第二章第三節(jié)《函數(shù)的奇偶性與周期性》文

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.2.了解函數(shù)的周期性.1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.2.了解函數(shù)的周期性.3.會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性.知識梳理一、函數(shù)的奇偶性1．函數(shù)奇偶性的定義及簡單性質(zhì).2.若f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，反之，也成立．3．若奇函數(shù)f(x)的定義域包含0，則f(0)＝0.4．判斷函數(shù)的奇偶性有時可以用定義的等價形式．在定義域關(guān)于原點對稱的情況下，(1)若f(x)－f(－x)＝0或eq\f(fx,f－x)＝1[f(－x)≠0]，則f(x)為偶函數(shù)；(2)若f(x)＋f(－x)＝0或eq\f(fx,f－x)＝－1[f(－x)≠0]，則f(x)為奇函數(shù)．5．設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×奇＝偶，奇×偶＝奇．二、函數(shù)的周期性1．周期函數(shù)定義：若T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任意x，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，則f(x)叫做________，T叫做這個函數(shù)的________．2．周期函數(shù)的性質(zhì)：(1)若T是函數(shù)f(x)的一個周期，則kT(k∈Z，k≠0)也是它的一個周期；(2)f(x＋T)＝f(x)常寫作feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(T,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(T,2)))；(3)若f(x)的周期中，存在一個最小的正數(shù)，則稱它為f(x)的最小正周期；(4)若周期函數(shù)f(x)的周期為T，則f(ωx)(ω≠0)也是周期函數(shù)，且周期為eq\f(T,|ω|).一、1.f(－x)＝f(x)y軸相反f(－x)＝－f(x)原點相同二、1.周期函數(shù)一個周期基礎(chǔ)自測1．(2013·肇慶二模)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A．y＝|sinx|B．y＝|x|C．y＝x3＋x－1D．y＝lneq\f(1＋x,1－x)解析：由|sin(－x)|＝|sinx|，得y＝|sinx|為偶函數(shù)，排除A；由|－x|＝|x|，得y＝|x|為偶函數(shù)，排除B；y＝x3＋x－1的定義域為R，但其圖象不過原點，故y＝x3＋x－1不為奇函數(shù)，排除C；由eq\f(1＋x,1－x)＞0得－1＜x＜1，所以函數(shù)y＝lneq\f(1＋x,1－x)的定義域為(－1,1)，關(guān)于原點對稱，且lneq\f(1－x,1＋x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))－1＝－lneq\f(1＋x,1－x)，故y＝lneq\f(1＋x,1－x)為奇函數(shù)，故選D.答案：D2．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)＋x的圖象關(guān)于()A．y軸對稱B．直線y＝－x對稱C．坐標(biāo)原點對稱D．直線y＝x對稱解析：可判斷f(x)＝eq\f(1,x)＋x為奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點對稱．故選C.答案：C3．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f(x)＝2x－3，則f(－2)＝()A．1 B．－1 C．－eq\f(11,4) D.eq\f(11,4)答案：B4．若偶函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù)，f(x)在區(qū)間[－6，－4]上是減函數(shù)，則f(x)在[0,2]上的單調(diào)性是________．解析：∵T＝4，且在[－6，－4]上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在[－2,0]上也單調(diào)遞減．又f(x)為偶函數(shù)，故f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，由對稱性知f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增．答案：單調(diào)遞增1．設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù)B．f(x)－|g(x)|是奇函數(shù)C．|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù)D．|f(x)|－g(x)是奇函數(shù)解析：因為g(x)是R上的奇函數(shù)，所以|g(x)|是R上的偶函數(shù)，從而f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù)．故選A.答案：A2．(2013·山東卷)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，則f(－1)＝()A．－2 B．0 C．1 解析：因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.故選A.答案：A3．(2013·江蘇卷)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)x＞0時，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)＞x的解集用區(qū)間表示為________解析：因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以易知x≤0時，f(x)＝－x2－4x解不等式得到f(x)＞x的解集用區(qū)間表示為(－5,0)∪(5，＋∞)．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)1．(2013·增城下學(xué)期調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝x－2，則()A．f(x)為偶函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增B．f(x)為奇函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增C．f(x)為偶函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減D．f(x)為奇函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增解析：f(x)＝eq\f(1,x2)，f(－x)＝eq\f(1,－x2)＝eq\f(1,x2)＝f(x)是偶函數(shù)，在(0，＋∞)單調(diào)遞減．答案：C2．(2013·溫州高三第一次質(zhì)檢)已知f(x)是定義在R上是奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f(x)＝ex＋a，若f(x)在R上