第16講基本不等式專(zhuān)題-高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題

基本不等式一、知識(shí)梳理1.基本不等式(1)基本不等式成立的條件：.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).2.幾個(gè)重要的不等式(1).(2).(3).(4).以上不等式等號(hào)成立的條件均為.3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)，，則，的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)兩者相等.4.利用基本不等式求最值問(wèn)題已知，，則(1)如果積是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值.(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值.(簡(jiǎn)記：和定積最大)5.不等式的恒成立、能成立、恰成立問(wèn)題(1)恒成立問(wèn)題：若在區(qū)間上存在最小值，則不等式在區(qū)間上恒成立?；若在區(qū)間上存在最大值，則不等式在區(qū)間上恒成立?.(2)能成立問(wèn)題：若在區(qū)間上存在最大值，則在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)x使不等式成立?；若在區(qū)間上存在最小值，則在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)x使不等式成立?(3)恰成立問(wèn)題：不等式恰在區(qū)間上成立?的解集為；不等式恰在區(qū)間上成立?的解集為.二、課前預(yù)習(xí)1.設(shè)，，且，則的最大值為.2.若，則的取值范圍是.3.當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上移動(dòng)時(shí)，函數(shù)的最小值是.4.若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值為.5.①若，則；②若，，則；③若，則.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.三、典型例題題型一利用基本不等式求最值例1(1)已知，則取得最大值時(shí)的值為.(2)已知，則的最大值為.(3)函數(shù)的最小值為.例2已知，，，則的最小值為.變式1條件不變，求的最小值.變式2已知，，，求的最小值.變式3將條件改為，求的最小值.題型二基本不等式的實(shí)際應(yīng)用例3(1)設(shè)，，均為大于1的實(shí)數(shù)，且為和的等比中項(xiàng)，則eq\f(lgz,4lgx)＋eq\f(lgz,lgy)的最小值為.(2)設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，是棱上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)，重合)，且點(diǎn)到平面，平面的距離分別為，，則的最小值是.變式(1)設(shè)，，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為.(2)某公司購(gòu)買(mǎi)一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間(單位：年)的關(guān)系為，則每臺(tái)機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤(rùn)的最大值是萬(wàn)元.題型三基本不等式的綜合應(yīng)用例4若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為.例5(1)已知，，若不等式恒成立，則的最大值為.(2)已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，恒成立，則的取值范圍是.變式北京、張家口年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會(huì)，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估.該商品原來(lái)每件售價(jià)為元，年銷(xiāo)售萬(wàn)件.(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高元，銷(xiāo)售量將相應(yīng)減少件，要使銷(xiāo)售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最高為多少元？(2)為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷(xiāo)售量，公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行技術(shù)革新和營(yíng)銷(xiāo)策略改革，并提高定價(jià)到x元，公司擬投入萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問(wèn)：當(dāng)該商品改革后的銷(xiāo)售量至少達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).四、課堂練習(xí)1.已知，，且，則下列不等式中，恒成立的序號(hào)是.①；②；③；④.2.用長(zhǎng)為的鐵絲圍成一個(gè)矩形，則所圍成的矩形的最大面積是.3.的最大值為.4.函數(shù)的最小值為.5.設(shè)正數(shù)，使成立，若，則____(填“>”“≥”“≤”或“<”).6.設(shè)，，則的取值范圍是.7.已知函數(shù)(，為非零常數(shù)).(1)解不等式；(2)設(shè)時(shí)，有最小值為，求的值.8.某地區(qū)共有戶(hù)農(nóng)民從事蔬菜種植,據(jù)調(diào)查,每戶(hù)年平均收入為萬(wàn)元.為了調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu),當(dāng)?shù)卣疀Q定動(dòng)員部分種植戶(hù)從事蔬菜加工.據(jù)估計(jì),如果能動(dòng)員戶(hù)農(nóng)民從事蔬菜加工,那么剩下從事蔬菜種植的農(nóng)民每戶(hù)年平均收入有望提高,從事蔬菜加工的農(nóng)民每戶(hù)年平均收入為萬(wàn)元.(1)在動(dòng)員戶(hù)農(nóng)民從事蔬菜加工后,要使從事蔬菜種植的農(nóng)民的年總收入不低于動(dòng)員前從事蔬菜種植的年總收入,試求的取值范圍;(2)在(1)的條件下,要使戶(hù)農(nóng)民中從事蔬菜加工農(nóng)民的年總收入始終不高于從事蔬菜種植農(nóng)民的年總收入,試求實(shí)數(shù)的最大值.五、課后練習(xí)1.若,則的最小值是.2.若,則的最小值是.3.若,滿(mǎn)足,,,則的最小值為.4.設(shè)，則的最小值是.5.已知，且滿(mǎn)足，則的取值范圍為