概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考研輔導(dǎo)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考研輔導(dǎo)一、隨機(jī)事件與概率考試內(nèi)容隨機(jī)事件與樣本空間事件的關(guān)系與運(yùn)算完備事件組概率的概念概率的基本性質(zhì)古典型概率幾何型概率條件概率概率的基本公式事件的獨(dú)立性獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1.試驗(yàn)：為了研究隨機(jī)現(xiàn)象,就要對(duì)客觀事物進(jìn)行觀察.觀察的過程稱為試驗(yàn).特點(diǎn):在相同的條件下試驗(yàn)可以重復(fù)進(jìn)行;每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性,而且在試驗(yàn)之前可以明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;在每次試驗(yàn)之前不能準(zhǔn)確地預(yù)言該次試驗(yàn)將出現(xiàn)哪一種結(jié)果.（一）隨機(jī)實(shí)驗(yàn)和隨機(jī)事件

給定一個(gè)試驗(yàn),所有可能的結(jié)果的全體構(gòu)成一個(gè)集合,這個(gè)集合稱作樣本空間,用大寫的希臘字母表示,這個(gè)樣本空間中的每一個(gè)元素也稱作此樣本空間的一個(gè)樣本點(diǎn),可以用小寫的希臘字母表示.

2.樣本空間試驗(yàn)和樣本空間的例子1)擲一次硬幣為一個(gè)試驗(yàn),則有兩個(gè)可能的試驗(yàn)結(jié)果,正面和反面,則

={正面,反面}2)擲一次骰子為一個(gè)試驗(yàn),則有六個(gè)可能的試驗(yàn)結(jié)果,1點(diǎn),2點(diǎn),3點(diǎn),4點(diǎn),5點(diǎn)和6點(diǎn),因此樣本空間為={1點(diǎn),2點(diǎn),3點(diǎn),4點(diǎn),5點(diǎn),6點(diǎn)}3)擲兩次硬幣作為一次試驗(yàn),將兩次試驗(yàn)結(jié)果排序,則共有四種可能的結(jié)果:(反,反),(反,正),(正,反),(正,正)因此樣本空間

={(反,反),(反,正),(正,反),(正,正)}4)擲兩次骰子作為一次試驗(yàn),將兩次試驗(yàn)結(jié)果排序,則共有36種可能的結(jié)果:={(x,y)|x,y=1,2,3,4,5,6}={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

例如,擲兩次硬幣這個(gè)試驗(yàn),事件A=“至少一次正面朝上”包括三個(gè)樣本點(diǎn)(正,反),(反正),(正正).也可以表示為

A={(正,反),(反,正),(正正)}3.隨機(jī)事件事件就是樣本空間的子集,或者說事件就是試驗(yàn)結(jié)果的集合,通常用大寫英文字母A,B,C,…等表示.

擲兩次骰子的試驗(yàn),事件B=“兩次點(diǎn)數(shù)相同”,則B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}幾個(gè)特殊的事件基本事件:只包括一個(gè)樣本點(diǎn),或者說一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的事件稱為基本事件.必然事件:包括整個(gè)樣本空間的所有元素的事件,或者就用表示,則每次試驗(yàn)必然發(fā)生,因此稱為必然事件.不可能事件:不包括任何元素的空集,即每次試驗(yàn)一定不會(huì)發(fā)生,稱為不可能事件,用表示,則={}.(1)事件的包含：BA或AB(2)事件的相等：A=B4.事件間的關(guān)系及其運(yùn)算易知A+

=A+=A(3)事件的并(和)：A+B

或AB(4)事件的交(積)：AB或AB即A、B中至少有一個(gè)發(fā)生.易知A

=AA=即A、B同時(shí)發(fā)生.(5)對(duì)立事件(6)事件的差A(yù)B對(duì)立事件一定互不相容,但互不相容,事件未必對(duì)立.(7)互不相容事件AB=

若事件A1,A2,…,An為兩兩互不相容事件,并且A1+A2+…+An=,稱構(gòu)成一個(gè)完備事件組或構(gòu)成一個(gè)劃分.最常用的完備事件組是某事件A與它的對(duì)立事件(8)完備事件組事件的運(yùn)算律交換律：結(jié)合律：分配律：德.摩根律：（二）事件的概率及其性質(zhì)1.概率的統(tǒng)計(jì)定義：頻率的穩(wěn)定值

在不變的條件下,重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn),事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地某一常數(shù)p附近擺動(dòng),且一般說來,

n越大,擺動(dòng)幅度越小,則稱常數(shù)p為事件A的概率,

記作P(A).P(A)滿足下列條件：(3)可列可加性2.事件的性質(zhì)：(2)如果BA,則P(B－A)=P(B)－P(A)(3)P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)廣義加法法則若A與B互斥，則P(A＋B)=P(A)+P(B)推廣為有限可加性P(A)=1－P(A)3.概率公式乘法法則

P(AB)=P(A)P(B|A) (若P(A)>0)

P(AB)=P(B)P(A|B) (若P(B)>0)(P(A)>0)(1)條件概率公式P(A1A2…An)=P(A)P(A2|A1)P(A3|A1A2)… …P(An|A1A2…An-1)推廣:事件的獨(dú)立性若P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A和B是獨(dú)立的.P(B|A)=P(B)或P(A|B)=P(A)A、B相互獨(dú)立,則即一個(gè)事件的發(fā)生，不影響另一個(gè)事件的發(fā)生若相互獨(dú)立，則(2)

全概率公式全概率定理

如果事件A1,A2,…構(gòu)成一個(gè)完備事件組,并且都具有正概率,則對(duì)任意一事件B有

事件B的面積為B與各個(gè)事件Ai相交的面積之和.全概率定理的圖形理解A1A2A3A4B

從試驗(yàn)的角度考慮問題,一定是將試驗(yàn)分為兩步做,將第一步試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果分為完備事件組A1,A2,…,An,

然后在這每一事件下計(jì)算或給出某個(gè)事件B發(fā)生的條件概率,最后用全概率公式.試驗(yàn)1試驗(yàn)2…A1A2AnB全概率定理解題的思路（3）逆概公式（貝葉斯公式）貝葉斯定理若A1,A2,…,構(gòu)成一個(gè)完備事件組,并且它們都具有正概率,則對(duì)于任何一個(gè)概率不為零的事件B,有貝葉斯公式是信息論中的一個(gè)重要公式

貝葉斯定理解題的題型與全概率定理的題型完全一樣,不過所求的是一個(gè)條件概率,即在二次試驗(yàn)后,觀察者只能看到最后的結(jié)果事件B,卻要根據(jù)結(jié)果來推斷第一步試驗(yàn)的哪個(gè)事件發(fā)生了的條件概率.A1試驗(yàn)1試驗(yàn)2…A2AnB觀察者貝葉斯定理解題的思路（三）幾種常見的概型1.等可能概型（古典概型）2.幾何概型(概率的幾何意義)P(A)=A中基本事件數(shù)

中基本事件總數(shù)

樣本空間只包含有限個(gè)樣本點(diǎn)（基本事件）且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同.

樣本空間為幾何空間中的一個(gè)有界區(qū)域(可為多維),且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同.P(A)=A的度量(長度,面積或體積）

的度量(長度,面積或體積）3.伯努利概型（1）定義只考慮兩個(gè)對(duì)立的結(jié)果A(成功)和(失敗)的試驗(yàn)稱為伯努利概型或伯努利試驗(yàn).將其獨(dú)立重復(fù)n次就稱為一個(gè)n重伯努利試驗(yàn)（概型）,簡(jiǎn)稱伯努利概型.（2）伯努利概型（二項(xiàng)概率）的計(jì)算公式設(shè)P(A)=p,則n次試驗(yàn)中A發(fā)生k次的概率為例若每次擊中概率為p=0.8,則5次射擊中有3次擊中的概率為考點(diǎn)與例題分析考點(diǎn)一事件的表示和運(yùn)算

事件是樣本空間的子集,要正確理解樣本空間和事件間的關(guān)系.

注意事件間的運(yùn)算與集合運(yùn)算相對(duì)應(yīng),切忌與數(shù)的運(yùn)算相混淆.例1

從一批產(chǎn)品中每次取出一個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)(每次取出的產(chǎn)品不放回),事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3).試用事件的運(yùn)算符號(hào)表示下列事件:三次都取到了合格品;三次中至少有一次取到合格品;三次中恰有兩次取到合格品;三次中最多有一次取到合格品.三次全取到合格品:A1A2A3三次中至少有一次取到合格品:A1+A2+A3三次中恰有兩次取到合格品:三次中至多有一次取到合格品:解表示該射手第i次射擊時(shí)擊中目標(biāo)(i=1,2,3).

例2

一名射手連續(xù)向某個(gè)目標(biāo)射擊三次，事件Ai試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录?解A={x|x20}；B={x|x>3}；C={x|x<9}; D={x|x<-5}；E={x|x9}.例3如果x表示一個(gè)沿?cái)?shù)軸做隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的位置,試說明下列各事件的關(guān)系.解由圖可見ACD,BED與B,D與E互不相容C與E為對(duì)立事件,B與C,

B與A,E與A相容,顯然A與C,A與D,C與D,B與E也是相容的.例4(1992年研究生入學(xué)考試題)求事件A,B,C全不發(fā)生的概率.考點(diǎn)二：概率的性質(zhì)、事件間的關(guān)系和運(yùn)算解由已知得:例5(1990年研究生入學(xué)考試題)（熟記）(A)0.4;(B)0.6;(C)0.7;(D)0.8;(E)0.9例6(1998年MBA試題)解C根據(jù)德.摩根定理例7(1993年考研題,3分)一批產(chǎn)品有10個(gè)正品和2個(gè)次品,任意抽取兩次,每次抽一個(gè),抽出后不放回,則第二次抽出的是次品的概率為_2/12._解因共有50個(gè)乒乓球,20個(gè)黃球,因此答案是2/5.例8(1997年考研題,3分)袋中有50個(gè)乒乓球,其中20個(gè)是黃球,30個(gè)是白球.今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球,取后不放回,則第2個(gè)人取得黃球的概率是____.解考點(diǎn)三：古典概型與幾何概型例9

在線段AD上任取兩點(diǎn)B、C，在B、C處折斷而得三條直線段，求D:“這三條線段能構(gòu)成三角形”的概率分析所求概率與三條線段的長度有關(guān)，但由于總長度是確定的，從而等可能自由取值的線段只有兩條，于是問題歸結(jié)為平面上的幾何概型.解設(shè)AD長為l，折斷后的第一條線段長x,第二段長為y,則第三段長為l-x-y,于是樣本空間為因三角形兩邊之和大于第三邊，故由圖，的面積D的面積故D解應(yīng)選(A),例10(00403)設(shè)A,B,C三個(gè)事件兩兩獨(dú)立,則A,B,C相互獨(dú)立的充分必要條件是

(A)A與BC獨(dú)立;(B)AB與AC獨(dú)立

(C)AB與AC獨(dú)立;(D)AB與AC獨(dú)立因?yàn)镻(ABC)=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C)

其余三個(gè)條件推不出上式.考點(diǎn)四：條件概率與積事件概率的計(jì)算以及事件的獨(dú)立性注意多個(gè)事件:相互獨(dú)立兩兩獨(dú)立例11(99103)設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件A、B和C且已知P(ABC)=

則P(A)=_______.滿足條件：ABC=,P(A)=P(B)=P(C)<解P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)

－P(AC)－P(BC)+P(ABC)=3P(A)-3P2(A)=9/16.解得P(A)=3/4或P(A)=1/4,但P(A)<1/2,故應(yīng)填1/4.

1/4例12(1998MBA試題)5人以摸彩方式?jīng)Q定誰得1張電影票.今設(shè)Ai表示第i人摸到(i=1,2,3,4,5),則下列結(jié)果中有一個(gè)不正確,它是()解摸彩即是做5張彩票,其中1張寫“有”,其余4張寫“無”，則P(A3|A1A2)是指在前兩個(gè)人沒有抽到條件下第3個(gè)人抽到的事件,則第3個(gè)人抽時(shí)只有三張彩票,則抽中的條件概率當(dāng)然是1/3.因此選項(xiàng)(A)正確.因此選項(xiàng)(C)不正確,答案為(C)此外,每個(gè)人抽中的無條件概率顯然是1/5,

因此選項(xiàng)(D)正確.選項(xiàng)(B)和(E)可由乘法法則求得為例13已知0<P(B)<1,P[(A1+A2)B]=P(A1B)+P(A2

B),則下列選項(xiàng)成立的是()解(0<P(B)<1)B例14(1999年MBA試題)甲盒內(nèi)有紅球4只,黑球2只,白球2只;乙盒內(nèi)有紅球5只,黑球3只;丙盒內(nèi)有黑球2只,白球2只,從這3只盒的任意一只中取出1只球,它是紅球的概率是()(A)0.5626 (B)0.5 (C)0.45(D)0.375 (E)0.225解假設(shè)A1，A2，A3為取到甲,乙,丙盒的事件,這是第一步試驗(yàn)的各事件,構(gòu)成完備事件組.假設(shè)B為最后取出的是紅球的事件.考點(diǎn)五：全概公式和貝葉斯公式則由全概公式，得例15假定某工廠甲乙丙3個(gè)車間生產(chǎn)同一種螺釘,產(chǎn)量依次占全廠的45%,35%,20%.如果各車間的次品率依次為4%,2%,5%.現(xiàn)在從待出廠產(chǎn)品中檢查出1個(gè)次品,試判斷它是由甲車間生產(chǎn)的概率.解設(shè)事件B表示"產(chǎn)品為次品",A1,A2,A3分別表示"產(chǎn)品為甲,乙,丙車間生產(chǎn)的",顯然,A1,A2,A3構(gòu)成一完備事件組.依題意,有

P(A1)=45% P(A2)=35% P(A3)=20%P(B|A1)=4% P(B|A2)=2% P(B|A3)=5%則由貝葉斯公式得例16

某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),則此人4次射擊命中二次，且是連中的概率為()A考點(diǎn)六：伯努利試驗(yàn)例17假設(shè)一工廠生產(chǎn)的每臺(tái)儀器以概率0.7可以直接出廠，以概率0.3需進(jìn)一步測(cè)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品不可以出廠，現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n臺(tái)儀器（假設(shè)生產(chǎn)過程相互獨(dú)立），求恰好有k臺(tái)能出廠的概率.分析

n臺(tái)儀器可看作做了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，而每次試驗(yàn)的結(jié)果為：儀器能出廠（“成功”）與不能出廠（“失敗”），關(guān)鍵在求“成功”發(fā)生的概率，然后代二項(xiàng)概率計(jì)算公式.解設(shè)A={需調(diào)試}，B={能出廠}，則于是1.(01403)

對(duì)于任意二事件A和B,與AB=B不等價(jià)的是()答案:應(yīng)選(D)考研題與練習(xí)題

2.(考研000303)在電爐上安裝了4個(gè)溫控器,其顯示溫度的誤差是隨機(jī)的.在使用過程中,只要有兩個(gè)溫控器顯示的溫度不低于臨界溫度t0,電爐就斷電.以E表示事件“電爐斷電”,而T(1)T(2)T(3)T(4)為四個(gè)溫控器顯示的按遞增順序排列的溫度值,則事件E等于().

(A){T(1)t0}(B){T(2)t0}(C){T(3)t0}

(D){T(4)t0}答案:應(yīng)選(C),這是因?yàn)楫?dāng)T(3)t0時(shí)就至少有T(3),T(4)兩個(gè)溫控器顯示的溫度不低于臨界溫度值t0了.解設(shè)Ai為甲在第i回合發(fā)(回)球成功的事件,Bi為乙在第i回合回球成功的事件(i=1,2),A為兩個(gè)回合中乙輸?shù)粢环值氖录?則3.(1998MBA試題)甲乙兩選手進(jìn)行乒乓球單打比賽,甲發(fā)球成功