第二章第三節(jié)《函數的奇偶性與周期性》文

第三節(jié)函數的奇偶性與周期性1.結合具體函數，了解函數奇偶性的含義.2.了解函數的周期性.1.結合具體函數，了解函數奇偶性的含義.2.了解函數的周期性.3.會運用函數圖象理解和研究函數的奇偶性.知識梳理一、函數的奇偶性1．函數奇偶性的定義及簡單性質.2.若f(x)為偶函數，則f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，反之，也成立．3．若奇函數f(x)的定義域包含0，則f(0)＝0.4．判斷函數的奇偶性有時可以用定義的等價形式．在定義域關于原點對稱的情況下，(1)若f(x)－f(－x)＝0或eq\f(fx,f－x)＝1[f(－x)≠0]，則f(x)為偶函數；(2)若f(x)＋f(－x)＝0或eq\f(fx,f－x)＝－1[f(－x)≠0]，則f(x)為奇函數．5．設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×奇＝偶，奇×偶＝奇．二、函數的周期性1．周期函數定義：若T為非零常數，對于定義域內的任意x，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，則f(x)叫做________，T叫做這個函數的________．2．周期函數的性質：(1)若T是函數f(x)的一個周期，則kT(k∈Z，k≠0)也是它的一個周期；(2)f(x＋T)＝f(x)常寫作feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(T,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(T,2)))；(3)若f(x)的周期中，存在一個最小的正數，則稱它為f(x)的最小正周期；(4)若周期函數f(x)的周期為T，則f(ωx)(ω≠0)也是周期函數，且周期為eq\f(T,|ω|).一、1.f(－x)＝f(x)y軸相反f(－x)＝－f(x)原點相同二、1.周期函數一個周期基礎自測1．(2013·肇慶二模)下列函數為奇函數的是()A．y＝|sinx|B．y＝|x|C．y＝x3＋x－1D．y＝lneq\f(1＋x,1－x)解析：由|sin(－x)|＝|sinx|，得y＝|sinx|為偶函數，排除A；由|－x|＝|x|，得y＝|x|為偶函數，排除B；y＝x3＋x－1的定義域為R，但其圖象不過原點，故y＝x3＋x－1不為奇函數，排除C；由eq\f(1＋x,1－x)＞0得－1＜x＜1，所以函數y＝lneq\f(1＋x,1－x)的定義域為(－1,1)，關于原點對稱，且lneq\f(1－x,1＋x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))－1＝－lneq\f(1＋x,1－x)，故y＝lneq\f(1＋x,1－x)為奇函數，故選D.答案：D2．函數f(x)＝eq\f(1,x)＋x的圖象關于()A．y軸對稱B．直線y＝－x對稱C．坐標原點對稱D．直線y＝x對稱解析：可判斷f(x)＝eq\f(1,x)＋x為奇函數，所以圖象關于原點對稱．故選C.答案：C3．設f(x)是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f(x)＝2x－3，則f(－2)＝()A．1 B．－1 C．－eq\f(11,4) D.eq\f(11,4)答案：B4．若偶函數f(x)是以4為周期的函數，f(x)在區(qū)間[－6，－4]上是減函數，則f(x)在[0,2]上的單調性是________．解析：∵T＝4，且在[－6，－4]上單調遞減，∴函數在[－2,0]上也單調遞減．又f(x)為偶函數，故f(x)的圖象關于y軸對稱，由對稱性知f(x)在[0,2]上單調遞增．答案：單調遞增1．設函數f(x)和g(x)分別是R上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函數B．f(x)－|g(x)|是奇函數C．|f(x)|＋g(x)是偶函數D．|f(x)|－g(x)是奇函數解析：因為g(x)是R上的奇函數，所以|g(x)|是R上的偶函數，從而f(x)＋|g(x)|是偶函數．故選A.答案：A2．(2013·山東卷)已知函數f(x)為奇函數，且當x＞0時，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，則f(－1)＝()A．－2 B．0 C．1 解析：因為f(x)為奇函數，所以f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.故選A.答案：A3．(2013·江蘇卷)已知f(x)是定義在R上的奇函數．當x＞0時，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)＞x的解集用區(qū)間表示為________解析：因為f(x)是定義在R上的奇函數，所以易知x≤0時，f(x)＝－x2－4x解不等式得到f(x)＞x的解集用區(qū)間表示為(－5,0)∪(5，＋∞)．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)1．(2013·增城下學期調研)已知函數f(x)＝x－2，則()A．f(x)為偶函數且在(0，＋∞)上單調遞增B．f(x)為奇函數且在(0，＋∞)上單調遞增C．f(x)為偶函數且在(0，＋∞)上單調遞減D．f(x)為奇函數且在(0，＋∞)上單調遞增解析：f(x)＝eq\f(1,x2)，f(－x)＝eq\f(1,－x2)＝eq\f(1,x2)＝f(x)是偶函數，在(0，＋∞)單調遞減．答案：C2．(2013·溫州高三第一次質檢)已知f(x)是定義在R上是奇函數，且當x＞0時，f(x)＝ex＋a，若f(x)在R上