)，所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，2)．

你能比較一下兩種解法在思想方法上的異同點(diǎn)嗎？典例分析例3

如圖，已知□ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別是(-2,1)，(-1,3)，(3,4)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．1.向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)，而與它們的具體位置無(wú)關(guān).2.當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變.3.在求一個(gè)向量