高等量子力學(xué)第一章希爾伯特空間

高等量子力學(xué)第一章希爾伯特空間第1頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四§1矢量空間§1-1定義§1-2正交性和模§1-3基矢§1-4子空間§1-5右矢和左矢主要內(nèi)容：第2頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四§1-1矢量空間的定義我們討論的對象是很廣泛的，可以是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，可以是有序的一組數(shù)，可以是有方向的線段，也可以是一種抽象的東西。我們把這些通稱之為數(shù)學(xué)對象。同類的許多數(shù)學(xué)對象滿足下面所述的一系列要求時(shí)，就構(gòu)成一個(gè)矢量空間；每一個(gè)對象稱為空間的一個(gè)元，或稱為矢量。第3頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四加法規(guī)則視不同對象可以不同，但一定要滿足下列四個(gè)條件：第4頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四α是實(shí)數(shù)時(shí)，空間稱為在實(shí)數(shù)域上的矢量空間；α是復(fù)數(shù)時(shí)，空間稱為在復(fù)數(shù)域上的矢量空間。數(shù)乘要滿足下列四個(gè)條件：

第5頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四

在實(shí)數(shù)域（復(fù)數(shù)域）上的矢量空間中的內(nèi)積，所得的也是實(shí)數(shù)（復(fù)數(shù)）。內(nèi)積與兩個(gè)因子的次序有關(guān)，內(nèi)積規(guī)則要滿足下列四個(gè)條件：第6頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四在量子力學(xué)中所用到的空間，就是復(fù)數(shù)域上的希爾伯特空間。

第7頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四下面我們舉出矢量空間的一些簡單性質(zhì)。（1）在矢量空間中，零矢量是唯一的。第8頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四（2）每個(gè)矢量的逆元是唯一的。第9頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四第10頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四第11頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四下面，討論幾個(gè)矢量空間的例子。值得注意的是在這個(gè)空間中，有的序列的極限超出這一空間之外。例如取以下序列：這個(gè)序列的每一項(xiàng)都在我們的空間中，但是當(dāng)?shù)臉O限是e=2.7182818…,這是一個(gè)無理數(shù)，不在有理數(shù)空間中。

第一個(gè)例子取數(shù)學(xué)對象為所有正負(fù)有理數(shù)和零，規(guī)定加法即為算術(shù)中的加法；規(guī)定數(shù)乘中的數(shù)a也限于所有的有理數(shù)，數(shù)乘即是算術(shù)中的乘法；最后規(guī)定內(nèi)積為兩個(gè)因子的算術(shù)乘積。這是一個(gè)在有理數(shù)域上的矢量空間。因?yàn)橛欣頂?shù)相加和相乘所得的都是有理數(shù)，這個(gè)空間是封閉的，即所得結(jié)果仍在空間之中。第12頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四

第二個(gè)例子取數(shù)學(xué)對象為三維位形空間中由一點(diǎn)引出的不同方向不同長短的線段的全體，即理論力學(xué)中位置矢量全體。規(guī)定加法服從平行四邊形法則；數(shù)乘中的數(shù)是實(shí)數(shù)，以a數(shù)乘的結(jié)果是方向不變，長度乘以a；內(nèi)積是兩矢量的點(diǎn)乘積。這是一個(gè)實(shí)數(shù)域上的內(nèi)積空間。第13頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四第三個(gè)例子取數(shù)學(xué)對象為一組有次序的復(fù)數(shù)，例如四個(gè)數(shù)，可以把它們寫成一個(gè)一列矩陣：加法，數(shù)乘和內(nèi)積的定義分別為這是一個(gè)復(fù)數(shù)域上的內(nèi)積空間。如果內(nèi)積定義為：4*43*32*21*1),(mlmlmlmlml+4+3+2=空間是否仍然是一個(gè)內(nèi)積空間？第14頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四這樣的函數(shù)全體構(gòu)成一個(gè)內(nèi)積空間，平方可積的意思是第15頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四§1-2正交性和模下面我們證明兩個(gè)與模有關(guān)的基本關(guān)系。第16頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四Schwartz不等式：

（1.1）證明：

即第17頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四三角形不等式：

（1.2）于是得第18頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四§1-3基矢線性無關(guān)

(1.3)對于無窮個(gè)矢量的集合，線性無關(guān)的定義可以推廣為：在無窮個(gè)矢量的集合中，若任意有限的子集合都是線性無關(guān)的，則整個(gè)集合就是線性無關(guān)的。第19頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四第20頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四定理：

在有限維空間內(nèi)各種不同的完全集中所含矢量的數(shù)目是相同的。證明：

第21頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四仍將是線性無關(guān)的。（1.4）第22頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四（1.4）第23頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四于是我們證明了只有一個(gè)可能，即m=n.因此，每一個(gè)有限維矢量空間中各種不同完全集所含矢量的數(shù)目是相同的，這個(gè)數(shù)目稱為矢量空間的維數(shù)。第24頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四2、基矢正交歸一的完全集稱為這個(gè)空間的一個(gè)基矢組，或一組基矢。當(dāng)然一個(gè)空間可有不同的多組基矢。，i,j=

1,2,…,n

Schmidt正交化方法：一個(gè)矢量空間，只要知道它的一個(gè)完全集總可以找到一組基矢。（1.5）第25頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四由此得第26頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四而下面，我們給出一個(gè)關(guān)于基矢的重要定理。第27頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四第28頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四于是得這就是（2）。第29頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四證明了（1）與（2）等價(jià)之后，下面按（2）、（3）、（4）、（2）的次序，分別證明前者是后者的充分條件，從而證明這四個(gè)命題是等價(jià)的。第30頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四由（2）到（3）：根據(jù)（2）將分別寫為，

于是這正是（3）。第31頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四第32頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四對此矢量應(yīng)用（4），有但根據(jù)（3），右絕對值號內(nèi)的差式為零，因此知左方我們所構(gòu)造的矢量式為零，即這正是（2）。由此證明了（2）、（3）、（4）三者等價(jià)。第33頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四又如在四維一列矩陣中，下列四個(gè)基矢是最簡單的基矢：第34頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四§1-4子空間一個(gè)矢量空間R，若其中一個(gè)矢量的集合S在原空間的運(yùn)算定義下又構(gòu)成一個(gè)矢量空間，那么S稱為R的子空間。原來的空間R相對于子空間來說，稱為大空間。子空間的維數(shù)小于或等于大空間的維數(shù)；當(dāng)二者維數(shù)相等時(shí)，子空間就是大空間本身。大空間中與子空間S中所有矢量都正交的那些矢量全體，又構(gòu)成一個(gè)矢量空間，這矢量空間也是大空間一個(gè)子空間。這個(gè)空間又稱為子空間S的補(bǔ)空間。子空間S中任意矢量同其補(bǔ)空間中任意矢量都是正交的。一個(gè)子空間同它的補(bǔ)空間只有一個(gè)共同的元，那就是零矢量。設(shè)大空間的維數(shù)是n，它的一個(gè)子空間S的維數(shù)是s，則S的補(bǔ)空間的維數(shù)是n－s。第35頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四第3節(jié)第36頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四§1-5右矢和左矢而對于左因子則是反線性的：由此可見，同一個(gè)矢量，作為右因子和作為左因子,其地位是不同的。第37頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四為了系統(tǒng)地這樣做，必須重新作一些定義。我們已經(jīng)有一個(gè)矢量空間，在其中定義了矢量的加法、數(shù)乘和內(nèi)積三種運(yùn)算，這個(gè)空間仍然有效。我們把這樣的空間稱為單一空間?，F(xiàn)在比照這個(gè)空間再建立以下兩個(gè)空間。第38頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四第39頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四第40頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四第41頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四并且規(guī)定，內(nèi)積的運(yùn)算應(yīng)該滿足下列四個(gè)條件：條件（9）：條件（10）：條件（11）：條件（12）：第42頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四我們看到，在新建的兩個(gè)矢量空間中，左矢空間中的事情不能隨意去規(guī)定，需要同右矢空間的事情相互協(xié)調(diào)，而內(nèi)積的四個(gè)條件就是聯(lián)系這兩個(gè)空間的橋梁。由此又可以證明，若對任意右矢成立，則必有根據(jù)這些，我們證明兩條定理：第43頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四證明：

由條件的第二式有定理得證。第44頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四證明：

取此式兩邊的復(fù)共軛：即第45頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四這兩條定理建立了左矢空間與右矢空間的對應(yīng)關(guān)系，也就是在左矢空間中建立了與右矢空間的運(yùn)算規(guī)則相協(xié)調(diào)的運(yùn)算規(guī)則。至此，我們新建立的左矢空間成為一個(gè)完全確定的（即有明確加法與數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則的）矢量空間。（1.9）左矢空間和右矢空間是互為對偶的空間，這兩個(gè)空間合在一起是與單一空間等價(jià)的。我們剛剛建立起來的兩個(gè)對偶的空間并不比單一空間多什么，只是同一內(nèi)容改變一個(gè)表現(xiàn)方式而已?；虻?6頁，共49頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)42分，星期四現(xiàn)在我們有了兩套數(shù)學(xué)工具可供量子力學(xué)選用，