等差數(shù)列 完整版課件

1.數(shù)列:按照一定順排列的一列數(shù),記作{an}a1,a2,a3,…

an,…2.通項:如果數(shù)列{an}的第n項an與n的關(guān)系以用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.復(fù)習(xí)3.遞推公式:如果已知數(shù)列{an}的首項(或前幾項),且任意一項與它的前一項an-1(n>1)(或前幾項)間的關(guān)系可用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.1.某此系統(tǒng)抽樣所抽取的樣本號分別是:7,19,31,43,55,67,79,91,103,115.2.某長跑運動員7天里每天的訓(xùn)練量(單位:m)是:

7500,8000,8500,9000,10000,10500.(觀察以下數(shù)列)引入這兩個數(shù)列有何共同特征從第2項起,每一項與其前一項之差等于同一個常數(shù).請嘗試著給具有上述特征的特殊數(shù)列用數(shù)學(xué)的語言下定義交流1.等差數(shù)列如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與其前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.(1)第2項起等于同一常數(shù)(2)等差數(shù)列遞推公式:相鄰兩項,后減前探究判斷、證明一個數(shù)列a是否為等差數(shù)列的主要依據(jù)練習(xí):判斷下列數(shù)列中哪些是等差數(shù)列,哪些不是？如果是,寫出首項a1和公差d,如果不是,說明理由.2.等差數(shù)列的通項公式根據(jù)等差數(shù)列的定義得到方法一:不完全歸納法2.等差數(shù)列的通項公式將所有等式相加得方法二累加法知三求一例1:(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項.(2)-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13,…的項？如果是,是第幾項？解:⑴由a1=8,d=5-8=-3,n=20,得

a20=8+(20-1)×(-3)=-49.⑵由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得到這個數(shù)列的通項公式為an=-5-4(n-1).由題意得-401=-5-4(n-1),解這個關(guān)于n的方程,得n=100,即-401是這個數(shù)列的第100項.例2:在等差數(shù)列{an}中,已知a5=10,a12=31,求首項a1與公差d.解:由題:

a1+4d=10

a1+11d=31

a1=-2

d=3∴這個數(shù)列的首項a1是-2,公差d=3.某出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km,起步價為10元,即最初的4km(不含4千米)計費10元.如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地,且一路暢通,等候時間為0,需要支付多少車費？3．等差中項

如果a,A,b

成等差數(shù)列,那么A

叫做a

與b

的等差中項

.4.等差數(shù)列通項公式的推廣解析:由等差數(shù)列的通項公式得思考:已知等差數(shù)列{an}中,a3=9,a9=3,求a12,a3n.解法一:依題意得:

a1+2d=9

a1+8d=3解得a1=11

d=-1∴這個數(shù)列的通項公式是:an=11-(n-1)=12-n

故a12=0,a3n

=12–3n.解法二:1.等差數(shù)列{an}中,a1＋a5＝10,a4＝7,求數(shù)列{an}的公差2.在數(shù)列{an}中a1=1,an=an+1+4,則a10=

.3.等差數(shù)列{an}的前三項依次為a-6,-3a-5,-10a-1,則a等于()

A.1B.-1C.-D.5、等差數(shù)列的通項及圖象特征解析:

思考結(jié)論:首項是1,公差是2的無窮等差數(shù)列的通項公式為an＝2n-1相應(yīng)的圖象是直線y=2x-1上均勻排開的無窮多個孤立的點,如右圖例如:性質(zhì):設(shè)若則等差數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,m、n、p、q∈N+,且m+n=p+q,,則am+an=ap+aq.判斷:可推廣到三項,四項等注意:等式兩邊作和的項數(shù)必須一樣多(2)已知等差數(shù)列{an}中,a3和a15是方程x2－6x－1=0的兩個根,則a7＋a8＋a9＋a10＋a11=

(3)已知等差數(shù)列{an}中,a3＋a5=

－14,2a2＋a6=

－15,則a8=

跟蹤訓(xùn)練(1)已知等差數(shù)列{an}中,

3.更一般的情形,an=,d=小結(jié):1.{an}為等差數(shù)列2.a、b、c成等差數(shù)列an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b(k、b為常數(shù))am+(n-m)db為a、c的等差中項AA2b=a+c4.在等差數(shù)列{an}中,由m+n=p+qam+an=ap+aq注意:上面的命題的逆命題是不一定成立的；5.在等差數(shù)列{an}中a1+an

a2+an-1

a3+an-2

…===

跟蹤訓(xùn)練300<83+5×(n-1)500鞏固練習(xí)1.等差數(shù)列{an}的前三項依次為a-6,-3a-5,-10a-1,則a等于()

A.1B.-1C.-D.2.在數(shù)列{an}中a1=1,an=an+1+4,則a10=

.(-3a-5)-(a-6)=(-10a-1)-(-3a-5)提示:提示:d=an+1-an=-43.在等差數(shù)列{an}中a1=83,a4=98,則這個數(shù)列有多少項在300到500之間？-35提示:n=45,46,…,8440例4例5

已知三個數(shù)成等差數(shù)列,它們的和是12,積是48,求這三個數(shù).

解:設(shè)三個數(shù)為a-d,a,a+d,則解之得故所求三數(shù)依次為2,4,6或6,4,2例6如圖,三個正方形的邊AB,BC,CD的長組成等差數(shù)列,且AD＝21cm,這三個正方形的面積之和是179cm2.(1)求AB,BC,CD的長；(2)以AB,BC,CD的長為等差數(shù)列的前三項,以第9項為邊長的正方形的面積是多少？3,7,11a9=35S9=12255、等差數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列為等差數(shù)列,那么有性質(zhì)1:若成等差數(shù)列,則成等差數(shù)列.證明:根據(jù)等差數(shù)列的定義,即成等差數(shù)列.如成等差數(shù)列,成等差數(shù)列.推廣:在等差數(shù)列有規(guī)律地取出若干項,所得新數(shù)列仍然為等差數(shù)列.(如奇數(shù)項,項數(shù)是7的倍數(shù)的項)性質(zhì)2:設(shè)若則性質(zhì)3:設(shè)c,b

為常數(shù),若數(shù)列為等差數(shù)列,則數(shù)列及為等差數(shù)列.性質(zhì)4:設(shè)p,q

為常數(shù),若數(shù)列、均為等差數(shù)列,則數(shù)列為等差數(shù)列.例8(1)已知等差數(shù)列{an}中,a3＋a15=30,求a9,a7＋a11解:(1)∵a9是a3和a15的等差中項∴(2)已知等差數(shù)列{an}中,a3＋a4＋a5＋a6＋a7=150,求a2＋a8的值∵7+11=3+15(2)∵3+7=4+6=5+5∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7=5a5=150即a5=30故a2＋a8=2a5=60∴a7＋a11=a3＋a15=30∴a3＋a7=a4＋a6=2a5(1)等差數(shù)列{an}中,a3＋a9＋a15＋a21=8,則a12=(2)已知等差數(shù)列{an}中,a3和a15是方程x2－6x－1=0的兩個根,則a7＋a8＋a9＋a10＋a11=2

(3)已知等差數(shù)列{an}中,a3＋a5=

－14,2a2＋a6=

－15,則a8=－19

跟蹤訓(xùn)練例8解:(1)∵a9是a3和a15的