非線性控制系統(tǒng)

第八章非線性控制系統(tǒng)概述非線性系統(tǒng)特點數(shù)學(xué)模型非線性微分方程穩(wěn)定性與系統(tǒng)的輸入信號和初始條件有關(guān)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與系統(tǒng)初始狀態(tài)有關(guān)極限環(huán)（自激振蕩）頻率響應(yīng)跳躍諧振、多值相應(yīng)、倍頻現(xiàn)象、分頻震蕩、頻率捕捉（跟蹤）現(xiàn)象1第八章非線性控制系統(tǒng)常用的非線性系統(tǒng)研究方法相平面法描述函數(shù)法目前非線性控制系統(tǒng)的綜合與設(shè)計的主要方法基于李雅普諾夫方法的綜合與設(shè)計方法變結(jié)構(gòu)控制微分幾何控制理論混沌理論及混沌控制2第八章非線性控制系統(tǒng)典型非線性環(huán)節(jié)飽和非線性死區(qū)非線性3摩擦非線性（靜摩擦力）典型非線性環(huán)節(jié)第八章非線性控制系統(tǒng)間隙非線性4第八章非線性控制系統(tǒng)繼電器型非線性理想繼電器具有死區(qū)繼電器5第八章非線性控制系統(tǒng)繼電器型非線性具有滯環(huán)繼電器具有死區(qū)與滯環(huán)繼電器6第八章非線性控制系統(tǒng)相平面法

H.Poincare提出的一種用圖解法求解一階、二階常系數(shù)微分方程的方法

由于非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解十分困難，運用相平面法，回避直接求解非線性狀態(tài)方程，利用圖解法找出系統(tǒng)狀態(tài)變化的規(guī)律。

狀態(tài)軌跡上的一個點表示狀態(tài)變量的一組值，即對應(yīng)于系統(tǒng)的運動狀態(tài)，所以整條狀態(tài)軌跡則形象和全面地描述了整個系統(tǒng)的運動狀態(tài)。

利用相平面法可以明顯地看到系統(tǒng)在任何可能的初始條件下的全部解。7第八章非線性控制系統(tǒng)相平面、相軌跡和相平面圖設(shè)描述二階自由系統(tǒng)的常系數(shù)微分方程為

該系統(tǒng)的時間解可用x(t)和t的關(guān)系圖表示，也可以用時間t為參變量，然后用的關(guān)系圖表示。

以兩個相變量和張成的二維狀態(tài)空間（狀態(tài)平面）稱為相平面（1）8第八章非線性控制系統(tǒng)

在相平面上，系統(tǒng)的每一個狀態(tài)相應(yīng)于該平面上的一個點。

當時間t變化時，該點在相平面上描繪出的曲線，即狀態(tài)的變化軌線，稱為相軌跡。在相軌跡上用箭頭表示時間增大的方向。

如果以各種可能的初始狀態(tài)為初始點，則可得到一族相軌跡，這種相軌跡曲線稱之為相平面圖。9第八章非線性控制系統(tǒng)相軌跡性質(zhì)相軌跡的斜率由于即故所以相軌跡的斜率10第八章非線性控制系統(tǒng)相平面圖的奇點（平衡點）如果某一狀態(tài)點，使上述相軌跡的斜率方程為斜率不定有無數(shù)條相軌跡在該點相交凡是使上述方程成立的狀態(tài)點稱為奇點，即平衡點或平衡狀態(tài)11第八章非線性控制系統(tǒng)相平面圖的對稱性相軌跡的運動方向

在相平面的上半平面，由于即x隨時間t的增加而增大，狀態(tài)點沿相軌跡朝x軸的正方向運動

在相平面的下半平面，由于即x隨時間t的增加而減少，狀態(tài)點沿相軌跡朝x軸的負方向運動相軌跡垂直穿過x軸奇點就是多條或無數(shù)條相軌跡的起點或終點

二階系統(tǒng)的每一條相軌跡表示系統(tǒng)在給定初始狀態(tài)下系統(tǒng)運動的動態(tài)特性在某些情況下相平面圖對稱于x軸、軸和原點12第八章非線性控制系統(tǒng)起點起點終點13第八章非線性控制系統(tǒng)相平面圖的作圖方法解析法圖解法等傾線法δ法（圓弧近似法）14第八章非線性控制系統(tǒng)相平面圖的分析由相平面圖求時間解按平均速度求時間信息Δt平均速度時間增量15第八章非線性控制系統(tǒng)解析法求時間信息因為所以故有16第八章非線性控制系統(tǒng)奇點與極限環(huán)奇點概念如果在某一狀態(tài)點處，存在則此系統(tǒng)不存在唯一解，稱該狀態(tài)為奇點。

研究奇點的定義及奇點坐標的求法，進一步研究系統(tǒng)在奇點附近的運動規(guī)律以及相軌跡的形狀，并按奇點附近相軌跡的特征對它進行分類。再引入“特殊的奇點”奇線和極限環(huán)的概念。17第八章非線性控制系統(tǒng)

對一個非線性二階系統(tǒng)而言，搞清楚系統(tǒng)在奇點附近相軌跡的形狀，將有利于估計整個相平面的相軌跡的大致形狀，可定性地把握有關(guān)二階系統(tǒng)自由運動規(guī)律的全部信息。

一般講來，可把相變量視為位移，則和可理解為速度和加速度，則奇點可理解為系統(tǒng)的速度和加速度均為零，故奇點就是系統(tǒng)的平衡點。

在相平面內(nèi)，凡使系統(tǒng)的兩個相變量的導(dǎo)數(shù)都為零的狀態(tài)點，即為平衡點，即對所有的時間t，均有：

則對應(yīng)的狀態(tài)點稱為系統(tǒng)的平衡點或系統(tǒng)的平衡狀態(tài)18第八章非線性控制系統(tǒng)平衡點坐標的確定由系統(tǒng)平衡點的定義，知所以二階系統(tǒng)的平衡點在相平面的縱坐標為故對于二階系統(tǒng)，令其中的解出的值就是系統(tǒng)平衡點在相平面內(nèi)的橫坐標19第八章非線性控制系統(tǒng)平衡點的分類非線性系統(tǒng)的線性化模型因為則系統(tǒng)的平衡點為當是非線性函數(shù)時，若它滿足線性化的條件，應(yīng)用泰勒級數(shù)，并略去高階無窮小，則可得線性化增量函數(shù)為所以20第八章非線性控制系統(tǒng)令則線性化方程為若令上述方程中則線性化模型的平衡點為注意：非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，在非線性方程的坐標系中坐標為而在線性增量模型的新坐標系中坐標為。21第八章非線性控制系統(tǒng)分類

討論系統(tǒng)平衡點的分類，并在相平面上畫出平衡點附近的相軌跡，可以估計整個相平面的相軌跡的大致信息。線性化處理后的二階線性微分方程其特征方程為

特征方程的兩個根和在復(fù)平面內(nèi)的分布位置不同，確定了平衡點的類型和二階線性微分方程解的性質(zhì)。22第八章非線性控制系統(tǒng)

和

均為負實數(shù)系統(tǒng)的平衡點為穩(wěn)定節(jié)點23第八章非線性控制系統(tǒng)

和

均為正實數(shù)系統(tǒng)的平衡點為不穩(wěn)定節(jié)點24第八章非線性控制系統(tǒng)

和

為實部為負的共軛復(fù)數(shù)系統(tǒng)的平衡點為穩(wěn)定焦點25第八章非線性控制系統(tǒng)

和

為實部為零的共軛復(fù)數(shù)系統(tǒng)的平衡點為中心點26第八章非線性控制系統(tǒng)

和為實部為正數(shù)的共軛復(fù)數(shù)系統(tǒng)的平衡點為不穩(wěn)定焦點27第八章非線性控制系統(tǒng)

和為一正、一負的實數(shù)系統(tǒng)的平衡點為鞍點28例：二階非線性系統(tǒng)的微分方程為試：、確定系統(tǒng)的平衡點；、求非線性方程在平衡點處的線性化模型；、確定平衡點的類型；4、指出漸進線的斜率。29非線性系統(tǒng)的相平面分析解：二階非線性系統(tǒng)其平衡點有兩個：經(jīng)線性化處理后，知是穩(wěn)定焦點，是鞍點30特殊二階線性系統(tǒng)的相軌跡31特殊二階線性系統(tǒng)的相軌跡32一階線性系統(tǒng)的相軌跡33一階線性系統(tǒng)的相軌跡34極限環(huán)第八章非線性控制系統(tǒng)

極限環(huán)是相平面上一條孤立的封閉相軌跡，且它附近的其它相軌跡都無限地趨向或離開這條封閉的相軌跡非線性系統(tǒng)中，極限環(huán)描述了系統(tǒng)自激振蕩的振幅和周期

極限環(huán)將相平面分割成內(nèi)部和外部平面兩部分，內(nèi)部（外部）的相軌跡不可能穿過極限環(huán)而進入它的外部（內(nèi)部）35第八章非線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定極限環(huán)36第八章非線性控制系統(tǒng)不穩(wěn)定極限環(huán)37第八章非線性控制系統(tǒng)半穩(wěn)定極限環(huán)38第八章非線性控制系統(tǒng)描述函數(shù)法

描述函數(shù)法是分析非線性控制系統(tǒng)的一種近似方法，在非線性系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件下，可以忽略系統(tǒng)中的高次諧波，對系統(tǒng)中非線性特性進行諧波線性化，然后利用線性系統(tǒng)理論中的頻率響應(yīng)法研究非線性系統(tǒng)零平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性和自激振蕩。39假設(shè)條件：線性部分G(s)和非線性部分N是分離的非線性元件N非線性程度較低，其特性是奇對稱的且不包含儲能元件線性部分G(s)具有較好的低通濾波特性系統(tǒng)的參考輸入r(t)=0,且系統(tǒng)開始處于靜止狀態(tài)第八章非線性控制系統(tǒng)40第八章非線性控制系統(tǒng)設(shè)非線性元件N的輸入為則非線性元件N的輸出為非正弦周期函數(shù)，即所以線性部分的輸出c(t)也包含相應(yīng)的諧波分量根據(jù)前述假設(shè)條件非線性特性是奇對稱的，故線性部分具有較好的低通濾波特性，故可忽略高次諧波分量故41第八章非線性控制系統(tǒng)定義

非線性元件輸出信號y(t)的一次諧波分量y1(t)和正弦輸入信號x(t)的復(fù)數(shù)向量之比，定義為非線性元件的描述函數(shù)，即注意：諧波線性化與小偏差線性化(泰勒級數(shù))的區(qū)別描述函數(shù)更像該元件對一次諧波的“復(fù)放大系數(shù)”或“復(fù)增益”與線性元件的頻率特性函數(shù)的相似之處和不同之處沿用線性系統(tǒng)理論中的頻率響應(yīng)法來研究非線性控制系統(tǒng)42第八章非線性控制系統(tǒng)典型非線性元件的N(X)及-1/N(X)曲線步驟：設(shè)非線性元件的輸入為根據(jù)該元件的非線性特性，確定其輸出y(t)的函數(shù)表達式或波形將y(t)展開成傅立葉級數(shù)取級數(shù)中的基波，按描述函數(shù)的定義式求出該非線性元件的描述函數(shù)43第八章非線性控制系統(tǒng)飽和非線性44第八章非線性控制系統(tǒng)45第八章非線性控制系統(tǒng)描述函數(shù)負倒數(shù)：當時，當時，即：046第八章非線性控制系統(tǒng)死區(qū)非線性47第八章非線性控制系統(tǒng)48第八章非線性控制系統(tǒng)描述函數(shù)負倒數(shù)：當時，當時，0即：49第八章非線性控制系統(tǒng)繼電器型非線性()tx()ty()ty00()txtwtw1j1jppp2p20h-hMM-1jp+12jp+1jp+50第八章非線性控制系統(tǒng)51第八章非線性控制系統(tǒng)52第八章非線性控制系統(tǒng)描述函數(shù)負倒數(shù)：當時，實部由于的虛部與X無關(guān)，為一常數(shù)當時，實部而即：53第八章非線性控制系統(tǒng)非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析

對非線性元件進行諧波線性化，得到描述函數(shù)N(X)為X的實值或復(fù)值函數(shù)，可將其看成是系統(tǒng)的一個實數(shù)或復(fù)數(shù)增益，故可利用線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)法分析非線性系統(tǒng)漸進穩(wěn)定性自激振蕩存在條件，確定自激振蕩的振幅和頻率54非線性系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性第八章非線性控制系統(tǒng)系統(tǒng)方程為即由于故當時，有即將Nyquist判據(jù)推廣應(yīng)用于用描述函數(shù)法所描述的非線性系統(tǒng)，需要修改的僅僅是將復(fù)平面內(nèi)的臨界點（-1，j1)擴展為臨界曲線55第八章非線性控制系統(tǒng)如果系統(tǒng)的線性部分是漸進穩(wěn)定的，則Nquist判據(jù)為

假設(shè)非線性系統(tǒng)的線性部分傳遞函數(shù)G(s)為開環(huán)穩(wěn)定，在同一平面上畫出G(jω)曲線和-1/N（X）曲線若-1/N（X）曲線沒有被G(jω)曲線包圍，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的56若-1/N（X）曲線被G(jω)曲線包圍，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的第八章非線性控制系統(tǒng)57若-1/N（X）曲線與G(jω)曲線相交，則系統(tǒng)中可能會產(chǎn)生自激振蕩，即系統(tǒng)中有極限環(huán)存在。第八章非線性控制系統(tǒng)58第八章非線性控制系統(tǒng)非線性系統(tǒng)自激振蕩的分析

非線性系統(tǒng)自激振蕩的穩(wěn)定性可根據(jù)交點處-1/N(X)曲線和G(jω)曲線的相對走向確定

如果在交點處，-1/N(X)曲線當幅值X增大時，向G(jω)曲線包圍區(qū)域內(nèi)移動，則該點的自激振蕩是不穩(wěn)定的；反之，若當X增大時，-1/N(X)曲線向G(jω)曲線包圍區(qū)域以外運動，則該點的自激振蕩是穩(wěn)定的。自激振蕩的參數(shù)（振幅與頻率）由兩曲線的交點確定59PID自校正PM算法60

-1/N(A)和Nyquist曲線

分別改變Kp，Ki，Kd值使Q點在G(jw)，jwG(jw),(1/jw)G(jw)方向上移動的情形PID自校正PM算法61PID自校正SPAM算法62PID自校正SPAM算法滯環(huán)繼電特性與被控對象Nyquist曲線的交點在單位圓外點Q在單位圓外時的自整定公式推導(dǎo)關(guān)系圖63李亞普諾夫穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性定義

系統(tǒng)受到外界干擾偏離原有的平衡狀態(tài)時，當外界干擾去掉后，系統(tǒng)能在新平衡狀態(tài)下繼續(xù)工作的能力。系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)SISO線性定常系統(tǒng)勞斯判據(jù)奈奎斯特判據(jù)非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)李亞普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)64李亞普諾夫穩(wěn)定性分析李亞普諾夫方法第一方法（間接法）第二方法（直接法）通過解系統(tǒng)的微分方程判斷穩(wěn)定性。對非線性系統(tǒng)，則用平衡點附近一定范圍內(nèi)的線性化方程來近似描述。不必求解微分方程即可判斷特別適用于以狀態(tài)空間描述的系統(tǒng)65李亞普諾夫穩(wěn)定性分析基本概念設(shè)系統(tǒng)n維狀態(tài)向量n維函數(shù)向量（包含線性和非線性，時變和非時變）在初始條件時有唯一解，即平衡狀態(tài)若系統(tǒng)存在，使得對所有的t都滿足則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)線性非線性66李亞普諾夫穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性若對于任一給定實數(shù)，都存在另一個與取值有關(guān)的實數(shù)使得下列不等式成立時，即就一定有則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在李亞普諾夫意義下是穩(wěn)定的。無關(guān)若與一致穩(wěn)定的67李亞普諾夫穩(wěn)定性分析漸進穩(wěn)定性如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在李亞普諾夫意義下是穩(wěn)定的，而且從與平衡狀態(tài)的距離小于等于的鄰域出發(fā)的任意一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移軌線當趨于無窮大時，都趨近于則平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定性

如果從平衡狀態(tài)周圍所有狀態(tài)出發(fā)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移軌線都滿足漸近穩(wěn)定性，則稱該平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。68李亞普諾夫穩(wěn)定性分析不穩(wěn)定性如果對于某個給定的實數(shù)不管實數(shù)取多么小，在的鄰域內(nèi)總存在著起碼一個初始狀態(tài)，使得從這一狀態(tài)出發(fā)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移軌線與的距離超過給定的，則平衡狀態(tài)就稱為不穩(wěn)定的。標量函數(shù)的正定性設(shè)為以狀態(tài)向量的各分量作為其自變量的標量函數(shù)，它的定義域為。如果只有當時，而時，則稱為正定函數(shù)。如果除了和某些狀態(tài)使得以外，域內(nèi)的所有其他狀態(tài)都使則稱為半正定的。69李亞普諾夫穩(wěn)定性分析如果是正定的函數(shù)，則稱為負定函數(shù)。如果是半正定的函數(shù)，則稱為半負定函數(shù)。李亞普諾夫第二方法從能量觀點出發(fā)，得出的一個判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的理論。當時間趨于無窮時，系統(tǒng)積蓄的能量必達到一個極小值。

設(shè)法用一個輔助函數(shù)來衡量系統(tǒng)的儲能，判別系統(tǒng)平衡點附近的穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化為判別儲能輔助函數(shù)及其變化規(guī)律。70李亞普諾夫穩(wěn)定性分析大范圍漸近穩(wěn)定不穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定局部漸近穩(wěn)定局部不穩(wěn)定基于能量觀點，得出李亞普諾夫穩(wěn)定性定理71李亞普諾夫穩(wěn)定性分析定理一如果系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的某些鄰域內(nèi)存在一個正定的具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)是負定的，則平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。如果當時，有則該平衡狀態(tài)是大范圍內(nèi)一致漸近穩(wěn)定的。定理二如果系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的某些鄰域內(nèi)存在一個正定的具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)是負半定的，而且對任意和在時不恒等于零，則平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。其中表示從出發(fā)的狀態(tài)軌跡。72定理三如果系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的某鄰域內(nèi)存在一個正定的具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)在同樣的鄰域李亞普諾夫穩(wěn)定性分析內(nèi)是正定的，則平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。定理四如果系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的某鄰域內(nèi)存在一個正定的具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的