高等數(shù)學(xué)第二章 隱函數(shù)與參量函數(shù)微分法

隱函數(shù)與參量函數(shù)微分法一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義:隱函數(shù)的顯化問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則:用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).兩邊對x求導(dǎo)，當(dāng)遇到y(tǒng)

的函數(shù)f(y)時將求出的這些導(dǎo)數(shù)代入得到關(guān)于的代數(shù)方程，至于隱函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)，與上同理例1解解得例2解所求切線方程為顯然通過原點.例3解補證反函數(shù)的求導(dǎo)法則由隱函數(shù)的微分法則例4解例5求證拋物線上任一點的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和等于a證故曲線上任一點處切線的斜率為切線方程為故在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為二、對數(shù)求導(dǎo)法有時會遇到這樣的情形，即雖然給出的是顯函數(shù)但直接求導(dǎo)有困難或很麻煩觀察函數(shù)方法:先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).——目的是利用對數(shù)的性質(zhì)簡化求導(dǎo)運算。--------對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍:例6解等式兩邊取對數(shù)得例7解這函數(shù)的定義域兩邊取對數(shù)得兩邊對x求導(dǎo)得兩邊取對數(shù)得兩邊對x求導(dǎo)得同理例8解兩邊取對數(shù)得兩邊對x求導(dǎo)得例9解兩邊取對數(shù)得兩邊對x求導(dǎo)得例10解等式兩邊取對數(shù)得一般地三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如消去參數(shù)問題:消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?——參量函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得容易漏掉例11解所求切線方程為例12證例13設(shè)曲線Γ由極坐標(biāo)方程r=r(θ)所確定，試求該曲線上任一點的切線斜率，并寫出過對數(shù)螺線上點處的切線的直角坐標(biāo)方程解由極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的變換關(guān)系知切線斜率為故切線的直角坐標(biāo)方程為例14解四、相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題:已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?例15解4000m水面上升之速率五、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則:直接對方程兩邊求導(dǎo);對數(shù)求導(dǎo)法:對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo);參數(shù)方程求導(dǎo):實質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;相關(guān)變化率:通過函數(shù)關(guān)系確定兩個相互依賴的變